A la recherche de Max
Problème E638 de Diophante
Soit une fonction réelle f définie sur l’intervalle [0,10 centimètres], qui est strictement croissante entre 0 et une certaine valeur x = Max et qui est strictement décroissante entre Max et 10 centimètres.
Vous pouvez poser autant de questions que vous le souhaitez de la forme :
« Pour x = u, quelle est la valeur de f(x)? » et vous aurez pour réponse f(u) .
Quel est le nombre minimum de questions qui vous donne la certitude de situer Max dans un intervalle de moins d’un dixième de millimètre ?
Solution
Une première réponse f(a), pour x = a, n’apporte rien quant à la connaissance de Max. Une deuxième réponse f(b) pour x = b, avec b > a permet d’affirmer que Max est supérieur à a ou inférieur à b selon que f(b) est ou n’est pas supérieur à f(a).
Posons une troisième question pour x = c, avec c > b.
Quatre cas se présentent :
I
: f(a) < f(b) < f(c)II
: f(a) < f(b) & f(b) > f(c) & f(a) > f(c)III
: f(a) > f(b) > f(c)IV
: f(a) < f(b) & f(b) > f(c) & f(a) < f(c)0 a b c 10 0 a b c 10 0 a b c 10 0 a b c 10
I II III IV
Ainsi en trois questions, nous situons Max dans un intervalle d’amplitude 5 (la moitié de 10) pour a = 2,5 ; b = 5 et c = 7,5.
Nous pouvons faire bien mieux, en prenant a = 3,3 ; c = 6,7 et b = 3,4 dans les cas II et III, où f(a) ≥ f(c), ou b = 6,6 dans les cas contraires I et IV. Ainsi, en trois questions nous situons Max dans un intervalle d’amplitude 34 millimètres, au plus.
Par trichotomie, en réitérant six fois le processus sur l’intervalle retenu à chaque étape, nous situons max dans un intervalle de mesure inférieure à 0,046 millimètres.
En conclusion, en au plus 21 questions (du type autorisé) nous situons Max dans un intervalle de moins d’un dixième de millimètre.
Remarque : Il se peut que dans certains cas, lorsqu’on connaît les valeurs de f aux bords de l’intervalle d’étude, on puisse aller plus vite mais dans le cas où Max est très proche de 0 ou de 10, les 21 questions seront nécessaires.
Pierre Jullien – novembre 2007
