Dimensions d’une casserole d’un litre

V Douine – 1SPEMATHS – Travail à distance 7 - CORRECTION

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Dimensions d’une casserole d’un litre

Une entreprise fabrique des casseroles de contenance un litre. Elle cherche à utiliser le moins de métal possible (on ne tiendra pas compte du manche dans cette étude). x désigne le rayon du cercle intérieur en centimètres. h désigne la hauteur de la casserole en centimètres.

Mise en équation du problème

Le volume est

AIREDISQUE HAUTEUR

V   x  h et vaut un litre c’est à dire 1000 cm

. Donc

2

1000

x h

   . D’où h ¹⁰⁰⁰

 x

 . La surface de métal utilisée pour confectionner cette casserole est constituée de la surface du disque qui vaut  x

et de la surface latérale qui est celle d’un rectangle de dimensions h et 2  x le périmètre du disque.

2 2 2 2

2 2

1000 2000 2000

2 2

SURFACEDISQUE SURFACELATERALE

S x x h x x x x x

x x x

      

 

         

Etude d’un polynôme

On considère le polynôme ^{P x}   ^{ 2  x}

^{ 2000} défini sur . Calculer ^{P x }   ^{ 18,84 x}

^{ 0} et étudier son signe sur . Dresser le tableau des variations du polynôme P sur . Le polynôme est strictement croissante sur .

Démontrer que l’équation ^{P x}   ^{ 0} admet une solution unique  sur l’intervalle   ^{6; 7 .}

 

 

6 0

7 0

P P



 et P est strictement croissante donc il s’annule une fois entre 6 et 7.

Proposer un encadrement à 10

près de  . Pour les applications numériques on prendra

  3,14 .

 

 

6,8 0 6,9 0 P

P



 donc 6,8    6,9 .

Dresser le tableau de signes du polynôme P sur . P est négatif avant  / P est positif après  . Etude d’une fonction rationnelle

On considère la fonction S définie sur l’intervalle  ^{0; }  par ^{S x}   ^x

²⁰⁰⁰

 x

  . Calculer

 

S x  et montrer que    

2

S x P x

  x . Etudier le signe de ^{S x }   et en déduire les variations de la

fonction S sur l’intervalle  ^{0; }  ^.

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 

 

   

2 3

2

2

2 2000

2 2000

S x x

x S x x

x S x P x

x





  

  

 

Retour au problème

Pour quelle valeur de x la quantité de métal utilisé pour confectionner la casserole sera-t-elle minimale ? Préciser quelle surface de métal sera nécessaire pour fabriquer cette casserole ?

C’est pour x compris entre 6,8 et 6,9 centimètres que la quantité de métal sera minimale.

La surface de métal nécessaire sera d’environ 439 cm carré.