Contribution à la déterminisation des automates max-plus

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To cite this version:

Sébastien Lahaye, Aiwen Lai, Jan Komenda. Contribution à la déterminisation des automates max-

plus. 11ème Colloque sur la Modélisation des Systèmes Réactifs, Nov 2017, Marseille, France. �hal-

02481732�

Contribution ` a la d´eterminisation des automates max-plus

S´ ebastien Lahaye

, Aiwen Lai

, and Jan Komenda

1

LARIS, Universit´ e d’Angers, France [email protected]

2

Institute of Mathematics - Brno Branch, Czech Academy of Sciences, Czech Republic [email protected]

Abstract

Tous les automates max-plus ne peuvent pas ˆ etre d´ eterminis´ es, c’est-` a-dire transform´ es en un au- tomate max-plus d´ eterministe ayant le mˆ eme comportement. Une g´ en´ eralisation aux automates max- plus de la proc´ edure classique de s´ equentialisation a malgr´ e tout ´ et´ e intensivement ´ etudi´ ee et celle-ci aboutit pour des sous-classes importantes. Cette proc´ edure utilise une condition sur la normalisation des vecteurs d’´ etat pour d´ etecter et fusionner les ´ etats ` a partir desquels le comportement est semblable.

Dans cette contribution, on identifie une nouvelle condition, moins forte, garantissant cette propri´ et´ e.

Cela permet d’am´ eliorer la proc´ edure de d´ eterminisation, si bien qu’elle termine pour une classe plus large d’automates max-plus.

1 Introduction

Les automates ` a multiplicit´ es (ou automates pond´ er´ es pour traduction litt´ erale de weighted automata) g´ en´ eralisent les automates finis en adjoignant des poids aux transitions. Un tel poids peut par exemple permettre de mod´ eliser une dur´ ee associ´ ee ` a la transition ou encore la probabilit´ e de son occurrence. Ces poids sont souvent consid´ er´ es appartenir ` a un semi- anneau et les automates ` a multiplicit´ es sur un semi-anneau ont ´ et´ e largement ´ etudi´ es depuis une cinquantaine d’ann´ ees [3]. Ils trouvent des applications notamment en reconnaissance de la parole, compression d’images [3, Part IV], syst` emes ` a ´ ev´ enements discrets [5, 10]. Dans cette communication, nous consid´ erons des poids appartenant au semi-anneau ( R ∪{−∞}, max, +) et on parle d’automates max-plus (n´ eanmoins les d´ eveloppements propos´ es peuvent certainement ˆ

etre adapt´ es ` a tout autre semi-anneau).

La plupart des bonnes propri´ et´ es algorithmiques des automates finis ne se v´ erifient pas pour les automates ` a multiplicit´ es. En particulier, l’inclusion de langages correspond ` a l’in´ egalit´ e entre les comportements d’automates pond´ er´ es qui est ind´ ecidable [8]. De nombreux travaux ont de ce fait port´ e sur des sous-classes pour lesquelles ce probl` eme devient d´ ecidable. Cela inclut la classe des automates pond´ er´ es d´ eterministes (aussi parfois qualifi´ es de s´ equentiels) pour lesquels l’automate fini sous-jacent (i.e. en oubliant les pond´ erations) est d´ eterministe. Dans ce contexte, le probl` eme de d´ eterminisation d’un automate pond´ er´ e, c’est-` a-dire sa transformation en un automate d´ eterministe ayant le mˆ eme comportement, trouve une place pr´ epond´ erante.

Il s’av` ere que tous les automates pond´ er´ es ne peuvent pas ˆ etre d´ eterminis´ es (voir par exemple [11]), mais la proc´ edure de d´ eterminisation faisant r´ ef´ erence [5, 12] termine tout de mˆ eme pour des sous-classes notables [7].

Dans la continuit´ e de [9], on propose d’am´ eliorer cette proc´ edure. L’id´ ee directrice est de chercher une condition plus faible pour d´ etecter des ´ etats pouvant ˆ etre fusionn´ es et ainsi ´ elargir la classe d’automates pouvant ˆ etre trait´ es avec succ` es. ` A nos yeux, plusieurs contributions dans ce travail peuvent ˆ etre soulign´ ees :

∗Ce travail a ´et´e soutenu par GA ˇCR projet no. 15-02532S et par RVO 67985840

• on consid` ere ici des automates max-plus sans hypoth` ese restrictive (alors que dans [9] on se restreignait ` a des automates pour lesquels tous les ´ etats ´ etaient consid´ er´ es comme finaux) ;

• on propose une condition pour caract´ eriser les ´ etats fusionnables qui est moins forte que toutes celles propos´ ees pr´ ec´ edemment ;

• on montre que cette condition peut se formuler en un probl` eme de comparaison de com- portements d’automates d´ efinis ”sur mesure”. Cela nous permet d’utiliser un travail de la litt´ erature, qui propose une g´ en´ eralisation du concept de (bi)simulation, pour modi- fier la proc´ edure de d´ eterminisation de sorte qu’elle aboutit pour un plus grand nombre d’automates max-plus.

Notons qu’un raffinement de la proc´ edure de d´ eterminisation a aussi ´ et´ e propos´ e dans [6]

mais sous un angle diff´ erent. Ajoutons enfin que pour faire face ` a la difficult´ e du probl` eme, des approches de d´ eterminisation ”approch´ ees” ont ´ egalement ´ et´ e propos´ ees. En particulier dans [4], des avanc´ ees importantes sont propos´ ees pour construire un automate d´ eterministe dont le comportement s’´ ecarte au plus d’une valeur dite de regret vis-` a-vis du comportement de l’automate non d´ eterministe consid´ er´ e.

La section suivante contient des rappels sur les notions et outils utilis´ es. La proc´ edure existante de d´ eterminisation des automates max-plus est ensuite pr´ esent´ ee et discut´ ee. Les quatri` eme et cinqui` eme sections sont d´ edi` ees ` a notre contribution. Il s’ensuit une conclusion o` u sont ´ evoqu´ ees les perspectives ouvertes par ce travail.

2 Pr´ eliminaires

On rappelle ici un ensemble de d´ efinitions, notations et r´ esultats bien connus (consulter, par exemple, les r´ ef´ erences [1, 13, 3, 5] pour des pr´ esentations d´ etaill´ ees).

L’ensemble R ∪ {−∞} avec l’op´ eration maximum jouant le rˆ ole d’addition et l’addition usuelle jouant le rˆ ole de multiplication est un semi-anneau idempotent, not´ e R

et sou- vent appel´ e alg` ebre max-plus. L’addition ⊕ (resp., la multiplication ⊗) admet un ´ el´ ement nul ε = −∞ (resp., un ´ el´ ement unit´ e e = 0). Pour x ∈ R

et x 6= ε, on note x

l’inverse de x, c.-` a-d. l’´ el´ ement de R

tel que x

⊗ x = x ⊗ x

= e, ` a savoir x

vaut −x. Par la suite, on s’autorisera ` a omettre le symbole multiplicatif quand il n’y a pas d’ambiguit´ e.

L’ensemble des matrices n×n ` a coefficients dans R

, muni de l’addition et de la multiplication matricielles d´ efinies de fa¸ con conventionnelle ` a partir de ⊕ et ⊗, est ´ egalement un semi-anneau idempotent, not´ e R

. L’´ el´ ement nul est la matrice compos´ ee exclusivement de ε (= −∞) et ´ egalement not´ ee ε. On note I

l’´ el´ ement identit´ e qui est la matrice avec des e (= 0) sur la diagonale et ε (= −∞) partout ailleurs. La puissance k-i` eme d’une matrice max-plus carr´ ee est not´ ee A

. En toute rigueur, les op´ erations entre matrices non carr´ ees requi` erent de plonger ces matrices dans un semi-anneau de matrices carr´ ees. Par exemple le produit A ⊗ B avec A ∈ R

, B ∈ R

et n > m, n > p n´ ecessite de projeter A et B dans R

en ajoutant n − m lignes (resp. n − p colonnes) remplies de ε dans A (resp. dans B). Pour all´ eger la pr´ esentation, cette manipulation sera souvent omise (sans affecter les r´ esultats), en outre les coefficients ´ egaux ` a ε dans les matrices seront remplac´ es par ’·’.

Si Σ est un ensemble fini (alphabet), le mono¨ıde libre sur Σ est d´ efini comme l’ensemble Σ

de mots finis form´ es ` a partir de lettres dans Σ. Un mot w ∈ Σ

s’´ ecrit comme une s´ equence

w = a

a

. . . a

avec a

, a

, . . ., a

∈ Σ et p un entier naturel (w est la concat´ enation de a

, a

,

. . ., a

). Le mot vide est not´ e . Un mot u est dit ˆ etre un pr´ efixe de w s’il existe un mot v tel

que w = uv. On note < l’ordre hi´ erachique strict sur Σ

(aussi appel´ e ordre militaire strict, et

bas´ e sur la longueur des mots ainsi que l’ordre lexicographique ` a longueur ´ egale). Ainsi, on a < a < b < aa < ab < ba < bb < aaa < . . ..

D´ efinition 1 (Automate max-plus). Un automate max-plus sur l’alphabet Σ est un quadruplet G = (Q, α, µ, β) o` u

• Q est un ensemble fini non vide d’´ etats ;

• α ∈ R

;

• µ : Σ

→ R

est un morphisme sp´ ecifi´ e par la familles de matrices µ(a) ∈ R

, a ∈ Σ, et pour un mot w = a

a

. . . a

, nous avons

µ(w) = µ(a

a

. . . a

) = µ(a

) ⊗ µ(a

) ⊗ . . . ⊗ µ(a

);

• β ∈ R

.

De fa¸ con ´ equivalente G peut ˆ etre d´ efini par le sextuplet (Q, Q

, Q

, σ, t, ρ), dans lequel Q

(resp.

Q

) est l’ensemble des ´ etats initiaux (resp. finaux), t : Q × Σ × Q → R

est la fonction de transition, σ : Q

→ R

est la fonction de poids initial et ρ : Q

→ R

est la fonction de poids final :

Q

, {q ∈ Q : α

6= ε}; Q

, {q ∈ Q : β

6= ε};

q

∈ Q

, σ(q

) , α

; q, q

∈ Q, t(q, a, q

) , µ(a)

; q

∈ Q

, ρ(q

) , β

.

On peut donner une repr´ esentation graphique ` a un automate max-plus sous la forme d’un multigraphe valu´ e :

• ` a chaque ´ etat q ∈ Q correspond un sommet ;

• un arc de l’´ etat q ` a l’´ etat q

existe s’il existe une lettre a ∈ Σ telle que µ(a)

6= ε et il est alors ´ etiquet´ e par a/µ(a)

;

• un arc entrant (sans sommet de d´ epart) est utilis´ e pour indiquer un ´ etat q

initial (i.e., si α

6= ε) et il est ´ etiquet´ e par α

;

• un arc sortant (sans sommet d’arriv´ ee) est utilis´ e pour indiquer un ´ etat q

final (i.e., si β

6= ε) et il est ´ etiquet´ e par β

.

Si [µ(a)]

6= ε, on notera aussi (q, a, q

) la transition dans G. Soit m ≥ 1 et π = (q

, a

, q

) (q

, a

, q

) . . . (q

, a

, q

) une s´ equence de transitions. On appelle π un chemin depuis q

jusqu’` a q

. On note ω(π) le produit ⊗ des poids (valeurs de la fonction de transition) sur π, c’est-` a-dire

ω(π) = O

i=1,...,m

t(q

, a

, q

) = O

i=1,...,m

µ(a

)

.

Soient p, q ∈ Q et w ∈ Σ

. On note p

q l’ensemble des chemins depuis p jusqu’` a q et

´

etiquet´ es par le mot w. On a

µ(a

a

. . . a

)

= M

π∈q0 a1...am

q_m

ω(π) . (1)

On utilise souvent par la suite la notation x (pour faire r´ ef´ erence au vecteur d’´ etat de l’automate) d´ efini par

x : Σ

→ R

w 7→ x(w) = αµ(w), (2)

et on note

¯

x(w) = M

q∈Q

x(w)

, α ¯ = M

q∈Q

α

. (3)

Il est connu que x est solution du syst` eme d’´ equations suivant : x() = α

x(wa) = x(w)µ(a) . (4)

D´ efinition 2 (Comportement d’un automate max-plus). A un automate max-plus ` G, on as- socie l’application y :

y : Σ

→ R

w 7→ y(w) = x(w)β . (5)

L’application y est souvent appel´ ee le comportement de G.

On note S(w) (resp. R(w)) l’ensemble des ´ etats gagnants (resp. atteignables) pour w : S(w) , {q ∈ Q|x(w)

6= ε et x(w)

⊗ β

= y(w)}, R(w) , {q ∈ Q|x(w)

6= ε}. (6) D´ efinition 3 (Automate max-plus ´ equivalent). Deux automates max-plus sont ´ equivalents s’ils admettent le mˆ eme comportement.

D´ efinition 4 (Automate max-plus d´ eterministe). Un automate max-plus est d´ eterministe si

• il a un unique ´ etat initial (Q

est un singleton, ou de fa¸ con ´ equivalente, il existe un unique q ∈ Q tel que α

6= ε) ;

• depuis chaque ´ etat, il n’existe pas deux transitions ´ etiquet´ ees par la mˆ eme lettre (pour tout a ∈ A chaque ligne de µ(a) contient au plus un coefficient diff´ erent de ε).

Pour un automate max-plus d´ eterministe, ∀q, q

∈ Q, w ∈ Σ

, q

q

est l’ensemble vide ou un singleton. Pour (q

, a

, q

)(q

, a

, q

) . . . (q

, a

, q

) l’unique chemin ´ etiquet´ e par a

a

. . . a

depuis q

jusqu’` a q

, l’´ equation (1) se r´ eduit ` a

µ(a

a

. . . a

)

= O

i=1...m

µ(a

)

= O

i=1...m

t(q

, a

, q

).

On a alors avec q

l’´ etat initial et q

∈ Q

y(a

a

. . . a

) = α

⊗

"

O

i=1...m

µ(a

)

#

⊗ β

= σ

⊗

"

O

i=1...m

t(q

, a

, q

)

#

⊗ ρ(q

). (7)

3 Proc´ edure de d´ eterminisation des automates max-plus

On parle de la d´ eterminisation d’un automate max-plus G pour d´ esigner la proc´ edure qui, s’il existe, construit un automate d´ eterministe G

´ equivalent ` a G. On pr´ esente ici la proc´ edure introduite dans [5, §VIII]. Elle est similaire ` a celle pr´ esent´ ee dans [12], parfois appel´ ee algo- rithme de Mohri dans la litt´ erature. Il s’agit d’une g´ en´ eralisation de la proc´ edure classique de d´ eterminisation des automates finis (non pond´ er´ es).

On d´ efinit la relation binaire ' de R

vers R

par :

x

' x

⇐⇒ ∃λ ∈ R

\ {ε}, x

= λx

. (8)

Consid´ erons un automate G = (Q, α, µ, β) et v, w ∈ Σ

tels que

x(w) ' x(v), (9)

on a alors ∀u ∈ Σ

,

y(wu) = x(wu)β = x(w)µ(u)β = λx(v)µ(u)β = λy(vu). (10) En d’autres termes, si x(w) ' x(v), alors le comportement pour toute ´ evolution possible apr` es w peut ˆ etre d´ eduit du comportement pour la mˆ eme ´ evolution apr` es v et d’un d´ ecalage de λ.

La proc´ edure 1 construit un automate G

dont les ´ etats sont ´ etiquet´ es par les mots permettant d’atteindre des ´ etats de G. Les deux mots w et v correspondent alors ` a des ´ etats qui peuvent ˆ etre fusionn´ es tout en conduisant ` a un mˆ eme comportement, c’est-` a-dire ` a un automate max-plus

´

equivalent. Cette proc´ edure, si elle se termine, construit un automate G

= (Q

, q

, Q

, σ

, t

, ρ

)

´

equivalent ` a G = (Q, α, µ, β) possiblement non d´ eterministe.

Proc´ edure 1 Proc´ edure de d´ eterminisation des automates max-plus

1:

2:

Q

← {}, Q

← ∅, q

← {}, Q

← {}, σ

() = ¯ α . initialisation

3:

if y() 6= ε then . est reconnu par G

4:

Q

= {} . l’´ etat est d´ efini comme final

5:

ρ

() = ¯ x()

⊗ y() . d´ efinit le poids final associ´ e ` a

6:

else

7:

Q

= ∅

8:

end if

9:

while Q

6= ∅ do

10:

for all w ∈ Q

, a ∈ Σ tels que R(wa) 6= ∅ do

11:

if ∃v < w tel que x(wa) ' x(v) then . les comportements ` a la suite de wa et . v sont similaires selon (10)

12:

t

(w, a, v) = ¯ x(w)

⊗ x(wa) ¯ . d´ efinit une transition vers l’´ etat v

13:

else

14:

Q

← Q

S {wa} . ajoute l’´ etat wa dans Q

15:

t

(w, a, wa) = ¯ x(w)

⊗ x(wa) ¯ . d´ efinit une transition vers l’´ etat wa

16:

Q

← Q

S

{wa}

17:

if y(wa) 6= ε then . wa est reconnu par G

18:

Q

= Q

∪ {wa} . l’´ etat wa est d´ efini comme final

19:

ρ

(wa) = ¯ x(wa)

⊗ y(wa) . d´ efinit le poids final associ´ e ` a wa

20:

end if

21:

end if

22:

end for

23:

Q

← Q

Q

← ∅

25:

end while

Exemple 1

Consid´ erons l’automate max-plus non d´ eterministe G

de la figure 1 et d´ etaillons comment

la proc´ edure op` ere pour construire l’automate d´ eterministe G

´ equivalent ` a G

et repr´ esent´ e

dans la figure 2.

• Puisque x() = 1 0

et y() = 0, l’initialisation (l. 2-8) conduit ` a Q

= {}, q

= {}, σ

() = 1, Q

= {}, ρ

() = −1 ⊗ 0 = −1.

• A la premi` ` ere ´ evaluation de la condition du while l.9, on a Q

= {}.

Puisque x() = 1 0

et x(a) = 5 2

, x(b) = · 1

, pour la variable ’wa’ ´ egale

`

a a et b la condition du if l.11 est fausse, et alors

– les ´ etats a et b sont ajout´ es dans Q

; les transitions t

(, a, a) = 4 et t

(, b, b) = 0 sont d´ efinies ;

– puisque y(a) = 2 et y(b) = 1, la condition du if l.17 est vraie, et alors les ´ etats a et b sont ajout´ es dans Q

avec ρ

(a) = −3 et ρ

(b) = 0 comme poids finaux.

• Puisque x(aa) = 9 6

, x(ab) = · 3

, x(ba) = · 3

et x(bb) = · 2 , on a x(aa) ' x(a), x(ab) ' x(b), x(ba) ' x(b) et x(bb) ' x(b) (la condition du if l.11 est vraie pour ces quatre cas), et alors les transitions t

(a, a, a) = 4, t

(a, b, b) = −2, t

(b, a, b) = 2 et t

(b, b, b) = 1 sont d´ efinies.

• A la troisi` ` eme ´ evaluation de la condition du while l.9, Q

est vide et la proc´ edure se termine.

Figure 1: Automate max-plus G

non d´ eterministe.

Figure 2: Automate max-plus G

d´ eterministe, ´ equivalent ` a G

, obtenu ` a partir de la proc´ edure 1.

A notre connaissance, la condition dite de clonage introduite dans [7] est la condition qui

caract´ erise le plus explicitement les automates pouvant ˆ etre d´ eterminis´ es ` a l’aide de la proc´ edure

1. Soient u, v ∈ Σ

tels que R(uv) = R(u), on note ¯ R(u, v) le sous-ensemble de R(u) contenant les ´ etats dans R(u) ` a partir desquels les circuits reconnaissant v ont le poids maximum, ` a savoir

R(u, v) ¯ , {p ∈ R(u) | µ(v)

= M

q∈R(u)

µ(v)

}. (11)

D´ efinition 5 (Propri´ et´ e de clonage). Soient u, v ∈ Σ

. Un ´ etat q ∈ R(u) est appel´ e un clone pour v si µ(v)

6= ε implique qu’il existe p ∈ R(u, v) ¯ tel que µ(v)

6= ε. Un automate max-plus G a la propri´ et´ e de clonage si ∀u ∈ Σ

, ∀p, q ∈ R(u), p et q sont des clones pour tout v ∈ Σ

tel que R(uv) = R(u).

Th´ eor` eme 2 ([7, th. 3.4]). Soit G un automate max-plus ´ emond´ e

et polynomialement ambigu

. La proc´ edure 1 termine sur G ssi G satisfait la propri´ et´ e de clonage.

Exemple 3 L’automate max-plus G

de la figure 1 est polynomialement ambigu

et satisfait

la propri´ et´ e de clonage.

L’automate G

repr´ esent´ e sur la figure 3 est polynomialement ambigu mais ne satisfait pas la propri´ et´ e de clonage car l’´ etat 0 n’est pas un clone pour a. En effet, µ(a)

6= L

r∈R(a)

µ(a)

= 4 = µ(a)

et µ(a)

= ε. Plus encore, il nous semble instructif d’expliciter pourquoi la proc´ edure 1 ne termine pas pour cet exemple. Pour G

, on a pour k ≥ 1, x(a

) =

2 × k + 1 4 × k

et x(v)

= ε pour tout mot v incluant la lettre b. Il est alors clair que pour tout k ≥ 1, il n’existe pas i ≤ k tel que x(a

) ' x(a

) et il n’existe pas v < a

tel que x(a

) ' x(v). La condition ` a la l.11 de la proc´ edure 1 est alors fausse pour w = a

et un nouvel ´ etat a

est ajout´ e dans G

. La proc´ edure va ainsi ind´ efiniment cr´ eer des ´ etats a

dans G

pour tout k ≥ 1. En d’autres termes, cette condition bas´ ee sur la relation ' indique que les ´ etats a

et a

ne sont pas fusionnables au sein de G

dans le sens o` u elle ´ echoue ` a nous assurer qu’il existe un scalaire λ tel que, ∀u ∈ Σ

, y(a

u) = λy(a

u) (la relation ' est seulement une condition suffisante pour cette ´ egalit´ e, cf. (10)). Pourtant, on peut rapidement se convaincre que pour tout k ≥ 1 et u ∈ Σ

on a y(a

u) = 4 ⊗ y(a

u). Cela met en ´ evidence que la relation ' est une condition parfois trop forte pour tester si des ´ etats sont fusionnables dans la proc´ edure 1 de d´ eterminisation. On propose dans ce qui suit une condition plus faible que ' pour d´ etecter les ´ etats fusionnables. Cela nous permet ensuite de modifier la proc´ edure de sorte qu’elle termine pour une classe plus large d’automates max-plus.

4 Nouvelle relation pour d´ etecter des ´ etats fusionnables

Soit v, w ∈ Σ

. Pour λ ∈ R

\ {ε}, on note

Q

= {q ∈ R(w) ∩ R(v) | x(w)

= λx(v)

} (12)

1On dit queq∈Qestaccessibles’il existew∈Σ^∗tel queq∈R(w). Un ´etatqest ditco-accessibles’il existe w∈Σ^∗etqf∈Qf tels que|q ^wqf| ≥1. Si tout ´etat est accessible et co-accessible, alorsGest dit´emond´e.

2Soit P : N→ Nune fonction polynomiale. Si pour tout w ∈ Σ^∗, il y a au plus P(|w|) chemins dans Qi

w Qf, alorsGest ditpolynomialement ambigu.

3Un automate max-plus est polynomialement ambigussi pour toutq∈Qet toutw∈Σ^∗, il y a au plus un chemin dansq ^wq(voir [7]).

Figure 3: Automate max-plus G

non d´ eterministe.

et on d´ efinit la relation binaire ∼

de R

vers R

par x(w) ∼

x(v)

⇐⇒

∀u ∈ Σ

,

∀q ∈ S(vu), ∃p ∈ Q

: y(vu) = x(v)

⊗ µ(u)

⊗ β

, (13)

∀q ∈ S(wu), ∃p ∈ Q

: y(wu) = x(w)

⊗ µ(u)

⊗ β

. (14)

Remarque 4

a) La notation Q

est abusive car cet ensemble d´ epend ` a la fois de λ, v et w. On opte pour cette notation, plutˆ ot que par exemple Q(λ, v, w), pour all´ eger les notations ci-apr` es.

b) Puisque les vecteurs x(w) et x(v) sont de dimension finie, il existe un nombre fini de candidats λ pour d´ efinir Q

.

c) Si v est un pr´ efixe de w, alors la condition (14) n’est pas requise puisque dans ce cas (13)

= ⇒ (14).

Lemme 1. On a : x(w) ∼

x(v) = ⇒ y(wu) = λy(vu), ∀u ∈ Σ

. Proof. Supposons que x(w) ∼

x(v).

Notons pour u ∈ Σ

q

∈ S(vu) et p

∈ Q

tels que y(vu) = x(v)

µ(u)

β

(15) q

∈ S (wu) et p

∈ Q

tels que y(wu) = x(w)

µ(u)

β

. (16) Puisque q

∈ S(vu) (resp. q

∈ S(wu)) soulignons que

x(v)

µ(u)

β

≥ x(v)

µ(u)

β

, ∀p, q ∈ Q (17)

et x(w)

µ(u)

β

≥ x(w)

µ(u)

β

, ∀p, q ∈ Q. (18)

On a

y(wu) = x(w)

µ(u)

β

≥ x(w)

µ(u)

β

, ∀p ∈ Q

, ∀q ∈ Q (selon (18))

= λx(v)

µ(u)

β

, ∀p ∈ Q

, ∀q ∈ Q (par d´ efinition de Q

selon (12))

= ⇒ y(wu) ≥ λx(v)

µ(u)

β

= λy(vu) (selon (15))

(19) Un raisonnement analogue permet de montrer que y(vu) ≥ λ

y(wu) et on peut en conclure que y(wu) = λy(vu).

Lemme 2. On a : x(w) ' x(v) = ⇒ ∃λ ∈ R

\ {ε} tel que x(w) ∼

x(v).

Proof. Supposons que x(w) ' x(v). Puisqu’alors il existe λ ∈ R

\ {ε} tel que x(w) = λx(v), on a pour ce mˆ eme λ : Q

= R(w) = R(v). Comme ∀u ∈ Σ

,

∃q ∈ S(vu), ∃p ∈ R(v) : y(vu) = x(v)

µ(u)

β

et ∃q ∈ S(wu), ∃p ∈ R(w) : y(wu) = x(w)

µ(u)

β

les conditions (13-14) sont v´ erifi´ ees (i.e. x(w) ∼

x(v)) si x(w) ' x(v).

Une premi` ere approche dans [9] a conduit ` a introduire une autre relation not´ ee ∼ pour d´ etecter des ´ etats fusionnables. Rappelons que ∼ est la relation binaire de R

vers R

d´ efinie par

x(w) ∼ x(v)

⇐⇒

S(w) = S(v), (20)

∀u ∈ Σ

, ∀q ∈ S(vu), ∃p ∈ S(v) : x(vu)

= x(v)

⊗ µ(u)

, (21)

∀u ∈ Σ

, ∀q ∈ S(wu), ∃p ∈ S(w) : x(wu)

= x(w)

⊗ µ(u)

. (22) Lemme 3. On a : x(w) ∼ x(v) = ⇒ ∃λ ∈ R

\ {ε} tel que x(w) ∼

x(v).

Proof. Supposons que x(w) ∼ x(v) et d´ efinissons λ ∈ R

\{ε} par y(w) = λy(v). Consid´ erons p ∈ S(w), qui appartient aussi ` a S(v), et alors x(w)

β

= y(w) = λy(v) = λx(v)

β

, d’o` u x(w)

= λx(v)

et p ∈ Q

. En d’autres termes on a S(w) ⊂ Q

et S(v) ⊂ Q

. Il vient alors directement que (21) = ⇒ (13) et (22) = ⇒ (14).

Le lemme 1 montre que la relation ∼

permet de caract´ eriser des ´ etats fusionnables. Les lemmes 2 et 3 mettent en relief que cette condition est moins forte que celles propos´ ees pr´ ec´ edemment dans la litt´ erature. L’exemple suivant illustre que la relation ∼

n’est toute- fois pas n´ ecessaire pour des ´ etats fusionnables.

Exemple 5 Consid´ erons l’automate max-plus G

de la figure 4. On a pour tout k ≥ 0 y(ac

) = 0, y(bc

) = 0 et y(au) = 0⊗y(bu), ∀u ∈ Σ

, ce qui nous indique que les vecteurs x(a) et x(b) peuvent ˆ etre fusionn´ es lors de la d´ eterminisation. Malheureusement, x(a) = · 0 · ·

, x(b) = · · · 0

ce qui signifie que pour w = b, v = a on a Q

= ∅, et il vient que

Figure 4: Automate max-plus G

non d´ eterministe.

x(w) ∼

x(v) n’est pas v´ erifi´ ee. Plus g´ en´ eralement, il n’existe pas de λ tel que x(b) ∼

x(a) et on

´

echoue ` a d´ etecter la possible fusion des ´ etats correspondants.

En pratique, la relation ∼

ne peut pas ˆ etre test´ ee puisque cela requiert de v´ erifier les con- ditions (13) et (14) pour un nombre infini de mots u ∈ Σ

. On sp´ ecifie dans ce qui suit une condition effective suffisante pour la relation ∼

. Cette condition est ensuite utilis´ ee dans la proc´ edure 1 de d´ eterminisation afin d’´ elargir la classe d’automates max-plus pour lesquels celle-ci aboutit.

5 Apports pour la d´ eterminisation des automates max- plus

5.1 Condition effective pour la fusion

Les lemmes 2 et 3 montrent que la condition ∼

est moins forte que ' et ∼ , et on peut en d´ eduire que toute condition effective pour ' et ∼ peut aussi ˆ etre utilis´ ee pour ∼

. Dans [9], on a en particulier d´ efini une relation ≈ qui pourrait ˆ etre utilis´ ee ici. On pr´ ef` ere ici mettre en relief que ∼

est ´ equivalent ` a comparer les comportements d’automates d´ efinis ”sur mesure”, et ainsi utiliser d’autres r´ esultats de la litt´ erature pour obtenir une condition effective moins forte.

Notation 6 : Soit G = (Q, α, µ, β) un automate max-plus, x(v) son vecteur d’´ etat pour v ∈ Σ

et Q

⊆ Q. On note x

(v) (resp. x

) d´ efini par

x

(v)

=

x(v)

si p ∈ Q

,

ε sinon,

resp. x

(v)

=

x(v)

si p ∈ R(v) \ Q

,

ε sinon,

(23) le vecteur x(v) ”restreint” aux ´ etats dans Q

(resp. R(v) \ Q

). On note G

(resp. G

) l’automate d´ efini ` a partir de G par

G

= (Q, x

(v), µ, β), resp. G

= (Q, x

(v), µ, β)

(24)

et y

(resp. y

) son comportement.

Remarque 7 La construction de G

et G

fait ´ echo ` a la d´ efinition d’automates sur le quotient d’un langage (voir par ex. [13, Chap. I, sec. 3.3.a]).

Lemme 4. On a : x(w) ∼

x(v) ⇐⇒ ∀u ∈ Σ

, y

(u) ≤ y

(u) et y

(u) ≤ y

(u).

Proof. On a ∀u ∈ Σ

,

y(vu) = y

(u) ⊕ y

(u), et donc

y

(u) ≤ y

(u) ⇐⇒ y(vu) = y

(u) ⇐⇒ ∀q ∈ S(vu), ∃p ∈ Q

: y(vu) = x(v)

µ(u)

β

, c’est-` a-dire y

(u) ≤ y

(u) ⇐⇒ (13).

De fa¸ con similaire, il vient y

(u) ≤ y

(u) ⇐⇒ (14).

Le lemme 4 nous indique que x(w) ∼

x(v) si, et seulement si, le comportement de l’automate construit ` a partir de G en rempla¸ cant le vecteur de poids initiaux α par x

(v) (resp. x

(w)) est sup´ erieur ` a celui de l’automate obtenu avec x

(v) (resp. x

(w)) comme vecteur de poids initiaux. Il est bien connu que ce probl` eme de comparaison de comportements d’automates

`

a multiplicit´ es dans un semi-anneau idempotent est ind´ ecidable [8]. Pour autant, dans la riche litt´ erature sur le sujet, on met l’accent sur une contribution r´ ecente [2] qui propose une g´ en´ eralisation ` a ces automates pond´ er´ es du concept de (bi)simulation et qui fournit une r´ eponse partielle au probl` eme de comparaison de comportements. On rappelle ci-dessous tr` es bri` evement cette contribution en l’adaptant ` a notre contexte.

D´ efinition 6. Soit G

= (Q, α

, µ, β) et G

= (Q, α

, µ, β) deux automates max-plus (qui diff` erent seulement par leurs vecteurs de poids initiaux) de comportements not´ es y

et y

. Une matrice bool´ eenne B ∈ {e, ε}

est appel´ ee une simulation entre G

et G

si

α

≤ α

⊗ B (25)

B ⊗ µ(a) ≤ µ(a) ⊗ B, ∀a ∈ Σ (26)

B ⊗ β ≤ β (27)

On note G

∼

G

si il existe une simulation entre G

et G

.

L’existence d’une simulation entre G

et G

garantit que pour tout chemin (q

, a

, q

) (q

, a

, q

) . . . (q

, a

, q

), m ≥ 1, dans G

, il existe un chemin (q

, a

, q

) (q

, a

, q

) . . . (q

, a

, q

) dans G

tel que [α

]

0

≤ [α

]

0

, [µ(a)]

i−1,q¹_i

≤ [µ(a)]

i−1,q²_i

pour i = 1, . . . , m, et [β ]

≤ [β]

. Autrement dit, pour tout mot u reconnu par G

, il existe dans G

un chemin

´

etiquet´ e par u o` u les poids successifs sur les arcs sont tous sup´ erieurs aux poids correspondant dans G

. On devine alors que le comportement de G

est inf´ erieur ` a celui de G

, et le th´ eor` eme 8 vient rapidement ` a partir de la d´ efinition de B (cf [2, Th.4.1]).

Th´ eor` eme 8. Si G

∼

G

, alors y

(u) ≤ y

(u), ∀u ∈ Σ

.

Soulignons que les auteurs fournissent dans [2] un algorithme de complexit´ e polynomiale permettant de v´ erifier l’existence d’une simulation entre G

et G

et de calculer la plus grande matrice B (voir Th. 5.4 et Alg. 5.5 dans [2]). Du lemme 4 d´ ecoule alors une condition effective pour savoir si x(w) et x(v) sont fusionnables.

Corollaire 1. Si G

∼ G

et G

∼ G

, alors x(w) ∼

x(v).

5.2 Am´ elioration de la proc´ edure de d´ eterminisation

Le corollaire 1 et le lemme 1 montrent que la condition n G

B

∼ G

et G

∼ G

o est suffisante pour identifier des ´ etats fusionnables. De plus, cette condition peut ˆ etre test´ ee. Il est alors naturel d’adapter la proc´ edure 1 en rempla¸ cant la ligne 11 comme suit :

11 : if ∃v < w tel que G

∼ G

et G

∼ G

then

Notons que si x(w) ' x(v), on a alors Q

= R(v) = R(w) et les vecteurs de poids initiaux de G

et G

sont des vecteurs nuls (remplis exclusivement de ε). Il vient que la condition n

G

∼ G

et G

∼ G

o

est v´ erifi´ ee (en particulier, B = I

satisfait alors (25-27)).

Cela nous indique que la proc´ edure ainsi modifi´ ee aboutit identiquement pour les automates max-plus qui peuvent ˆ etre trait´ es avec succ` es ` a l’aide de la proc´ edure 1. L’exemple suivant montre qu’il existe des automates max-plus pour lesquels la proc´ edure modifi´ ee aboutit alors que la proc´ edure initiale ´ echoue ` a construire un automate d´ eterministe ´ equivalent.

Exemple 9 Consid´ erons ` a nouveau l’automate max-plus non d´ eterministe G

de la figure 3.

A la fin de la section 3 on a soulign´ ` e que la proc´ edure 1 ne se termine pas et ´ echoue donc ` a d´ eterminiser G

. En utilisant la proc´ edure modifi´ ee, la d´ eterminisation aboutit et permet de construire G

repr´ esent´ e sur la figure 5, d´ eterministe et ´ equivalent ` a G

. En particulier, notons que

x(a) = 3 4

x(aa) = 5 8 .

Pour λ = 4, w = aa, v = a, on a alors Q

= {1}, et il existe une simulation entre G

et G

(ainsi qu’entre G

et G

). En effet, on peut v´ erifier que la matrice B =

0 · 0 0

satisfait

(25) pour α

= x

(v) = 3 ·

et α

= x

(v) = · 4

(ainsi que pour α

= x

(w) = 5 ·

et α

= x

(w) = · 8 ), (26) pour µ(a) =

2 1

· 4

, µ(b) = · ·

· 1

, (27) pour β =

0 0

.

La nouvelle condition de la ligne 11 est alors vraie et les ´ etats correspondants sont fusionn´ es lors de la d´ eterminisation (alors qu’ils ne l’´ etaient pas avec la proc´ edure originale).

Exemple 10 Consid´ erons maintenant l’automate max-plus non d´ eterministe G

de la figure 6. Pour cet exemple, la proc´ edure modifi´ ee n’aboutit pas, et pourtant on peut se convaincre que G

est d´ eterminisable. Cet ´ echec s’explique par le fait qu’il n’existe pas de simulation entre l’automate dans lequel seul l’´ etat 0 est initial et l’automate dans lequel seul l’´ etat 3 est initial.

En effet, le circuit ´ etiquet´ e par ab sur l’´ etat 0 comporte la transition (0, a, 1) dont le poids est sup´ erieur ` a la transition (3, a, 4) dans le seul circuit ´ etiquet´ e par ab sur l’´ etat 3. Ainsi, la nouvelle condition pour la ligne 11 est toujours fausse pour w ´ egale ` a (ab)

, k ≥ 1. Ici, l’existence d’une simulation est une condition trop forte pour pouvoir conclure que le comportement avec seul l’´ etat 0 initial est plus petit que celui avec seul l’´ etat 3 initial (ce qui se devine pourtant ais´ ement). Un travail en-cours vise ` a mettre ` a jour une condition plus faible que la simulation

et suffisante pour la comparaison de comportements.

Figure 5: L’automate max-plus d´ eterministe G

, ´ equivalent ` a G

, obtenue ` a l’aide de la proc´ edure modifi´ ee.

Figure 6: L’automate max-plus non d´ eterministe G

pour lequel la proc´ edure modifi´ ee ne termine pas.

6 Conclusion et perspectives

On a propos´ e une nouvelle condition permettant d’identifier les ´ etats d’un automate max-plus pouvant ˆ etre fusionn´ es au sein de la proc´ edure de d´ eterminisation. Cela nous permet d’am´ eliorer cette proc´ edure de sorte qu’elle aboutit pour un plus grand nombre d’automates max-plus. Nos travaux futurs viseront en particulier

• ` a essayer d’identifier les classes d’automates max-plus pour lesquelles la proc´ edure modifi´ ee aboutit,

• ` a chercher une condition plus faible que la simulation et suffisante pour la comparaison de comportements.

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