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Arithmétique Mardi 27 novembre 2012

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(1)

Mathématiques spécialité TS – 2012-2013

Arithmétique Mardi 27 novembre 2012

Vous pouvez traiter les exercices dans l’ordre de votre choix.

Le barème est donné à titre indicatif.

Exercice N°1 (2 points)

Démontrer que pour tout entier naturel n, 7

2n

− 335

n

est divisible par 13.

Exercice N°2 (2 points)

Démontrer que pour tout entier n, A = ( n − 11 )( n − 22 )( n − 33 )( n − 44 )( n − 55 ) est divisible par 5.

Exercice N°3 (3 points

Déterminer le reste de la division euclidienne de 352

14546

par 5.

Exercice N°4 (5 points) Soit x, y et z des entiers.

En vous servant des congruences :

a) Donner la liste des restes possibles dans la division euclidienne de x

2

par 8.

b) En déduire la liste des restes possibles dans la division euclidienne de x

2

+ y

2

par 8.

c) Prouver que l’équation x

2

+ y

2

= 8 z

4

+ 6 n’admet pas de couple ( x y , ) solution.

Exercice N°5 (4 points)

Pour tout n entier naturel, on pose : A

n

= × n 4

n+1

− + × + ( n 1 ) 4

n

1

a) Déterminer, suivant la valeur de l’entier naturel n, le reste de la division euclidienne de 4

n

par 9.

b) Déduire de ce qui précède que, pour tout entier naturel n, A

n

est divisible par 9.

Exercice N°6 (4 points)

1. Donner s’ils existent tous les entiers naturels qui, divisés par 7, donnent un quotient égal au reste

2. Donner s’ils existent tous les entiers naturels inférieurs à 960 dont la division

euclidienne par un entier naturel b non nul donne un quotient de 90 et un reste de 11

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