Sur la stabilisation de systèmes min-max-plus

min - max -plus incertains

Mehdi Lhommeau

, Laurent Hardouin

, Rafael Santos-Mendes

1. LUNAM Université, Université d’Angers - Laboratoire d’ingénierie des systèmes automatisés (LISA) - ISTIA

62 Avenue Notre Dame du Lac, 49000 ANGERS, France {mehdi.lhommeau,laurent.hardouin}@univ-angers.fr 2. Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação

Universidade Estadual de Campinas, Brazil rafael@dca.fee.unicamp.br

RÉSUMÉ.Une grande variété de problèmes issus des réseaux informatiques, des systèmes de pro- duction, etc... peuvent être modélisés par des systèmesmin-max-plus. Ces systèmes sont une extension non-linéaire des systèmes max-plus. Dans ce papier, on s’intéresse aux systèmes min- max-plus où les paramètres sont mal connus mais supposés bornés. On montre que pour ces systèmes il est possible de définir un correcteur qui permet de stabiliser le système incertain.

ABSTRACT.A variety of problems in computer networks, manufacturing systems, etc... can be modeled asmin-max-plus systems. They are non-linear extension of the well known linear max-plus systems. In this paper, we focus on themin-max-plus systems where the parameters are unknown but assumed bounded. We show that for these uncertain systems it is possible to define a state feedback that stabilizes the uncertain system.

MOTS-CLÉS :Cycle time,min-max-plus systems, state feedback

KEYWORDS:Temps de cycle, Systèmesmin-max-plus, retour d’état

DOI:10.3166/JESA.47.1-15 c2013 Lavoisier

Journal européen des systèmes automatisés – n^o1-2-3/2013, 1-15

1. Introduction

De nombreux problèmes en informatique, recherche opérationnelle, théorie de la commande, etc., peuvent être modélisés par des systèmes min-max-plus. Ces sys- tèmes mettent en jeu des contraintes mélangeant les opérateursminetmax. Parmi ces systèmes, on peut citer les circuits électroniques, les réseaux informatiques, les systèmes de production automatisés, les réseaux ferroviaires, la circulation des in- structions dans les processeurs (Burns, 1990), (Baccelliet al., 1992), (Gunawardena, 1994b). Dans (Chenet al., 2004), on trouve un exemple d’analyse du temps de deux portes logiques. Dans cet exemple (Fig. 1), on peut voir que max ⇐⇒ AND etmin ⇐⇒ OR. Les systèmesmin-max-plus sont des extensions non-linéaires

Figure 1. Analyse du temps de portes logiques

des systèmes max-plus. L’étude des systèmes min-max-plus aiguise l’intérêt de chercheurs issus de communautés très différentes depuis les années1990. Historique- ment, les premiers travaux étaient des extensions, aux systèmes min-max-plus, de résultats connus sur les systèmes max-plus. Depuis, de nombreux résultats signi- ficatifs ont été obtenus. Notamment sur l’analyse des propriétés de ces systèmes.

Par exemple (Gunawardena, 1994a) a donné une condition nécessaire et suffisante pour l’existence d’un point fixe d’une fonctionmin-max-plus. Par la suite (Cochet- terrassonet al., 1999) ont donné un algorithme permettant de calculer, en pratique, ce point fixe. Un théorème de dualité, résultat central pour l’étude des systèmemin-max- plus, permettant de prouver l’existence d’un point fixe a été démontré dans (Gaubert, Gunawardena, 1998). Les auteurs montrent que que le temps de cycle d’une fonction min-max-plus peut se calculer à partir d’une représentation de la fonction comme un infimum de fonctionsmax-plus linéaires. L’existence d’un point fixe pour les sys- tèmesmin-max-plus permet de s’assurer que le système a un temps de cycle global.

Autrement dit, on peut considérer que le système est stable. Pour un système de pro- duction, ce résultat permet de s’assurer qu’il n’y a pas une accumulation infinie de pièces dans le système. La commande de systèmemax-plus est étudiée depuis de nombreuses années (Cohenet al., 1984). Notamment, plusieurs auteurs ont abordé le problème de la stabilisation d’un systèmemax-plus (Gaubert, 1995), (Commault, 1998), (Cottenceauet al., 2003). La commande des systèmesmin-max-plus a été

étudiée plus récemment. Dans (De Schutter, Boom, 2000), les auteurs s’intéressent à la commande prédictive pour cette classe de système. Des résultats sur la stabilisation de systèmemin-max-plus par la synthèse d’un correcteur en boucle fermée existent.

Par exemple dans (Chenet al., 2004), (Chenet al., 2010) les auteurs s’intéressent à la synthèse d’une commande en boucle fermée (retour d’état) pour stabiliser un système min-max-plus dont les entrées et sorties n’ont que des contraintesmax. Dans (Tao et al., 2008), on peut trouver une extension de ces travaux aux fonctions d’entrée de typemin-max-plus. On peut également citer les travaux de (Möhringet al., 2004) sur l’ordonnancement avec des contraintes de précédence de la forme ET/OU montrent que la formalisation de ce problème met en œuvre des fonctionsmin-max-plus. A notre connaissance, il n’existe pas de travaux sur la stabilisation de systèmes min- max-plus incertains. Pourtant, dans de nombreux systèmes les paramètres ne sont pas connus avec précision. En revanche, on est souvent capable de donner des bornes sur l’évolution des paramètres du systèmes. Dans ce papier, nous proposons un modèle de systèmemin-max-plus où les paramètres peuvent varier dans un intervalle. On va notamment chercher à stabiliser ce type de système par un correcteur de type retour d’état. Dans la section 2 du papier, nous introduisons des généralités sur les fonc- tionsmin-max-plus, avec par exemple des résultats sur le calcul du temps de cycle d’un systèmemin-max-plus. La décomposition d’un systèmemin-max-plus en infi- mum de fonctionmax-plus est également introduite. Dans la partie 3, nous présentons un nouveau modèle de systèmemin-max-plus où certains paramètres peuvent varier dans des intervalles. Ce nouveau modèle sera vu comme une version incertaine d’un système min-max-plus. La partie 4 est consacrée à l’étude de la stabilisation des systèmesmin-max-plus incertains. Enfin, nous terminons par une illustration de ces résultats sur un exemple.

2. Généralités sur les fonctionsmin-max-plus

Nous munissonsRⁿet l’ensemble des fonctionsRⁿ→Rⁿde l’ordre partiel usuel (composante par composante). Les bornessupetinf sont notées∨et∧, respective- ment,i.e.,a∧b:= min(a, b) and a∨b:= max(a, b).

DÉFINITION 1 (Fonction min−max-plus de type (n,1)). — Une fonction min−max-plus de type(n,1) est une fonctionf : Rⁿ → R, qui peut être écrite comme un mot dans la grammaire suivante :

f :=x1, x2, . . . , xn|f+a|f∧f|f∨f. (1) Les barres verticales séparent la construction récursive des termes (notation de Backus-Naur). Autrement dit, une fonctionmin−max-plusf :Rⁿ→Rest constru- ite à partir de termes de la formex_i+aoù1≤i≤neta∈R, par application d’un nombre fini d’opérationsmaxetminsur chaque composante.

Par exemple,5 +x1∨2 +x2et(2 +x1∨x2+ 1)∧3 +x3sont des fonctions min−max-plus de type(2,1)et(3,1)respectivement. En revanche,(x1+x2)∧x3

etx1∨1ne sont pas des expressions possibles avec la grammairemin−max.

DÉFINITION 2 (Fonction min−max-plus de type (n, m)). — Une fonction min−max-plus de type(n, m)est toute fonctionF : Rⁿ → R^m, telle que chaque composanteFiest une fonctionmin−max-plus de type(n,1).

DÉFINITION 3 (Temps de cycle). — On appelle vecteur de temps de cycle d’une fonctionmin-max-plus la quantité

χ(F) = lim

k→+∞

1

k+ 1F^k+1(x), (2)

où F^k(x)est définit de façon récursive avecF⁰(x) = x, F^k(x) = F(F^k−1(x)).

Quand le temps de cycle existe il est indépendant du vecteur initial (Gunawardena, 1994a). Dans (Gunawardena, 1994a) l’auteur introduit la conjecture de dualité qui affirme que toute fonctionmin-max-plus a un temps de cycle. La méthode de preuve, non constructive, ne fournit pas d’algorithme pour trouver un vecteur propre. Il fau- dra attendre les travaux de (Gaubert, Gunawardena, 1998) pour obtenir la preuve de l’existence du temps de cycle ainsi qu’un algorithme d’itération sur les politiques effi- cace pour le calculer. Par la suite, il a été montré (Akianet al., 2012) que l’existence du vecteur de temps de cycle découlait d’un ancien résultat (Kohlberg, 1980) qui montrait qu’une fonction affine par morceaux contractante pour une norme avait un vecteur de temps de cycle. Une fonctionmin-max-plus est contractante vis-à-vis de la norme sup. De plus, il est possible de décomposerRⁿen un ensemble de polyèdre tel que la restriction d’une fonctionmin-max-plus sur chacun des polyèdres est affine.

Par conséquent le résultat général (Kohlberg, 1980) s’applique pour les fonctions min-max-plus.

Dans ce papier, le vecteurxest assimilé à un vecteur de dates correspondant à l’occurrence d’évènements. Dans ce cas la fonctionF(x)permet d’obtenir la date des prochaines occurrences des évènements. Le délai entre la survenue de deux évène- ments peut être mesuré par F(x)−x. Si on considère la moyenne sur plusieurs occurrences d’évènements, c’est-à-dire

(F^k(x)−F^k−1(x)) +. . .+ (F(x)−x)

k = F^k(x)−x

k .

On obtient asymptotiquement (lim_k→∞F^k(x)/k) la valeur χ(F). Autrement dit, asymptotiquement, le temps de cycle peut être considéré comme le vecteur des durées moyennes entre chaque occurrence des évènements.

La définition précédente est cruciale pour comprendre le problème de stabilité d’un système min-max-plus. En effet, si toutes les composantes du vecteurχ(F) sont égales, cela signifie que toutes les composantes du système fonctionnent au même rythme. Une telle condition n’est pas toujours réalisée en pratique. Par exemple, si le systèmemin-max-plus modélise une ligne de production, il se peut très bien que les cellules en amont produisent plus rapidement que les cellules en aval, ce qui fait exploser le stock intermédiaire, le système est instable. Au contraire, dans un système stable, toutes les cellules se synchronisent (après un régime transitoire) sur le temps de cycle et il n’y pas d’accumulation dans la ligne de production.

DÉFINITION 4 (Algèbre max-plus). — Le symbole Rmax (resp. R¯max) désigne l’ensemble RS{−∞}(resp. RS{−∞,+∞}) muni des deux opérations binaires maxet+(avec∞ − ∞ = −∞) notées∨et+respectivement. On aε =−∞et e = 0. On appelle cette structure l’algèbre max-plus. Un aperçu plus complet de l’algèbre max-plus peut être trouvé dans (Baccelliet al., 1992).

DÉFINITION5 (Calcul matricielmax-plus). — SoitA, B ∈R^n×nmax, avecA= (aij)ij, B = (bij)ij, on poseA∨B= (aij∨bij)ij et A+B =

_n W

k=1

aik+bkj

ij

.

Les premiers travaux sur l’analyse par intervalles dans l’algèbremax-plus sont issus de (Litvinov, Sobolevskii, 2001). Depuis, de nombreux auteurs se sont in- téressés à l’utilisation des intervalles dans l’algèbre max-plus (Lhommeau et al., 2004), (Cechlárová, 2005), (Brunschet al., 2012).

DÉFINITION 6 (Intervallemax-plus). — Un intervalle (fermé)[x]deRmax est un sous-ensemble deR^maxde la forme[x] = [x, x] ={x∈R^max|x≤x≤x}.

Un intervalle[x] ⊆[y]si et seulement siy ≤x≤x ≤y. De même,[x] = [y]

si et seulement six = yetx = y. Un nombrex ∈ Rmaxpeut être représenté par l’intervalle[x, x].

On notera l’ensemble des intervalles deRmaxparIRmax={[x] = [x, x]|x, x∈ R, ε≤x≤x} ∪ {[ε]}, avec[ε] = [ε, ε].

Les opérations max (notée ∨) et + seront étendues aux intervalles deIRmax, [x, x]∨[y, y] = [x∨y, x∨y]et[x, x] + [y, y] = [x+y, x+y].

SoientA= [aij]ⁿ_i,j=1,A= [aij]ⁿ_i,j=1etA= [aij]ⁿ_i,j=1des matrices réellesn×n.

On aA≤A≤Aoùaij ≤aij ≤aijpouri, j = 1,2, . . . , n. On définit une matrice intervalleA^I (qui peut-être vue comme une famille de matrices réellesn×n) comme A^I = [A, A] ={A|A≤A≤A}={[a_ij]|a_ij≤a_ij ≤a_ij pour i, j= 1,2, . . . , n}.

Nous allons présenter quelques résultats sur les propriétés spectrale des matrices de R^n×nmax. Ces résultats sont importants pour l’analyse de la stabilité des systèmes min-max-plus. Tout d’abord, nous allons définir le graphe associé à une matrice de R^n×nmax.

DÉFINITION 7 (Graphe de précédence d’une matrice de R^n×nmax). — Soit A = (aij)ij ∈ R^n×nmax. On définit le graphe de précédence associé à A :G(A). SiAest de taille n×n, le graphe aura n noeuds et, pour tous lesi et j, un arc(i, j) si Aji 6= ε. Le graphe est pondéré en donnant à l’arc le poids deAji. Dans le cas d’une matrice intervalleA^I ∈ IR^n×nmax, on considérera deux graphesG(A)etG(A).

La longueur d’un cheminc, notéel(c), est le nombre d’arcs qui le constituent. Le poids d’un chemin, notéw(c), est la somme des valuations des arcs qui le constituent.

REMARQUE8. — Noter l’inversion(i, j)etA_jidans la définition 7 d’un graphe.

DÉFINITION9 (Connexité). — Un grapheG(A), et par extension une matrice carrée, sera dite connexe si entre tout couple de sommets il existe un chemin. Il sera dit fortement connexe si pour tout couple de sommets, il existe un cycle du graphe passant par ces sommets.

De nombreux résultats peuvent être prouvés à partir de l’analyse du grapheG(A).

Notamment, une matrice est irréductible si son graphe associé est fortement connexe ou de façon algébrique si pour une matriceA∈R^n×nmax il n’existe pas de permutation P telle queB =P⁰AP ait une structure triangulaire haute par blocs (Baccelliet al., 1992).

DÉFINITION10. —- (Baccelliet al., 1992). SoitA^I ∈IR^n×nmax. On définit le vecteur µ(A^I) = [µ₁(A^I). . . µ_n(A^I)]∈IRⁿ, avec

[µ_i(A), µ_i(A)] =

max

w(c(A)) l(c(A))

,max

w(c(A)) l(c(A))

,

oùc(.)correspond au circuit deG(A^I)en amont dei,w(c(.))est le poids du circuit etl(c(.))la longueur du circuit.

EXEMPLE11. — Soit la matriceA^I =





[1,2] [ε, ε] [ε, ε]

[10,10] [ε, ε] [6,8]

[1,3] [1,4] [ε, ε]



.Les graphes de précédence de la matriceA^I sont donnés ci-dessous.

Figure 2. Les graphesG(A)etG(A)

Le grapheG(A)(respectivementG(A)) contient deux circuits élémentairesc1 : x1→x1etc2:x2→x3→x2. On obtientµ(A^I) = [[1,2] [3.5,6] [3.5,6]]^τ. Pour les systèmes considérés dans ce papier, les matricesA^I sont toutes à coef- ficients positifs ou nuls. Par conséquent, on peut appliquer des résultats classiques (Rohn, Jiri, 2006) sur des matrices intervalles de l’algèbre usuelle. Notamment, une matriceA^I est irréductible si et seulement siAest irréductible.

THÉORÈME12. —Soit A^I une matrice irréductible de IR^n×n. L’ensemble des valeurs propres deA^I est donné par

λ(A^I)|A∈A^I = [λ(A), λ(A)].

EXEMPLE13. — Si on reprend l’exemple 11 en ajoutant un arcx2 → x1 avec le poids[1,1], les graphesG(A)etG(A)deviennent fortement connexe. Si on refait les

calculs on obtient le vecteurµ(A^I) = [[5.5,6] [5.5,6] [5.5,6]]^τ. Par conséquent, on a

∀A∈A^I, λ(A)∈[5.5,6].

Nous allons présenter le lien entre l’algèbremax-plus et les systèmesmin-max- plus. La dynamique d’un systèmemin-max-plus est représentée par l’équation d’état suivante :

x(k+ 1) = F(x(k))∨G(u(k)), k= 0,1, . . . (3) où x(0) ∈ Rⁿ, u(0) ∈ R^p, F(x)est une fonction min-max-plus de type (n, n) etG(u) une fonction de type(p, n). x(k) = [x₁(k). . . x_n(k)]^τ ∈ Rⁿ etu(k) = [u₁(k). . . u_p(k)]∈R^psont, respectivement, le vecteur d’état et le vecteur d’entrée.

Toutes les fonctionsmin−max-plus admettent unemax-représentationet (duale- ment) unemin-représentation(Gunawardena, 1994b). Cette représentation est sou- vent appelée laforme normale conjonctive:

F_i(x) = f_i¹(x)∧. . .∧f_i^l(i), (4) où les fonctionsf_i^αi(x) =a^α_i1ⁱ+x₁∧. . .∧a^α_inⁱ+x_n,a^α_ijⁱ ∈R^max,1≤α_i≤l(i)sont de type(n,1),l(i)correspond au nombre de fonctionmax-seulement de type(n,1) dans (4).a^α_ijⁱest le coefficient de laj^ièmevariablex_jdef_i^αi(x). Sia^α_ijⁱ =ε, un terme de la formea^α_ijⁱ+x_jindique que la variablex_jn’intervient pas dans l’expression de f_i^αi(x). La preuve de l’unicité de la représentation (4) peut être trouvée dans l’annexe A de (Gunawardena, 1994b).

Par exemple, l’expressionmin-max-plus(2 +x1∧1 +x2)∨1 +x3admet la forme normale conjonctive suivante :(2 +x1∨ε+x2∨1 +x3)∧(ε+x1∨1 +x2∨1 +x3).

Soit une fonctionmin-max-plusF(x)de type(n, m)sous forme normal conjonc- tive (4). [a^α_i1ⁱ. . . a^α_inⁱ]est appelé le vecteur ligne des coefficients def_i^αi(x). On peut construire une matriceA ∈ R^m×nmax associée à la fonctionF(x)en associant chacun des vecteurs lignes des coefficients def_i^αi(x)à chacune des lignes de la matriceA.

Cette matrice est appelée la matrice des projections max-seulement de la fonction F(x). L’ensemble de toutes les projections deF(x)est unique (sous certaines condi- tions voir Lemme 2.1 (Gunawardena, 1994b)) et il sera notéP(F). L’ensembleP(F) contientΠ^m_i=1l(i) max-seulement projections distinctes.

On peut alors représenter n’importe quelle fonctionmin-max-plusF(x)comme F(x) = V

r∈I

Arx (5)

où les matricesAr∈R^m×nmax sont les projectionsmax-seulement deF(x),x∈Rⁿmax, I est l’ensemble (fini) des indices deP(F). Cette représentation est cruciale pour la suite. En effet, quandm=ncette représentation permet de calculer le temps de cycle d’un systèmemin-max-plus (Gunawardena, 1994a),(Gaubert, Gunawardena, 1998).

De la même façon, la fonctionmin-max-plusG(u)de type(p, n)peut s’écrire

G(u) = V

s∈J

Bsu (6)

où les matricesBs∈R^n×pmaxsont les projectionsmax-seulement deG(u),u∈R^pmax, J est l’ensemble (fini) des indices deP(G).

3. Les systèmesmin-max-plus incertains

Dans de nombreux systèmes dynamiques discrets, d’une part les paramètres ne sont pas connus avec exactitude et d’autre part des perturbations peuvent modifier la valeur nominale des paramètres. Pour prendre en compte ces variations, nous pro- posons une extension incertaine des systèmes dynamiquesmin-max-plus. Dans ce nouveau modèle on suppose que les paramètres du système peuvent varier mais qu’ils sont néanmoins bornés.

DÉFINITION 14 (Système min-max-plus incertain). — Soit F une fonction min- max-plus en forme normale conjonctive(4). Elle sera dite incertaine et notée parF^I si les paramètresa^α_inⁱdes fonctionsf_i^αi(x)appartiennent àIRmax.

EXEMPLE15. — Soit le système dynamique incertain suivant (G^I(u) =ε) : x(k+ 1) = F^I(x(k)) k= 0,1, . . . (7) Dans cet exemple, on suppose que certains paramètres de la fonction dynamiquemin- max−plusF^Ine sont pas connus avec exactitude,i.e., :

F₁^I(x1, x2) = ([1,4] +x1∨[2,2] +x2)∧[4,10] +x1

F₂^I(x1, x2) = ([ε,2] +x1∧[2,3] +x2) (8) F₁^Iest en forme normale conjonctive, ce qui n’est pas le cas deF₂^I. Pour exprimerF₂^I en forme normale conjonctive on procède comme pour une fonctionmin-max-plus classique :F₂(x₁, x₂) = ([ε,2] +x₁∨[ε, ε] +x₂)∧([ε, ε] +x₁∨[2,3] +x₂).

LEMME16. — Soit un système dynamiquemin-max-plus incertain

x(k+ 1) = F^I(x(k))∨G^I(u(k)), k= 0,1, . . . (9) où x(0) ∈ Rⁿ, u(0) ∈ R^p, F^I(x) est une fonction min-max-plus incertaine de type(n, n)etG^I(u)une fonctionmin-max-plus incertaine de type(p, n). x(k) = [x₁(k). . . x_n(k)]^τ ∈ Rⁿetu(k) = [u₁(k). . . u_p(k)]∈ R^p sont, respectivement, le vecteur d’état et le vecteur d’entrée. En appliquant(5)et(6), on peut exprimer un systèmemin-max-plus incertain, notéN_(r,s)^I = [N_(r,s),N_(r,s)]dans la suite, comme

x(k+ 1) = ^

(r,s)∈I×J

A^I_rx(k)∨B_s^Iu(k)

k= 0,1, . . . (10) où(r, s) ∈ I × J. AvecI × J le produit cartésien deI etJ. Les matrices in- tervalles A^I_r = [A_r, A_r] etB_s^I = [B_s, B_s]sont les projection max-seulement de, respectivement,F^I(x)etG^I(u(k). Dans le cas d’un système autonome (i.e.,G^I =ε, x(k+ 1) =F^I(x(k))) on a

x(k+ 1) = ^

r∈I

A^I_rx(k) k= 0,1, . . . (11)

EXEMPLE 17 (Suite de l’exemple 15). — L’objectif est de mettre (7)-(8) sous la formemax-seulement :x(k+ 1) = V

r∈I

A^I_rx(k).

L’ensemble des projections incertainesmax-seulement est A^I₁=

[1,4] [2,2]

[ε,2] [ε, ε]

, A^I₂=

[1,4] [2,2]

[ε, ε] [2,3]

, A^I₃=

[4,10] [ε, ε]

[ε,2] [ε, ε]

, A^I₄=

[4,10] [ε, ε]

[ε, ε] [2,3]

.

Finalement, le système dynamique incertain min-max-plus (8) peut aussi s’écrire x(k+ 1) =A^I₁x(k)∧A^I₂x(k)∧A^I₃x(k)∧A^I₄x(k).

Le systèmeN_(r,s) (Lemme 16) peut être représenté par un graphe orienté (di- graphe). Soit [a_ij(r)]l’élément de lai^ème ligne et de laj^ième colonne de la matrice intervalleA^I_r. Le graphe de précédence de la matriceA^I_r, notéG(A^I_r), est un graphe orienté avec pour sommets les étatsx1, . . . , xnet un arc orienté dexjàxisi et seule- ment si [a_ij(r)] 6= ε. On associe à chaque arc la valeur [a_ij]. Pour exprimer de façon complète le système N_(r,s), il faut ajouter les noeuds d’entréeu₁, . . . , u_p au grapheG(A^I_r)et ajouter un arc orienté deujàxisi et seulement si[b_ij(s)]6=ε, avec [b_ij(s)] 6= εl’élément de lai^ème ligne et de laj^ième colonne de la matriceB^I_s. On associera à l’arc la valeur[b_ij(s)]. Le graphe ainsi créé permet d’avoir une représen- tation structurelle du systèmeN_(r,s). On le noteraG(N_(r,s)). Ce résultat s’étend sans peine, mutatis mutandis, au systèmeN_(r,s).

DÉFINITION18 (Structurellement contrôlable). — Le systèmeN(r,s)est structurelle- ment contrôlable si toute composante connexe dans le grapheG(N_(r,s))est reliée à une entrée par un chemin dans le réseau.

DÉFINITION19 (Structurellement observable). — Le systèmeN(r,s)est structurelle- ment observable si toute composante connexe dans le grapheG(N_(r,s))est reliée à une sortie par un chemin.

4. Retour d’état et stabilisation de systèmemin-max-plus incertains

De nombreux auteurs se sont intéressés à la commande de systèmemin-max-plus (Chenet al., 2004), (Zhao, Zheng, 2003). Les auteurs s’intéressent à la synthèse d’une commande en boucle fermée (retour d’état ou retour de sortie) permettant d’assigner au système un temps de cycle donné. Ce problème est très proche du problème clas- sique de placement de pôle en théorie des systèmes linéaires. Les méthodes mises en œuvre pour aborder ce problème sont inspirées de méthodes issues de la commande des systèmes linéaires (Dionet al., 2003). Elles reposent sur l’association d’un graphe orienté au système dynamiquemin-max-plus. Les propriétés génériques du système peuvent alors souvent être caractérisées très simplement en termes de propriétés du graphe associé. Ceci rend très intuitifs certains résultats.

Dans ce papier, nous étendons les travaux précédents (Chenet al., 2004), (Zhao, Zheng, 2003) sur l’assignation d’un temps de cycle en boucle fermée par retour d’état aux systèmesmin-max-plus incertains.

Le lemme qui suit est une extension, aux systèmesmin-max-plus incertains, des travaux de (Gaubert, Gunawardena, 1998). Ce lemme est central pour la résolution du problème de la stabilisation d’un systèmemin-max-plus incertain.

LEMME20. — Soit F^I une fonction min-max-plus incertaine de type (n, n) en forme normale conjonctive(11). L’ensemble des temps de cycle de toutes les réal- isations deF ∈F^I, notéχ_FI, est donné parχ_FI =

χ(F)|F ∈F^I = V

r∈I

χ(A^I_r), oùχ(A^I_r) =µ(A^I_r).

PREUVE21. — L’extension aux systèmesmin-max-plus est naturelle en considérant la croissance des applicationsmin-max-plus. En effet, pour toutF ∈ F^I = [F , F] on a F ≤ F ≤ F , χ(F) ≤ χ(F) ≤ χ(F), ou encore ∀F ∈ F^I, F ≤ F ≤ F , V

r∈I

χ(A_r)≤ V

r∈I

χ(A^I_r)≤ V

r∈I

χ(Ar).Finalement, on obtient le résultatχ_FI = V

r∈I

χ(A^I_r) =

V

r∈I

χ(A_r), V

r∈I

χ(Ar)

.

EXEMPLE22. — Soit la fonctionmin-max-plus incertaine donnée par F^I =





(([x2] + [3,4])∨([x3] + [2,4]))∧([x1] + [1,1]) [x2]∧([x3] + [2,5])

([x1] + [1,1])∨([x2] + [2,8])





On considère la projectionmax-seulement deF^I =A^I₁∧A^I₂∧A^I₃∧A^I₄, avec A^I₁=





[ε, ε] [3,4] [2,4]

[ε, ε] [0,0] [ε, ε]

[1,1] [2,8] [ε, ε]



, A^I₂=





[1,1] [ε, ε] [ε, ε]

[ε, ε] [0,0] [ε, ε]

[1,1] [2,8] [ε, ε]



,

A^I₃=





[ε, ε] [3,4] [2,4]

[ε, ε] [ε, ε] [2,5]

[1,1] [2,8] [ε, ε]



,[A^I₄] =





[1,1] [ε, ε] [ε, ε]

[ε, ε] [ε, ε] [2,5]

[1,1] [2,8] [ε, ε]



. D’après le lemme 20,χ_FI =χ(A^I₁)∧χ(A^I₂)∧χ(A^I₃)∧χ(A^I₄):

χ(A^I₁) =





[1.5,2.5]

[0,0]

[1.5,2.5]



, χ(A^I₂) =



 [1,1]

[0,0]

[1,1]



, χ(A^I₃) =



 [2,6.5]

[2,6.5]

[2,6.5]



, χ(A^I₄) =



 [1,1]

[3,6.5]

[2,6.5]





soitχ(F^I) =



 [1,1]

[0,0]

[1,1]



.D’après le lemme 20,∀F, F ≤F ≤F, on aχ(F)∈χ_FI. LEMME23. — SoitF^I(x)une fonctionmin-max-plus incertaine sous forme nor- male conjonctiveV

r∈IA^I_rx(k). Si tous les graphesG(A_r)sont fortement connexe on a∀A∈A^I_r, χi(A) =χj(A),1≤i, j≤n, oùχ(A) = [χ1(A). . . χn(A)].

Soit le système dynamiquemin-max-plus incertain donné par (9). On munit ce système d’un correcteur de type retour d’étatu(k) =K(x(k)), oùKest une fonction min-max-plus de type(n, p),Ki(x) = εest possible. L’équation d’état du système incertain en boucle fermée, notéN^I(K)ouN^I(x, K), est donnée par

x(k+ 1) = F^I(x(k))∨G^I(K(x(k))), k= 0,1, . . . (12) D’après (10), on peut écrire l’équation précédente sous forme de projection max- seulement :

x(k+ 1) = V

(r,s)∈I×J

A^I_rx(k)∨B_s^IK(x(k))

k= 0,1, . . . (13)

La dynamique du système N^I(K) est décrit par une fonction min-max−plus incertaine F^I(x)∨G^I(K(x)) de type(n, n). D’après le lemma 20, χ N^I(K) existe et il est donné parχ F^I(x)∨G^I(K(x))

.

Le Lemme qui suit est l’extension aux systèmesmin-max-plus incertains d’un résultat de (Tao, Liu, 2005).

LEMME24. — La fonctionχ(N^I(x, K))est une fonction monotone croissante con- tinue (au sens de la topologie uniforme sur Rⁿ, pour plus de détail (Bolte et al., 2013)) en fonction deKet, d’après l’ordre partiel≤,χ(F)est la borne inférieure de χ(N^I(x, K)).

PREUVE25. — Soient F^I = [F , F] et G^I = [G, G] par définition F ≤ F et G ≤ G. On peut directement vérifier que si K1 ≥ K2 alors K1(x) ≥ K2(x) pour tout x. Par conséquent, par monotonie, on a G(K1(x)) ≥ G(K2(x)) et G(K1(x))≥G(K2(x)). Donc,F(x)∨G(K1(x))≥F(x)∨G(K2(x))etF(x)∨ G(K1(x))≥F(x)∨G(K2(x)), c’est-à-direN(x, K1)≥ N(x, K2)etN(x, K1)≥ N(x, K2). Par monotonie, on a N(N(x, K1), K1) ≥ N(N(x, K2), K2) et N(N(x, K₁), K₁) ≥ N(N(x, K₂), K₂). Par induction, N^k+1(x, K₁) ≥ N^k+1(x, K₂)et N^k+1(x, K₁) ≥ N^k+1(x, K₂)pour toutk ≥ 0. En divisant de chaque côté par k+ 1et en prenant la limite (Eq. 2) on obtient χ(N(x, K₁)) ≥ χ(N(x, K₂))etχ(N(x, K₁))≥χ(N(x, K₂)), c’est-à-dire queχ(N(x, K))est une fonction monotone croissante. C’est également une fonction continue par rapport àK.

SoientK₁∈RⁿmaxetK₂le vecteur[ε . . . ε]deRⁿmax, on aN(x, K₁)≥ N(x, K₂) = F^I(x(k))pour toutx. Par monotonieχ(N(K₁))≥χ(F^I), soit par définition deF^I, χ(N(K1))≥χ(F)etχ(N(K1))≥χ(F)ce qui conduit immédiatement au résultat.

DÉFINITION26. — Le système N^I peut être stabilisé si il ex- iste une fonction K(x) telle que le système en boucle fer- mée N(K) possède une valeur propre, i.e., ∀F ∈ F^I,∀G ∈ G^I,χi F^I(x(k))∨G^I(K(x(k)))

= χj F^I(x(k))∨G^I(K(x(k))) ,1 ≤ i, j≤n,oùχ F^I(x(k))∨G^I(K(x(k)))

= [χ₁(N(K)). . . χ_n(N(K))].

THÉORÈME27. — Soit N un système dynamique min-max-plus structurellement contrôlable décrit par (12). N est stabilisable et il existe un correcteurK(x)de

type retour d’état tel que les valeurs propres χ(N^I(K)) ∈ [χ0,∞[, avec χ0 = max_1≤i≤nχi(F).

PREUVE28. — La preuve est purement constructive. En effet, le correcteur par re- tour d’état ajoute des arcs orientés des noeuds des états aux noeuds des entrées. Le correcteur permet de modifier les composantes fortement connexes en amont d’un noeud des états et ainsi de générer des nouveaux circuits dans le graphe des projections max-seulement du système en boucle fermée. Dans le cas d’un système incertain, par application du lemme 23, il suffit de rendre fortement connexe le grapheG(A_r)pour

stabiliser le système.

5. Application

Soit le système dynamiquemin-max-plus incertainN :

x(k+ 1) = F^I(x(k))∨G^I(u(k)), k= 0,1, . . . (14) avec pour les composantes de la fonctionF^I : F₁^I(x) = [1,3] +x1∧[3,5] +x2, F₂^I(x) = [1,2] +x3,F₃^I(x) = [1,1] +x1∨[2,5] +x2∨[2,3] +x3et pour la fonction d’entréeB^I(u) :G^I₁(u) = [1,2]+u2, G^I₂(u) = [1,3]+u1∧[2,2]+u2, G^I₃(u) = [ε, ε].

On commence par exprimer les projectionsmax-seulement deF^IetG^I. La fonc- tionF^I(x)est décomposée en deuxmax-seulement projections :

A^I₁=





[1,3] [ε, ε] [ε, ε]

[ε, ε] [ε, ε] [1,2]

[1,1] [2,5] [2,3]



, A^I₂=





[ε, ε] [3,5] [ε, ε]

[ε, ε] [ε, ε] [1,2]

[1,1] [2,5] [2,3]



.

Pour la fonctionG^I on obtient les projectionsmax-seulement suivantes :

B^I₁=





[ε, ε] [1,2]

[1,3] [ε, ε]

[ε, ε] [ε, ε]



, B^I₂=





[ε, ε] [1,2]

[ε, ε] [2,2]

[ε, ε] [ε, ε]



.

En appliquant l’algorithme de (Gaubert, Gunawardena, 1998), on peut calculer le temps de cycleχ(F^I), donné parχ(F^I) =χ(A^I₁)∧χ(A^I₂)(Lemme 20). On a

χ(F^I) = [χ(A₁)∧χ(A₂), χ(A₁)∧χ(A₂)] =



 [1,3]

[2,3.5]

[2,3.5]



.

En partant de la définition 10, le temps de cycle peut être directement déduit des graphesG(A₁)etG(A₂)pour la borne inférieureχ(F). De même, les graphesG(A₁) etG(A₂)permettent de déduire la borne supérieureχ(F). Par exemple, pourχ₁(A₁), on doit regarder les cycles en amont dex1, il n’y a qu’un cyclex1→x1, soit la valeur 1. Pourχ2(A₁), il y a deux cycles en amont dex2,x2 →x3 →x2etx3 →x3, le calcul donnemax(3/2,2/1) = 2. Enfin, pourχ3(A₁), il y a trois cycles en amont de

Figure 3. Les graphesG(A₁)etG(A₂)

x₃,x₁→x₁,x₂→x₃→x₂etx₃→x₃, soitmax(1/1,3/2,3/1) = 2. On retrouve les mêmes valeursχ(F^I) = [1 2 2]que celles déduites avec l’algorithme (Gaubert, Gunawardena, 1998).

Pour que le système, en boucle ouverte, soit stable il faut que le temps de cycle vérifieχi(F) =χj(F),1≤i, j≤netχi(F) =χj(F),1≤i, j ≤n. On s’aperçoit que le système, en boucle ouverte, n’est pas stable carχ(F) = [1 2 2]etχ(F) = [3 3.5 3.5]. D’après la définition 26, le systèmeN^Iest stable s’il existe un correcteur retour d’étatu=K(x)tel que le système en boucle ferméeN(K)possède une valeur propre. Autrement dit, qu’en boucle fermée, toutes les composantes du temps de cycle soient égales.

Le lemma 23 précise que si tous les graphes deG(A_r)sont fortement connexes toutes les composantes du vecteur cycle sont égales. Sur la figure 3, on remarque que le graphe de G(A₁) n’est pas fortement connexe contrairement au graphe de G(A₂). Sur la figure 4 on peut remarquer que le système est structurellement con- trôlable (definition 18). Par conséquent, selon le théorème 27 ,il existe un correcteur K(x)tel que les valeurs propres du système en boucle ferméeχ(N(K))∈[χ0,∞[.

En considérant la borne inférieure du temps de cycle χ(N(K))(lemme 24), on a χ0= max_1≤i≤nχi(F) = 2.

Figure 4. Graphe deG(N)

Il faut donc que la valeur propre du système en boucle ferméeχ(N(K))∈[2,∞[.

Dans cet exemple, nous allons chercher un correcteur tel queχ(N(K)) = χ₀. En effet, il s’agit du correcteur qui permet de stabiliser le système sans dégrader les per- formances. Puisque qu’il existe un chemin dex₁ àx₂ et de u₂ àx₁ dans chaque graphe deG(N), en ajoutant un arcx₂→u₂on obtient le correcteur

K=

ε ε ε ε k₂₂ ε

,

tel que les graphes deG(N)deviennent fortement connexes. En prenantk22= 1, on obtientχ(F) = [2 2 2]etχ(F) = [3.5 3.5 3.5], c’est-à-dire que∀F ∈F^I,∀G∈

G^I, χ(N(K)) ∈ [2,3.5]. Il y a une certaine marge sur la valeur dek22 pour que la valeur propre du système (N(K)) en boucle fermée soit toujours égale à la borne inférieureχ0. En revanche, si on prend une valeur trop grande pourk22on risque de créer un nouveau circuit critique.

6. Conclusion

Dans ce papier, nous avons introduit un nouveau modèle de systèmemin-max- plus, ici appelé les systèmesmin-max-plus incertains. Ce nouveau modèle permet de prendre en compte des variations bornées du système. Nous avons montré qu’il était également possible d’obtenir une décompositionmax-seulement de ces systèmes. En- suite, nous avons étendus les résultats sur la stabilisation de systèmemin-max-plus, par un correcteur retour d’état, à ces nouveaux systèmes. Les résultats sont basés sur l’utilisation de l’algèbremax-plus, des résultats de la théorie des graphes et la structure particulière des fonctionsmin-max-plus.

Remerciements

Les auteurs remercient vivement les relecteurs anonymes pour leurs remarques très constructives et leurs apports dans la rédaction de ce papier

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