max j=1,...,d|xj|

Universit´e de Bordeaux TGM601U, Analyse fonctionnelle

Devoir maison n^◦ 1 (optionnel).

Ce devoir est optionnel. Il est `a rendre au CM du 28/02/2017.

Exercice 1. (R´evisions - l’´equivalence des normes sur R^d) Soitx= (xj)j=1,...,d∈R^d. D´efinissons

||x||1=

d

X

j=1

|xj|, ||x||2=

d

X

j=1

x²_j1/2

,

||x||_∞= max

j=1,...,d|xj|.

(a) D´emontrez que||.||p avecp= 1,2,∞,d´efinies ci-dessus sont des normes.

(b) D´emontrez que ces normes sont ´equivalentes, i.e.:

||x|| ≤ ||x||1≤d||x||_∞, 1

√d||x||1≤ ||x||2≤ ||x||1,

||x||∞≤ ||x||2≤√ d||x||∞.

(c) Montrez que ces in´egalit´es sont exactes, i.e. pour chaque in´egalit´e (simple) il existe unx∈ R^d pour lequel on a le cas d’´egalit´e.

(d) Montrez que les normes ||.||p, p= 1,2,∞, ne sont pas ´equivalentes pour le cas d’espaces l^p (de dimension infinie).

Exercice 2. Soient (E, d) un espace m´etrique etAune partie de E.

(a) Montrer queA=∩r>0Vr(A) o`uVr(A) ={x∈E, d(x, A)< r}.

(b) En d´eduire que tout ferm´e est intersection d´enombrable d’ouverts. Que peut–on dire pour les ouverts?

(c) Donner un exemple d’une r´eunion d´enombrable de ferm´es qui n’est pas ferm´ee; idem pour l’intersection d´enombrable d’ouverts.

Exercice 3. SoitEl’espace des fonctions continues `a support dans [0,2] (c’est-`a-dire nulles en dehors de [0,2]) et `a valeurs dansR. On d´efinit l’applicationk · k1:E→R⁺ par :

kfk₁:=

Z 2 0

|f(x)|dx.

(a) Montrer que l’application (E,k · k1) est une espace norm´e, c’est-`a-dire quek · k1 est une norme d´efinie surE.

(b) ´Etant donn´en∈N^∗, on consid`ere la fonctionf_n∈E d´efinie par:

fn(x) :=







1 pour x∈

0,1−_n¹ ,

−n

2x+n+ 1

2 pour x∈

1−_n¹,1 +_n¹ ,

0 pour x∈

1 +_n¹,2 .

Tracer fn pour quelques valeurs denet, pour toutx∈[0,2], donner la limite defn(x) quand n va `a l’infini.

(c) D´emontrer que la suite (fn)n∈N n’a pas de limite dans E, pour la norme k · k1. (On pourra supposer qu’une limite f existe et la comparer avec la limite ponctuelle lim_n→∞f_n(x) sur [0,1[

et sur ]1,2].)

(d) Montrer que l’espace (E,k · k₁) n’est pas complet.

Exercice 4. L’espaceP[0,1] de polynˆomes sur l’int´ervalle [0,1] est-il ouvert dansC[0,1]? ferm´e dans C[0,1]?

Exercice 5. SoitEun espace m´etrique compact. D´emontrer que pour qu’une suite soit convergente, il faut et il suffit qu’elle admette une seule valeur d’adh´erence. Donner un contre-exemple `a ceci si E n’est pas compact.