Dimensions d’une casserole d’un litre

V Douine – 1SPEMATHS – Travail à distance 7

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Dimensions d’une casserole d’un litre

Une entreprise fabrique des casseroles de contenance un litre. Elle cherche à utiliser le moins de métal possible (on ne tiendra pas compte du manche dans cette étude). x désigne le rayon du cercle intérieur en centimètres. h désigne la hauteur de la casserole en centimètres.

Mise en équation du problème

Le volume est

AIREDISQUE HAUTEUR

V   x  h et vaut un litre c’est à dire 1000 cm

. Donc

2

1000

x h

   . D’où h ¹⁰⁰⁰

 x

 . La surface de métal utilisée pour confectionner cette casserole est constituée de la surface du disque qui vaut  x

et de la surface latérale qui est celle d’un rectangle de dimensions h et 2  x le périmètre du disque.

2 2 2 2

2 2

1000 2000 2000

2 2

SURFACEDISQUE SURFACELATERALE

S x x h x x x x x

x x x

      

 

         

Etude d’un polynôme

On considère le polynôme ^{P x}   ^{ 2  x}

^{ 2000} défini sur . Calculer ^{P x }   et étudier son signe sur . Dresser le tableau des variations du polynôme P sur . Démontrer que l’équation

  ⁰

P x  admet une solution unique  sur l’intervalle   ^{6; 7} . Proposer un encadrement à 10

près de  . Pour les applications numériques on prendra   3,14 . Dresser le tableau de signes du polynôme P sur .

Etude d’une fonction rationnelle

On considère la fonction S définie sur l’intervalle  ^{0; }  ^{par S x}   ^x

²⁰⁰⁰

 x

  . Calculer

 

S x  et montrer que    

2

S x P x

  x . Etudier le signe de ^{S x }   et en déduire les variations de la fonction S sur l’intervalle  ^{0; }  ^.

Retour au problème

Pour quelle valeur de x la quantité de métal utilisé pour confectionner la casserole sera-t-elle minimale ? Préciser quelle surface de métal sera nécessaire pour fabriquer cette casserole ?

Une remarque – Partie facultative Montrer que  ¹⁰⁰⁰

  . Que pouvez-vous en déduire quant aux dimensions de cette casserole ?