,1)250$7,48(

(1)

SESSION 2017 PSIIN07 !

!

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI!

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!

INFORMATIQUE

Vendredi 5 mai : 8 h - 11 h!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la

!"#$%&'()*+,'+-)+%$)#'#$&+./&+$0.)"+1+!.2"!.!+%.+3-'+2.-&+4-'+/.054.!+6&!.+-).+.!!.-!+#7")()%"8+'4+4.+

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a été amené à prendre.!

!

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!

! .

Les calculatrices sont interdites

Le sujet comporte 15 pages dont :

– 13 pages de texte de présentation et énoncé du sujet ; – 2 pages d’annexes.

Toute documentation autre que celle fournie est interdite.

REMARQUES PRELIMINAIRES

L’épreuve doit être traitée en langage Python. Les syntaxes sont rappelées en

annexe 2.

Les di

ff

érents algorithmes doivent être rendus dans leur forme définitive sur la copie à rendre (les brouillons ne seront pas acceptés).

Il est demandé au candidat de bien vouloir rédiger ses réponses en

précisant bien le numéro de la question traitée et, si possible, dans l’ordre des questions. La réponse ne doit pas se cantonner à la

rédaction de l’algorithme sans explication ; les programmes doivent être expliqués et commentés.

(2)

Etude de la capacit´e et de la congestion de l’autoroute A7 ´

I Objectifs et d´emarche d’´etude

Il existe plusieurs formes de congestions routi`eres, selon leur cause : la congestion r´ecurrente, la congestion

✭✭

pr´evisible

✮✮

(travaux, manifestations, météo) et la congestion due aux incidents et accidents, par définition imprévisibles. On s’intéresse ici au niveau de congestion récurrente qui peut être défini comme le surplus de demande qui amène la congestion.

Cette étude se focalise sur la congestion routière de l’auto- route A7 en France. La section étudiée ne comporte ni entrée ni sortie. La longueur de l’axe est de 8,5 km et comporte 3 voies sauf au niveau de la dernière station (non étudiée ici).

Un seul sens de circulation est ´etudi´e.

La cartographie pr´esent´ee sur la

figure 1

donne l’implanta- tion des di

ff

érentes stations de mesure, de la station M8A à M8P, et des contrôles de sanction automatique (CSA). Ces stations de mesure font partie du système de recueil automa- tique des données (RAD) présent sur les autoroutes.

Figure 1 –

Cartographie de la zone d’´etude

Pour réaliser les mesures, la chaussée est équipée de boucles électromagnétiques connectées aux stations qui remontent l’information vers un système central. Ces boucles permettent de compter le nombre de véhicules qui passent sur les routes et, dans le cadre de cette étude, il s’agit de boucles doubles qui permettent aussi d’estimer les vitesses.

La connaissance et le suivi du niveau de congestion récurrente permettent ensuite d’envisager des actions de régulation et d’aménagement de voirie. La simulation numérique est alors employée pour

´etudier di

ff

érentes solutions d’aménagement ou proposer des solutions de régulation dynamique du trafic.

Objectifs

Le premier objectif est d’établir le diagramme fondamental (tracé du débit en fonction de la concen- tration) caractéristique du tron¸con étudié à partir de l’historique de données de comptage.

Le deuxième objectif est de mettre en place une simulation numérique adaptée au tron¸con étudié à partir de deux modèles afin de tester deux approches numériques différentes.

II Traitement des donn´ees exp´erimentales

La méthodologie choisie ici pour estimer la capacité d’une route est celle utilisée notamment par les

centres d’études techniques de l’équipement. Elle consiste à représenter un diagramme fondamental,

c’est-à-dire le débit q, nombre de véhicules par unité de temps, en fonction de la concentration c,

nombre de véhicules par unité de longueur. Ce diagramme permet alors de déterminer les paramètres

caract´eristiques de la route.

(3)

II.1 Exploitation des donn´ees de mesure

II.1.1 S´election des mesures

L’ensemble des données produites par le réseau est archivé dans une base de données. Les va- riables d’intérêt moyennées par tranche de temps de 6 min pour chaque point de mesure sont le débit q exp, représentatif du nombre de véhicules par unité de temps et la vitesse moyenne v exp des véhicules en ce point. On peut également accéder à la concentration, c exp, par calcul étant donné que c exp

=

q exp/v exp.

Une version simplifiée de cette base de données est réduite à deux tables.

La table STATIONS r´epertorie les stations de mesures ; elle contient les attributs :

– id station (cl´e primaire), entier identifiant chaque sta- tion ;

– nom, chaˆıne de caract`eres d´esignant le nom de la sta- tion ;

– nombre voies, entier donnant le nombre de voies de la section d’autoroute.

COMPTAGES STATIONS

id_station nom nombre_voies

id_comptage id_station date voie q_exp v_exp

La table COMPTAGES r´epertorie les di

ff

érents enregistrements de données réalisés au cours du temps par les stations de comptage. Elle contient les attributs :

– id comptage, entier identifiant chaque comptage ; – id station, entier identifiant la station concern´ee ; – date, entier datant la mesure ;

– voie, entier numérotant la voie sur laquelle a été e

ff

ectuée la mesure ; – q exp, flottant donnant le débit mesuré pendant 6 minutes ;

– v exp, flottant donnant la vitesse moyenne mesur´ee pendant 6 minutes.

Q1. L’étude se focalise uniquement sur les mesures de l’une des stations, la M8B. ´ Ecrire une requête SQL qui renvoie les données de comptage (id comptage, date, voie, q exp, v exp) mesurées à la station de comptage de nom M8B.

Le résultat de la requête précédente est stocké dans une nouvelle table COMPTAGES M8B à cinq colonnes (id comptage, date, voie, q exp, v exp).

On fait l’hypoth`ese que les mesures sur les di

ff

érentes voies d’une même station sont enregistrées de façon synchronisée. Lors d’un enregistrement pour une station à trois voies, on écrit donc trois lignes dans la table COMPTAGES avec trois dates identiques. Pour chacun des enregistrements de la station M8B, trois lignes avec trois dates identiques sont donc présentes dans la nouvelle table COMPTAGES M8B. Pour la suite de l’étude, les résultats expérimentaux de chacune des trois voies doivent être agrégés pour se ramener à une voie unique.

Q2. Ecrire une requête SQL qui renvoie, pour chaque date des données de ´ COMPTAGES M8B, le débit correspondant à la somme des débits de chaque voie.

De la même façon, une requête SQL permet d’obtenir la moyenne des vitesses sur l’ensemble des

trois voies pour chaque date des données de COMPTAGES M8B. Il n’est pas demandé d’écrire

cette requête. Ainsi, dans la suite de l’étude, la portion d’autoroute sera simplifiée en ne considérant

qu’une seule voie.

(4)

II.1.2 Diagramme fondamental

On veut tracer le diagramme fondamental du tronçon d’autoroute étudié (figure 2). Suite au traitement de la base de données, on dispose à présent du tableau à une dimension (aussi appelé vecteur) des débits q exp (en véhicules par heure) et du vecteur des vitesses v exp (en kilomètres par heure). Ces deux vecteurs possèdent nb

mesures

composantes avec nb

mesures

le nombre de points de mesure `a tracer. Pour chaque composante i, la relation c exp[i]

=

q exp[i]/v exp[i] permet d’obtenir la concentra- tion. L’utilisation des tableaux `a une dimension (ou vecteurs) est rappel´ee en annexe 2.

!"#$%#&'(&)"#*+,-.)$/0%*1*234

5-6)&*+,-.)$/0%*1*.4

7 87 977 987 :77

7***************:777*************;777*************<777**************=777*

Figure 2 – Points de mesure M8B : diagramme fondamental (c exp,q exp)

Q3. Ecrire une fonction ´ trace(q exp

,

v exp) qui prend en arguments q exp et v exp et qui permet d’a

ffi

cher le nuage de points du diagramme fondamental. On considèrera que les bibliothèques sont importées et on pourra utiliser la fonction

✭✭

plot

✮✮

donn´ee en annexe 2.

II.2 Estimation de l’´etat de congestion

Au niveau d’une station de mesure, la situation est dite congestionnée lorsque les vitesses prises par les véhicules restent inférieures à 40 km/h et la situation est dite fluide lorsque les vitesses restent supérieures à 80 km/h.

Q4. La fonction congestion(v exp), qui prend en argument v exp et renvoie la valeur médiane du tableau de valeurs v exp est définie ci-dessous. La recherche de la médiane est basée sur un al- gorithme de tri. Choisir une des 4 propositions données pour compléter les 2 lignes manquantes (indiquées par

✭✭

ligne `a compl´eter

✮✮

). Donner le nom, puis la complexit´e de l’algorithme de tri employ´e, dans le meilleur et le pire des cas. Analyser la pertinence de ce choix.

def congestion(v_exp):

nbmesures=len(v_exp) for i in range(nbmesures):

v=v_exp[i]

j = i

while 0 < j and v < v_exp[j-1]:

ligne à compléter ligne à compléter v_exp[j] = v

return v_exp[nbmesures//2]

Propositions pour les lignes manquantes : 1. v_exp[j-1] = v_exp[j]

j = j-1

2. v_exp[j] = v_exp[j-1]

j = j-1

3. v_exp[j+1] = v_exp[j]

j = j+1

4. v_exp[j] = v_exp[j+1]

j = j+1

Q5. A partir de la base de donn´ees de la station ` M8B, on obtient le vecteur v exp. On ex´ecute

la fonction congestion(v exp), la valeur retourn´ee par la fonction ´etant 30, quelle conclusion

peut-on tirer de ce r´esultat?

(5)

III Elaboration d’une premi`ere simulation du trafic routier par ´ la m´ecanique des fluides

Il est rappelé ici que dans toute la suite de l’étude, l’autoroute est assimilée à une seule voie. Le modèle continu revient à négliger le caractère discret de la matière. Pour le modèle routier, cela revient donc

à regarder l’évolution du trafic sur des distances grandes devant la taille des véhicules, notée L0. On appelle c(t

,

x), en véhicules par mètre, la concentration de véhicules par unité de longueur de route à l’instant t et à la position x. Sur une longeur L0, il y a, au plus, un seul véhicule, soit c

≤

c max

=

1 L0 . On appelle q(t,x), en véhicules par seconde, le débit de véhicules, c’est-à-dire le nombre de véhicules par unité de temps traversant la section de la route située à la position x. La vitesse v(t,x), en mètres par seconde, ne représente pas la vitesse de chacun des véhicules mais la vitesse moyenne du trafic à la position x. On considère que les véhicules se déplacent selon l’axe x dans le sens des x croissants.

On rappelle la relation q(t,x)

=

c(t,x)

×

v(t,x). Désormais, q, v et c représentent les grandeurs si- mulées et non plus des données expérimentales. On travaille dans la suite avec les unités du système international.

En considérant une portion d’autoroute dx pendant une durée dt et en supposant qu’il n’y a ni perte, ni création de véhicule, il est possible de montrer que q(t,x) et c(t,x) verifient l’équation aux dérivées partielles suivante :

∂

q(t

,

x)

∂x +

∂

c(t

,

x)

∂t =

0. (1)

Pour comprendre comment évoluent la concentration, la vitesse moyenne ou le débit de véhicules au cours du temps le long de l’autoroute, il convient donc de résoudre cette équation aux dérivées partielles à partir de la situation initiale.

III.1 Discr´etisation

Afin de r´esoudre num´eriquement cette

équation aux dérivées partielles, nous avons besoin de la discrétiser. On choisit les paramètres suivants :

– longueur de l’autoroute : La – dur´ee de simulation : T emps – pas d’espace (en m`etres) : dx – pas de temps (en secondes) : dt

Discrétisation en espace (indice j)

Discrétisation en temps (indice i) Sens des temps croissants

Sens des positions croissantes

!"#$,%#$ !_"#$,% !"#$,%&$

!_",%#$ !_",% !",%&$

!"&$,%#$ !"&$,% !"&$,%&$

Figure 3 –

Repr´esentation de la discr´etisation

Q6.

Soit C le tableau de valeurs contenant les concentrations en tous les points x et `a tous les ins-

tants t discrétisés, comme représenté sur la

figure 3. L’approximation num´erique de la concen-

tration au temps t

i

et `a la position x

j

sera not´ee C

i,j

avec i d´esignant l’indice de temps et j

d´esignant l’indice d’espace. Quelles sont les dimensions de C ?

(6)

III.2 Un mod`ele de diagramme fondamental

L’équation (1) possède deux inconnues. Il faut donc ajouter une deuxième équation pour pouvoir la résoudre. On propose tout d’abord de relier la vitesse et la concentration par le modèle de Greenshield

´etabli `a partir des analyses suivantes :

– lorsque la concentration en véhicules tend vers 0, les conducteurs peuvent rouler à la vitesse maximale autorisée, v max en mètres par seconde ;

– lorsque les véhicules sont pare-choc contre pare-choc, la concentration est égale à c max en véhicules par mètre : ils n’avancent plus.

Une relation linéaire entre vitesse et concentration est choisie dans le modèle de Greenshield, qui est ainsi défini par la relation suivante :

v(t,x)

=

v max(1

−

c(t,x)/c max). (2)

On souhaite concevoir une fonction diagramme permettant de réaliser le tracé du diagramme fonda- mental pour un instant donné t

i

(soit pour une ligne de C). Cette fonction fait appel à une fonction debit permettant de calculer les valeurs de débit à un instant t

i

en utilisant la relation de Greenshield (2). Ces valeurs sont stockées dans un vecteur Q. Le tracé du diagramme fondamental est réalisé et le tableau Q est retourné.

Q7. Ecrire une fonction ´ debit(v max

,

c max

,

C ligne) qui prend en arguments la vitesse maximale (v max), la concentration maximale (c max) et un tableau contenant les concentrations à un instant donné (soit les éléments d’une ligne du tableau C) nommé ici C ligne et qui renvoie un tableau de valeurs contenant les débits (en véhicules par seconde) aux di

ff

érentes positions à ce même instant.

Q8. Spécifier les arguments d’entrée (et leur type) de la fonction diagramme. L’écriture du code de la fonction n’est pas demandée. Préciser les unités des di

ff

´erents termes. Tracer l’allure du diagramme fondamental obtenu. L’allure du diagramme d´epend-elle du temps t

_i

auquel on se place (soit du choix de la ligne de C)?

III.3 R´esolution de l’´equation

III.3.1 Situation initiale

On consid`ere une situation de d´epart (t

=

0), comme indiqué sur la figure 4. On se place dans une configuration où l’on a un profil de concentration dont on veut étudier l’évolution.

La concentration c1 la plus faible passe à c2, plus forte, à la distance d1 et revient à c1 en d2.

Chacune des distances sera discr´etis´ee.

L’approximation numérique d’une distance correspondra à la division entière de la distance par le pas.

!"#$%$"&'#()'*+,(%")"(%-

Concentration

d1 d2 La

0 c1 c2

Figure 4 – Configuration initiale Q9. Concevoir une fonction C depart qui permet d’initialiser la premi`ere ligne du tableau C (cor-

respondant `a t

=

0). L’´ecriture du code correspondant n’est pas demand´ee ; en revanche, on

pr´ecisera toutes les valeurs de j pour lesquelles C

0,j

sera ´egale `a c1 et toutes les valeurs pour

lesquelles C

0,j

sera égale à c2. L’en-tête ou spécification de la fonction devra être précisé(e) (et

comporter les arguments d’entrée et leur type), ainsi que le résultat renvoyé par la fonction.

(7)

III.3.2 R´esolution

Le tableau C contient des zéros, exceptée la première ligne qui a été remplie de valeurs grâce à la mise en œuvre de la fonction C depart. On souhaite à présent écrire la fonction resolution(C

,

dt

,

dx

,

c max

,

v max) permettant de résoudre l’équation et de remplir complètement le tableau C.

Connaissant pour tout indice j les valeurs de C

i,j

, on cherche `a d´eterminer C

_i+1,j

.

Dans le sch´ema d’Euler

✭✭

avant

✮✮

, la dérivée d’une fonction f par rapport à la variable x, au point x

_j

, d f

dx (x

j

), est approxim´ee (en utilisant ce point et le point situ´e

✭✭

devant

✮✮

lui) par f

_j+1−

f

j

dx .

Q est un vecteur contenant les valeurs de d´ebits Q

_j

aux di

ff

´erentes positions x

_j

et `a l’instant t

_i

(l’ap- proximation du d´ebit au temps t

i

et `a la position x

j

sera donc not´ee Q

j

.). ` A chaque instant t

i

, Q devra ˆetre recalcul´e.

Q10.

A partir de l’´equation (1) et en utilisant des sch´emas d’Euler `

✭✭

avant

✮✮

pour l’écriture des dérivées, montrer que la relation de récurrence donnant C

_i+1,j

en fonction de C

i,j

, Q

_j+1

, Q

j

, dx et dt est donnée par l’une des propositions ci-dessous. Le numéro de la réponse correcte sera clairement indiqué sur la copie.

1. C

_i+1,j=

C

i,j−

Q

j−

Q

_j+1

dx

.dt

2. C

_i+1,j=

C

i,j−

Q

_j+1−

Q

j

dx

.dt

3. C

_i+1,j=

C

i,j−

Q

_j+1−

Q

j

dt

.dx

4. C

_i+1,j=

C

i,j−

Q

j−

Q

j−1

dx

.dt

Pour que le nombre de voitures soit constant sur la longueur de la route, il faut se fixer des conditions aux limites périodiques. Ainsi, quand un véhicule arrive en bout d’autoroute, il est replacé au début de celle-ci. On considère donc que le véhicule situé en x

=

La, se déplaçant vers la droite, a pour voisin de droite le véhicule situé en x

=

0.

Q11.

L’initialisation a ´et´e e

ff

ectu´ee avec la fonction C depart(dx

,

d1

,

d2

,

c1

,

c2

,

C). ´ Ecrire une fonction resolution(C

,

dt

,

dx

,

c max

,

v max) qui prend en arguments le tableau C, les pas dt et dx, la concentration maximale c max et la valeur de la vitesse maximale v max et qui renvoie le tableau C rempli au cours de la r´esolution. On pourra faire appel `a la fonction debit(v max

,

c max

,

C ligne) d´efinie `a la question

Q7.

III.4 Etude des solutions trouv´ees et modification du sch´ema ´

On étudie deux situations de départ basées sur le même profil que celui proposé à la situation initiale (figure 4). Dans le cas 1, on choisit c1 et c2, respectivement notées c1b et c2b, correspondant à des concentrations faibles. On peut montrer que, pour ces concentrations, le créneau se déplace vers la droite (dans le sens des x croissants) au cours du temps. Cette démonstration n’est pas demandée.

Dans le cas 2, on choisit c1 et c2, respectivement not´ees c1h et c2h, correspondant `a des concentrations

fortes. On peut montrer que, pour ces concentrations, le cr´eneau se d´eplace vers la gauche (dans le

sens des x décroissants) au cours du temps. Cette démonstration n’est pas demandée.

(8)

On applique la fonction

resolution

à ces deux situations de départ et on représente la concentration en fonction de la position à di

ff

érents instants (figure 5). La situation initiale est en traits interrompus (- -), les situations intermédiaires en traits continus (-) et la situation finale en pointillés (:).

!

"" #$

#

!$%

!"%

"$

%&'()'&*+,&+&'&)-.

%&'()'&*+,/&+)-.

+*+,0.1023.+'2.

4)0,-),3*-('&*+, 5&6.07.

8)3,$

!

"" #$

#

!$&

!"&

"$

%&'()'&*+

&+&'&)-.

%&'()'&*+,/&+)-.

8)3,"

Figure 5 –

R´esultats pour le cas 1 et pour le cas 2 avec Euler

✭✭

avant

✮✮

pour l’espace et

✭✭

avant

✮✮

pour le temps

On remarque qu’avec la situation de départ du cas 1, la solution diverge. Avec la situation de départ du cas 2, le créneau initial semble se déplacer vers la gauche.

Une modification est alors apport´ee `a la fonction

resolution. Dans la discr´etisation en espace (c’est-`a-

dire lors de l’écriture des dérivées par rapport à la variable d’espace), le schéma d’Euler

✭✭

avant

✮✮

en espace est remplac´e par un sch´ema d’Euler

✭✭

arri`ere

✮✮

en espace. Dans ce schéma, la dérivée d’une fonction

f

par rapport `a la variable

x

au point

xj

,

d f

dx

(x

j

) est approxim´ee (en utilisant ce point et le point situ´e

✭✭

derri`ere

✮✮

lui) par

fj−fj−1

dx

. On obtient alors les résultats présentés

figure 6.

!

"" #$

#

!$&

!"&

"$

%&'()'&*+

&+&'&)-.

8)3,"

!

"" #$

#

!$%

!"%

"$

%&'()'&*+,&+&'&)-.

%&'()'&*+,/&+)-.

8)3,$

%&'()'&*+, /&+)-.

+*+, 0.1023.+'2.

4)0,-),3*-('&*+, 5&6.07.

Figure 6 –

R´esultats pour le cas 1 et pour le cas 2 avec Euler

✭✭

arri`ere

✮✮

pour l’espace et

✭✭

avant

✮✮

pour le temps

Cette fois-ci, avec la situation de départ du cas 1, le créneau initial se déplace vers la droite et avec la situation de départ du cas 2, la solution diverge.

Q12.

On se place `a l’it´eration

i+

1 ; les calculs des itérations précédentes ont déjà été réalisés.

Le calcul des termes de

Q

(vecteur des d´ebits `a l’instant

ti

) est fait par la fonction

debit,Qj

étant déterminé à partir de la valeur de

C_i,_j

. Sur la grille de discr´etisation donn´ee

figure 3

(qui

sera reproduite sur la copie), tracer des flèches partant des points déjà calculés aux itérations

précédentes et allant vers le point à calculer

C_i+1,j

(au pas d’espace

j

et `a l’it´eration

i+

1) dans

le cas du sch´ema d’Euler

✭✭

avant

✮✮

pour la discrétisation en espace. Procéder de même dans le

cas du sch´ema d’Euler

✭✭

arri`ere

✮✮

pour la discr´etisation en espace.

(9)

Q13.

En déduire un argument permettant de choisir le schéma d’Euler adapté à la situation de départ.

On cherche maintenant un sch´ema fonctionnel pour les deux situations. On propose celui de Lax- Friedriechs qui :

– utilise un schéma centré pour l’approximation des dérivées par rapport à la variable d’espace.

Dans ce schéma, la dérivée d’une fonction

f

par rapport `a la variable

x

au point

xj

,

d f dx

(x

j

) est approximée (à partir du point précédent et du point suivant) par

f_j+1−fj−1

2dx ;

– approxime les dérivées par rapport à la variable de temps en remplaçant la valeur

Ci,j

par la moyenne de la valeur prise au point pr´ec´edent

Ci,j−1

et de la valeur prise au point suivant

Ci,j+1

.

Q14.

Proposer les modifications de la fonction

resolution

(d´efinie `a la question

Q11) n´ecessaires

pour utiliser le sch´ema de Lax-Friedriechs.

La mise en œuvre de la fonction

resolution

permet, ensuite, d’e

ff

ectuer le tracé des solutions obtenues dont le résultat est donné

figure 7. Les instructions permet-

tant de r´ealiser le trac´e ne

sont pas demand´ees.

Figure 7 –

Les deux situations de départ résolues avec le schéma de Lax-Friedriechs

III.5 Am´elioration du programme : retour sur le choix du diagramme fonda- mental

Afin de s’assurer de la stabilité de la solution trouvée, il convient, une fois le schéma d’approximation déterminé, de définir les valeurs des paramètres tels que les pas de temps et d’espace. On suppose ici que ce travail a été réalisé. Cependant, cela ne signifie pas que l’on peut simuler fidèlement des phénomènes réels. En e

ff

et, le diagramme fondamental utilisé et tracé à la question

Q8

est assez di

ff

érent du nuage de points expérimentaux représenté

figure 2.

La nouvelle approximation choisie pour obtenir les param`etres caract´eristiques du diagramme fonda- mental

q

en fonction de

c

est une r´egression d’ordre 3 :

q=a3∗c³+a2∗c²+a1∗c+a0

,

ai

´etant les constantes d’ajustement de la courbe sur le nuage de

n

points. La fonction

regression(q exp,c exp),

qui prend en arguments les vecteurs

q exp

et

c exp

obtenus exp´erimentalement (ayant servi `a tracer le nuage de points de la

figure 2) et qui renvoie les coeffi

cients

a0,a1,a2,a3

, a été réalisée (on ne demande pas d’écrire cette fonction).

Q15.

Expliquer en quelques phrases ce qu’il faut modifier dans la fonction

resolution

d´efinie `a la question

Q11

pour résoudre l’équation (1) en prenant en compte ce nouveau diagramme fondamental basé sur l’expérimentation.

La simulation que nous avons mise en place permet ainsi de déterminer les caractéristiques d’évolution

d’un embouteillage. On peut notamment en d´eduire la vitesse de propagation de l’embouteillage, ou

sa vitesse de résorption. Cependant, on aimerait à présent mettre en place une simulation permettant

de mod´eliser les comportements individuels des conducteurs.

(10)

IV Deuxi`eme simulation du trafic routier :

simulation de Nagel et Schreckenberg (NaSch)

L’objectif est de simuler la formation d’embouteillages dits

✭✭

embouteillages fantˆomes

✮✮

. Ils sont le résultat d’une perturbation qui apparaˆ ıt localement sur la voie et s’amplifie peu à peu jusqu’à former un embouteillage.

IV.1 Initialisation

Afin de modéliser le comportement de chacun des véhicules, l’espace, le temps ainsi que la vitesse des véhicules sont discrétisés. La dynamique de chaque élément est modélisée de façon très simple, l’objectif étant d’obtenir un bon comportement à l’échelle macroscopique. On étudie, comme dans les parties précédentes, une autoroute de longueur La

=

8 500 (en mètres) pour laquelle on ne considère qu’un seul sens et qu’une seule voie. La vitesse est limitée à 130 km/h et on considère une durée totale d’étude T emps.

Soit X

n

la position du v´ehicule n, v

n ∈

[[0,1,...,v max]] sa vitesse enti`ere et d

n

la distance inter- véhiculaire (par rapport au véhicule précédent). On choisit de découper la route en nb cellules cellules de tailles identiques valant pas x

=

7,5 (en mètres). La durée d’étude est découpée en nb temps pas de temps valant pas t

=

1,2 (en secondes) qui peut s’interpréter comme le temps de réaction du conducteur. Une probabilité donnée par le flottant p est utilisée dans l’algorithme.

Q16. Justifier le choix de la valeur du pas d’espace. En déduire ce que vaut la vitesse v max imposée de 130 km/h en cellules par pas de temps. On arrondira au nombre entier supérieur.

Comme précédemment, la portion d’autoroute considérée est sans entrée ni sortie. Les conditions li- mites seront périodiques, c’est-à-dire qu’un véhicule sortant de l’autoroute se retrouve instantanément

à l’entrée de celle-ci (avec la même vitesse).

On considère que les données du problème pas x, pas t, T emps, La, v max, p sont, à présent, ren- seignées dans le programme. On cherche, pour une densité donnée, à déterminer les vitesses à chaque position au cours du temps, ainsi que l’occupation ou non de chacune des cellules. On met en place une structure de stockage constituée :

– d’un tableau Route de dimension nb temps

×

nb cellules qui contient des nombres binaires. Si, au pas de temps 10, la cellule 23 est occup´ee par un v´ehicule, alors Route[10,23]

=

1, sinon Route[10,23]

=

0 ;

– d’un tableau Vitesses de dimension nb temps

×

nb cellules qui contient des entiers. Si, au pas de temps 10, la cellule 23 est occup´ee par un v´ehicule et que sa vitesse est de 3 cellules par pas de temps, alors Vitesses[10,23]

=

3. Si la cellule n’est pas occup´ee, alors Vitesses[10,23]

=

0 ; – d’un tableau Vitesses suivantes de dimension 1

×

nb cellules qui contient des entiers. Il per-

mettra de stocker les vitesses au temps i

+

1 avant de d´eplacer les v´ehicules.

On peut désormais définir la situation initiale. On considère une route où les écarts entre tous les

véhicules sont identiques. On crée ainsi une route avec une répartition homogène des véhicules. La

route a été initialisée en plaçant des 1 dans les cellules possédant un véhicule dans la première ligne

de Route pour une concentration fixée c0 en véhicules par kilomètre. Toutes les autres cellules de

Route sont initialisées avec la valeur 0. Les cellules de Vitesses sont également initialisées avec des

zéros. Cette étape d’initialisation est considérée comme déjà réalisée dans la suite.

(11)

IV.2 Mise en œuvre de l’algorithme

Le modèle NaSch, dont le pseudo-code est donné en annexe 1, est le pionnier des modèles cellulaires permettant de simuler un trafic routier. L’algorithme est constitué de quatre étapes qui sont toutes réalisées l’une après l’autre à chaque pas de temps.

Les étapes 1, 2 et 3 correspondent au calcul des futures vitesses. L’étape 4 permet d’inscrire chaque vitesse au lieu où se trouve le véhicule au pas suivant. Le comportement correspondant est illustré figure 8. Dans cet algorithme, on e

ff

ectue la mise à jour des positions de tous les véhicules de façon simultanée.

Au niveau des ´etapes 2 et 4, des comparaisons et calculs sont e

ff

ectu´es entre d

_n

et v

_n

ou entre X

_n

et v

_n

. En e

ff

et, les vitesses sont exprim´ees en cellules par pas de temps. Sur un pas de temps, v

n

correspond donc `a une distance parcourue en nombre de cellules.

On cherche à écrire la fonction ma j qui permet d’appliquer les étapes 1, 2 et 3 de l’algorithme de NaSch pour toutes les valeurs de Vitesses[i, :]. On utilisera la fonction distance(Route

,

i

,

j) qui prend en arguments le tableau Route, l’indice de temps i et l’indice de position j du v´ehicule n et qui renvoie la distance d

n

entre les v´ehicules n

+

1 et n, à l’instant i. Seules les cellules comprenant un véhicule doivent être traitées ; les autres auront une vitesse nulle.

Configuration à linstant t

Etape 1 : Accélération

!"# !"$ !"$ !"%

Etape 2 : Décélération

!"% !"$ !"& !"%

Sens de parcours

Etape 3 : Facteur aléatoire

!"& !"$ !"& !"%

Etape 4 : Déplacement (Configuration à linstant t+1)

Mise à jour des vitesses

!"$ !"% !"% !"&

!"& !"$ !"& !"%

Figure 8 – Illustration du sch´ema sur un exemple

Q17. En utilisant l’annexe 1, ´ecrire une fonction ma j(Route

,

Vitesses

,

p

,

vmax

,

i) qui prend en

arguments les tableaux Route et Vitesses, le param`etre al´eatoire p, la vitesse maximale

v max (en cellules par pas de temps) et l’indice de temps i et qui renvoie le tableau

Vitesses suivantes.

(12)

Q18. Ecrire une fonction ´ deplacement(Vitesses

,

Route

,

Vitesses suivantes

,

i) qui permet de d´eterminer les valeurs de Vitesses[i

+

1, :] et de Route[i

+

1, :]. La fonction deplacement renvoie les tableaux Route et Vitesses mis `a jour avec la ligne i

+

1 complétée. Les vitesses calculées doivent être placées dans les cellules où se trouvent les voitures correspondantes une fois déplacées. Penser à intégrer la prise en compte des conditions aux limites.

IV.3 Simulation et analyse des r´esultats

Après nb temps itérations sur le temps, on obtient l’évolution de l’état de Route au cours du temps représentée figure 9. Les points noirs correspondent aux valeurs 1 du tableau (le reste étant à 0).

Figure 9 – A

ffi

chage de Route (indice i de temps en ordonn´ee, indice j des positions en abscisse)

(13)

Un zoom est r´ealis´e

figure 10

sur les premi`eres valeurs en temps et en espace pour mieux visualiser la formation d’embouteillages.

Figure 10 –

Zoom sur l’a

ffi

chage de Route (indice i des temps en ordonn´ee, indice j des positions en abscisse)

Q19.

Expliquer en quelques phrases en quoi les figures pr´esent´ees montrent que la formation d’un

embouteillage a été simulée. Sur quels paramètres peut-on agir pour que le résultat de la simu-

lation se rapproche des r´esultats exp´erimentaux?

(14)

Annexes

Annexe 1 - Algorithme de NaSch

Les opérations suivantes sont réalisées à chaque pas de temps.

– Etape 1 - Acc´el´eration ´

Le véhicule n accélère d’une unité s’il n’a pas encore atteint la vitesse maximum.

v

n

(t

+

1)

→

min (v

n

(t)

+

1,v max) – Etape 2 - Décélération ´

Le véhicule n décélère si la distance d

n=

X

n+1−

X

n

par rapport au véhicule précédent ne permet pas de maintenir la vitesse v

n

.

v

n

(t

+

1)

→

min (v

n

(t

+

1),d

n−

1) – Etape 3 - Facteur al´eatoire ´

Pour caractériser le comportement aléatoire de chacun des conducteurs, le véhicule n décélère avec une probabilité p, mais la vitesse n’est pas modifiée si v

n

(t

+

1)

=

0 (pas de marche arri`ere).

On utilise pour cela la fonction rand() qui renvoit une valeur al´eatoire

∈

[0..1].

Si rand()

<

p alors v

n

(t

+

1)

→

max (v

_n

(t

+

1)

−

1,0) – Etape 4 - D´eplacement ´

Une fois les vitesses déterminées, les positions des véhicules au pas de temps suivant sont déterminées de façon simultanée.

X

n

(t

+

1)

→

X

n

(t)

+

v

n

(t

+

1)

(15)

Annexe 2 - Rappels des syntaxes en Python

Remarque : sous Python, l’import du module numpy permet de réaliser des opérations pratiques sur les tableaux : from numpy import *. Les indices de ces tableaux commencent à 0.

Python

tableau `a une dimension L=[1,2,3](liste)

v=array([1,2,3])(vecteur)

accéder à un élément v[0]renvoie 1

ajouter un ´el´ement L.append(5)uniquement sur les listes

tableau `a deux dimensions (matrice) M=array(([1,2,3],[3,4,5]))

accéder à un élément M[1,2]ouM[1][2]donne 5

extraire une portion de tableau

(2 premi`eres colonnes) M[:,0:2]

tableau de 0 ( 2 lignes, 3 colonnes) zeros((2,3)) dimension d’un tableau T de taille (i,j) T.shape donne [i,j]

séquence équirépartie quelconque de 0 à 10.1

(exclus) par pas de 0.1 arange(0,10.1,0.1)

d´efinir une chaˆıne de caract`eres mot="Python"

taille d’une chaˆıne len(mot)

extraire des caract`eres mot[2:7]

boucleFor

for i in range(10):

print ( i )

conditionIf

if (i>3):

print (i) else:

print("hello")

définir une fonction qui possède un argument et renvoie 2 résultats

def fonction(param):

res1=param res2=param*param return res1,res2

trac´e de points (o) de coordonn´ees (x,y) plot(x,y,"o")