ECS2 Note /10

ECS2 Note /10

Interrogation de cours 8 du Lundi 15 Novembre 2021

Nom et prénom :

1. ( / 1 points) Compléter :

Intégrale Nature

R iemann

En +∞ :

Z +∞

1

1

t ^α dt Converge ssi

En 0 : Z 1

0

1

t ^α dt Converge ssi

Exp on. Z +∞

0

e ^−λt dt (λ ∈ R ) Converge ssi

2. ( / 2 points) Soit f et g deux fonctions continues sur [a, b[. Compléter :

Comparaison par Hypothèses Conclusion

Négligeabilité

Z b

a

f (t)dt converge

Équivalent

Z b

a

f (t)dt converge (resp. diverge)

3. ( / 2.5 points) Vrai ou Faux : V F

Toute fonction définie sur un intervalle I admet une primitive sur I.

Si R

a

f(t)dt converge, que f ≥ 0 sur [a, b], et que ∃t 0 ∈]a, b[ tel que f (t 0 ) > 0. Alors Z

a

f (t)dt > 0.

L’intégrale Z 1

0

ln(t)dt converge.

L’intégrale Z 1

0

t ln(t)dt converge.

Z +∞

1

1

t(t + 1) dt = Z +∞

1

1

t − 1

t + 1

dt converge et on a Z +∞

1

1

t(t + 1) dt = Z +∞

1

1 t dt −

Z +∞

1

1 t + 1 dt.

Soit f :]a, b[→ R continue. Alors Z

a

f (t)dt converge ⇔ Z

a

f (t)dt et Z

a+b 2

f (t)dt convergent.

Soit f : [0, +∞[→ R continue. Si Z +∞

0

f (t)dt converge, alors lim

t→+∞

f(t) = 0.

4. ( / 1.5 points) Compléter :

Soit f une fonction continue sur ]α, β[, −∞ ≤ α < β ≤ +∞. On considère une fonction ϕ :]a, b[→ R .

Hypothèses :

•

•

•

Alors les intégrales généralisées Z lim

t→b

ϕ(t) lim

t→a

ϕ(t) f(x)dx et Z b

a

f (ϕ(t))ϕ ⁰ (t)dt ...

...

5. ( / 4 points) Déterminer le domaine de définition de la fonction Γ, et montrer la formule liant

Γ(ν + 1) et Γ(ν).