Projection des mesures orbitales et distributions de Dirichlet

Fa¨ıza Fourati

23 mars 2011

Plan de l’expos´e

I Formule du type Markov-Krein I Projection des mesures orbitales

I Projection des distributions de Dirichlet

Formule du type Markov-Krein

Formule du type Markov-Krein

Cette formule relie deux mesures positivesµet ν surR: Z

R

1

(z−t)^θµ(dt) = exp

− Z

R

log(z−u)ν(du)

, θ=ν(R).

On dit queµest la transform´ee de Markov- Krein de la mesureν.

D´efinition.

Pour s∈Cet z ∈C\]− ∞,0], on d´efinit z^s comme suit: si z =re^iα, avec r >0,α∈]−π, π[, alors z^s =r^se^isα.

D´efinition.

Une fonction f d´efinie sur C\Rest dite `a croissance mod´er´ee, si pour tout compact K deR, il existeε >0, une constante C >0 et un entier naturel N tels que pour tous x ∈K et 0<|y|< ε,

|f(x+iy)| ≤ C

|y|^N

Formule pour la mesureµ

Pour une fonction f holomorphe surC\Ret `a croissance mod´er´ee, on d´efinit la distribution [f], valeur au bord de f par: pour

ϕ∈D(R),

h[f], ϕi= lim

ε→0,ε>0

Z

R

(f(t+iε)−f(t−iε))ϕ(t)dt Pourα∈C

h[z^α], ϕi=−2iπ 1

Γ(−α)hY_α+1,ϕiˇ o`u

hY_α, ϕi= 1 Γ(α)

Z +∞

0

ϕ(t)t^α−1dt.

En particulier, pourm∈N^∗,

[z^−m] =−2iπ 1

(m−1)!δ^(m−1).

Yα∗Y_β =Y_α+β, Y0 =δ, Y−m=δ^m(m∈N).

Th´eor`eme.

a) Si g(z) = exp

−R

Rlog(z−u)ν(du)

alors

[g](x) =−2isin(πν([x,+∞[)) exp(−

Z

R

log(|x−u|)ν(du) b) Siµ est `a support compact

µ=− 1

2iπΓ(θ) ˇY_(θ−1)?[g]. (1) .

Lemme.

Soit f une fonction holomorphe surC\R`a croissance mod´er´ee sur R, et µune mesure `a support compact sur R. Alors la fonction F d´efinie par

F(z) = Z

R

f(z −t)µ(dt)

est holomorphe surC\R`a croissance mod´er´ee sur Ret

[F] = [f]∗µ

D´emonstration du th´eor`emeLa formule de Markov-Krein peut

s’´ecrire Z

R

f(z−t)µ(dt) =g(z) o`u f(z) = _z¹θ, etg(z) = exp

−R

Rlog(z−u)ν(du) donc [f]? µ= [g]

comme

[f] =−2iπ 1

Γ(θ)Yˇ_(1−θ) par suite

Yˇ_θ−1?( ˇY_1−θ? µ) = ( ˇY_θ−1?Yˇ_1−θ)? µ µ=− 1

2iπΓ(θ) ˇY(θ−1)?[g].

Projection des mesures orbitales

Herm(n,F) l’espace des matrices hermitiennesn×n `a coefficients dansF=R;CouH.

Le groupe unitaireU(n,F) op`ere sur Herm(n,F) par:

x 7→uxu^∗ (u∈U(n,F)).

Soitx ∈Herm(n,F), O_x ={uxu^∗ |u ∈U(n,F)}.

La mesure orbitaleµx de support Ox est d´efinie sur Herm(n,F)par:

Z

Herm(n,F)

f(y)µx(dy) = Z

U(n,F)

f(uxu^∗)ν(du)

o`u ν est la mesure de Haar normalis´ee du groupe unitaire U(n,F)

Projection des mesures orbitales

La mesureM_x^F est la projection de la mesure orbitale µ_x sur la droiteRE11

Z

R

F(t)M_x^F(dt) = Z

Herm(n,F)

F(y₁₁)µ_x(dy) = Z

U(n,F)

F((uxu^∗)₁₁)ν(du).

O_x contient une matrice diagonalea=diag(a₁, . . . ,a_n),o`u a1, . . . ,an sont les valeurs propres dex; par cons´equentOx =Oa,

Z

R

F(t)M_x^F(dt) = Z

U(n,F)

F((uau^∗)11)ν(du).

En effectuant le produituau^∗:













u₁₁ . . . u_1n

. .

. .

. .

un1 . . . unn























 a₁

. .

. an

























u₁₁ . . . u_n1

. .

. .

. .

u1n . . . unn











 .

On obtient

(uau^∗)11=a1|u₁₁|²+· · ·+an|u_n1|². Z

R

F(t)M_x(dt) = Z

U(n,F)

F(a₁|u₁₁|²+· · ·+a_n|u_n1|²)ν(du).

Projection des mesures orbitales

On consid`ere l’application

ψ:U(n,F)→S(Fⁿ), u 7→(u11, . . . ,un1) o`u S(F<sup>n</sup>) est la sph`ere unit´e deFⁿ et d =dim_RF= 1,2,4 . L’image parψde la mesure de Haar ν est ´egale `a la mesure uniforme normalis´eeσ surS(Fⁿ).

Z

R

f(t)M_x^F(dt) = Z

S(Fⁿ)

f(a1|u₁|²+· · ·+an|u_n|²)σ(du).

On consid`ere le simplexe ∆n−1 d´efini par:

∆n−1={τ = (τ₁, . . . , τ_n)∈Rⁿ/τ_i ≥0, τ₁+· · ·+τ_n= 1}

Φ :S^dn−1→∆n−1,

u= (u₁, . . . ,u_n)7→τ = (τ₁, . . . , τ_n) = (|u₁|², ...,|u_n|²).

L’image de la mesureσ est la distribution de DirichletDn qui est une mesure de probabilit´e d´efinie sur le simplexe ∆n−1 par:

D_n(dτ) = Γ(n^d₂)

(n−1)!Γ(^d₂)ⁿ(τ₁. . . τ_n)^d2−1λ(dτ)

o`u λest la mesure uniforme normalis´ee sur ∆n−1 et d =dim_RF Z

S(Fⁿ)

f|(u₁|², . . . ,|u_n|²)σ(du) = Z

∆n−1

f(τ₁, . . . , τ_n)D_n(dτ)

Laprojection de la mesure orbitale M_x^F est l’image de la distribution de DirichletD_n par:

∆n−1 −→R, τ 7−→a₁τ₁+· · ·+a_nτ_n. Z

R

f(t)M_x^F(dt) = Z

∆n−1

f(a₁τ₁+· · ·+a_nτ_n)D_n(dτ)

Soitκ= (κ₁, . . . , κ_n)∈(R^∗₊)ⁿ,n≥2. La distribution de Dirichlet Dn^(κ) est la mesure de probabilit´e d´efinie sur ∆n−1 par

Z

∆n−1

f(τ)D_n^(κ)(dτ) = Γ(κ₁+· · ·+κ_n) (n−1)!Γ(κ1). . .Γ(κn)

Z

∆n−1

f(τ₁, . . . , τ_n) τ₁^κ1−1. . . τ_n^κn−1λ(dτ).

Pour (a₁, . . . ,a_n)∈Rⁿ,n≥2,a₁≤. . .≤a_n, on d´efinit la mesure M_n(κ;a) sur Rcomme ´etant l’image de la distribution de Dirichlet Dn^(κ) par l’application

τ 7→a₁τ₁+· · ·+a_nτ_n. Z

R

F(t)Mn(κ;a;dt) = Z

∆n−1

F(a1τ1+...+anτn)Dn^(κ)(dτ).

supp(M_n(κ;a)) = [a₁,a_n] .

Proposition.

Soient a₁, . . . ,a_n, les valeurs propres de x et κ₁ =. . .=κ_n= ^d₂ M_x^F =Mn(κ;a)

.

Th´eor`eme.

La mesure M_n(κ;a) est la transform´ee de Markov- Krein de la mesureν =Pn

i=1κiδai. Z

R

1

(z −t)^θMn(κ;a;dt) =qκ,a(z), o`u q_κ,a(z) = exp

−R

Rlog(z−u)ν(du)

=Qn i=1

1 z−a_i

κi

, θ=κ1+· · ·+κnet z ∈C\]− ∞,an].

Corollaire.

M_n(κ;a) =− 1

2iπΓ(θ) ˇY_(θ−1)?[q_κ,a]. (2)

On suppose lesai sont distincts

•Dans le cas o`u F=C,κ_i = 1, θ=n(Okounkov) µ(x) = (n−1)X

aj≥x

cj(aj −x)ⁿ⁻², c_j =Q

k6=j 1 ak−a_j.

Pourn≥3µ est une fonction spline ayant pour nœudsa₁, . . . ,a_n et `a support [a1,an]. Sa restriction sur chacun des intervalles [a_i,a_i+1] est une fonction polynome de degr ≤n−2, et µest de classeCⁿ⁻³.

qκ,a(z) =

n

Y

i=1

1 (z−a_i), supp([qκ,a]) ={a₁, . . . ,an}.

qκ,a=

n

X

j=1

c_j 1

z−a_j, avec c_j =Y

k6=j

1 a_k−a_j. [qκ,a] =−2iπ

n

X

j=1

ciδaj.

µ= (n−1)! ˇYn−1?

n

X

j=1

c_jδ_aj .

Comme

Yˇn−1? δ_a = 1

(n−2)!(a−x)ⁿ⁻²₊ , µ(x) = (n−1)X

aj≥x

cj(aj −x)ⁿ⁻².

µ(x) = (2n−1) X

{j/a_j>x}

(cj(aj −x)²ⁿ⁻²+ (2n−2)dj(aj −x)²ⁿ⁻³) Preuve.

q_κ,a(z) =

n

Y

i=1

1 (z −ai)² supp([q_κ,a]) ={a₁, . . . ,a_n}.

q_κ,a(z) =

n

X

j=1

c_j z−a_j +

n

X

j=1

d_j (z−a_j)², donc

[q_κ,a] =−2iπ

n

X

j=1

c_jδ_aj+d_jδ⁰_aj.

n

Comme

Yˇ2n−1?δ_a= 1

(2n−2)!(a−x)²ⁿ⁻²₊ et Yˇ2n−1?δ_a⁰ = 1

(2n−3)!(a−x)²ⁿ⁻³₊ ,

µ(x) = (2n−1) X

{j/aj>x}

(cj(aj −x)²ⁿ⁻²+ (2n−2)dj(aj −x)²ⁿ⁻³).

La restriction deµsur chacun des intervalles [a_i,a_i+1] est une fonction polynome de degr≤2n−2, etµ est de classeC²ⁿ⁻⁴.

[q_κ,a](x) =−2isin(π

2]{a_k >x})

n

Y

j=1

|x−a_i|⁻¹²

µ(x) = n−2 2π

Z an

x

(s−x)ⁿ²⁻²sin(π

2]{a_k >s})

n

Y

j=1

|s−a_i|⁻¹²ds

Sin est pair, n= 2m,n≥4, [q_κ,a](x) =−2i

m

X

j=1

(−1)^m−j pQn

i=1|x−ai|χ_{]a2j−1,a2j[}(x).

µ(x) = n−2 2π

m

X(−1)^m−j

Z an (s −x)^m−2

pQn |s−a|χ_{]a2j−1,a2j[}(s)ds

•Si 0< κ_i <1,

[q_κ,a](x) =−2isin(π X

{j|a_j>x}

κ_j)

n

Y

j=1

|x−a_j|^−κj

pourθ:=κ1+· · ·+κn= 1, (Cifarelli-Regazzini) Yˇ1−θ=δ₀, donc

µ(x) = 1

π sin(π X

{j|a_j>x}

κ_j)

n

Y

j=1

|x−a_j|^−κj

Pourθ >1, on suppose quea1, . . . ,ansont distincts

µ(x) = θ−1 π

Z an

x

(s−x)^θ−2(sin(π X

{j|a_j>s}

κj)

n

Y

i=1

|s −ai|^−κi)ds.

.