LA THEORIE NEO-CLASSIQUE DU POMPAGE MAGNETIQUE EN GEOMETRIE TOROIDALE

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Submitted on 1 Jan 1971

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LA THEORIE NEO-CLASSIQUE DU POMPAGE MAGNETIQUE EN GEOMETRIE TOROIDALE

Ernesto Canobbio

To cite this version:

Ernesto Canobbio. LA THEORIE NEO-CLASSIQUE DU POMPAGE MAGNETIQUE EN GE- OMETRIE TOROIDALE. Journal de Physique Colloques, 1971, 32 (C5), pp.C5b-87-C5b-89.

�10.1051/jphyscol:1971585�. �jpa-00214804�

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LA THEORIE NEO-CLASSIQUE DU POMPAGE MAQiETIQJE EN GEOMETRIE TOROIDALE E r n e s t o Canobbio

ASSOCIATION EURATOM-CEA

Département de l a Physique du Plasma e t de l a Fusion Contrôlée S e r v i c e IGn

-

Centre d r E t u d e s N u c l é a i r e s

Cédex 85 - 38 GRENOBLE Gare (France).

Résumé

-

On g é n é r a l i s e l a t h é o r i e du pompage magnétique en géométrie t o r o ï d a l e pour t e n i r compte d ' e f f e t s f a v o r a b l e s a u chauffage l o r s q u e l a longueur d'onde e s t comparable au grand rayon du t o r e e t on é t a b l i p a r une méthode v a r i a t i o n n e l l e l e t a u x de chauffage dans l e régime n o n - l i n é a i r e au-dessous de l a fréquence c r i t i q u e de c o l l i s i o n .

Abs t r a c t

The t h e o r y of magnetic pumping i s g e n e r a l i z e d t o t o r o i d a l geonretry i n o r d e r t o t a k e ac- count of f a v o r a b l e h e a t i n g e f f e c t s when t h e wave l e n g t h i s comparable t o the major r a d i u s of t h e t o r u s . The power a b s o r p t i o n i n t h e n o n l i n e a r reginie below t h e c r i t i c a l c o l l i s i m frequency is c a l c u l a t e d by nreans of a v a r i a t i o n a l procedure.

1

.

INTRODUCTION. que) q u i détermine l e s domaines (C) e t (B) (Fig. 1.).

C e t t e fréquence c r i t i q u e e s t en e f f e t déterminante L'auteur a niontré, dans une p u b l i c a t i o n r€- pour l e dimensionnement d'une expérience

fi].

Une c e n t e

fi],

qu'en ce qui concerne l e pompage magné- d é r i v a t i o n p l u s d é t a i l l é e de c e s r é s u l t a t s e s t don-

t i q u e p a r temps de t r a n s i t (TTMP), i l e x i s t e deux réginuls de fonctionnement dans l a gamme de f a i b l e s t a u x de c o l l i s i o n

gc;<

W . P o u l e a t r è a f a i b l e s v a l e u r s de L)ri l e t a u x de chauffage %'=

dkT/dt

e s t p r o p o r t i o n n e l à l a fréquence VCi ( a b s o r p t i o n non l i n é a i r e du type Zakharov

-

^Karpman

^[g)

, p o u r des v a l e u r s p l u s é l e v é e s de

vCt

l e t a u x de chauffage en e s t indépendant

ms[q

( a b s o r p t i o n du type Landau) comme 1' i n d i q u e l a F i g . 1.

On s e propose i c i :

1/ - de g é n é r a l i s e r l a t h é o r i e du TTMP e n géométrie t o r o ï d a l e pour t e n i r compte des e f f e t s t o r s i o n e l s f a v o r a b l e s a u chauffage l o r s q u e l a longueur d'onde e s t comparable a u grand rayon du t o r e . En e f f e t ce mode de chauffage ne p e u t ê t r e envisagé qu'en confi- g u r a t i o n fermée puisque p a r p r i n c i p e l e temps de chauffage e s t p l u s l o n g que l e temps de c o l l i s i o n , l e q u e l correspond au temps de v i e des i o n s en con- f i g u r a t i o n o u v e r t e . On c o n s i d è r e également l e s e f -

née dans l a Réf.[u a i n s i qu'une t a b u l a t i o n exhaus- t i v e dans l a R é f . m .

2. CHAMPS EH ET EQUATIONS DE MOWEF%NT.

On c o n s i d è r e une couche mince de plasma a u t o u r de l ' a x e magnétique (R=Ro, Z=o). Les p a r t i c u l e s p i é - gées n ' é t a n t pas a f f e c t é e s p a r l e TTMP, on ne t i e n - d r a compte que de l a composante t o r o ï d a l e du champ s t a t i q u e

-.,

Bq=e',~,R,/~ (Fig.2). O n suppose CU «&Ici (fréquence c y c l o t r o n i o n i q u e ) , 1 / ~ ~ > > rLi (rayon de

- ~.

La-r des ions),%& 3 Oéi O Ù $ = ~ / ~ ~ ,'l&,=(2

KZI

/mi) v i t e s s e thermique des i o n s . S i de p l u s ~ ~ l

(y

r a p p o r t de p r e s s i o n c i n é t i q u e à p r e s s i o n ma- gnétique) on en d é d u i t @ Z & ~ A ( v i t e s s e d'Alfvén).

On peut a l o r s n é g l i g e r l a dépendance des champs en f o n c t i o n de r 4 r pourvu q u e j ~ , ? 1 : l e plasma

P P

n ' a pas d ' i n f l u e n c e s u r l e s champs e.m. I l demeure une composante é l e c t r o s t a t i q u e a x i a l e E l qui assu- r e l a q u a s i - n e u t r a l i t é du plasma f!jJ,&'.

f e t s du r a p p o r t T /T. e t d'une v i t e s s e de d é r i v e On peut montrer que l e s s e u l e s c o q o s a n t e s e.m.

e 1

l i é e au c o u r a n t ohmiqw jy s u r l e chauffage des non n u l l e s s u r l ' a x e magnétique pouvant i n t e r v e n i r i o n s e t des é l e c t r o n s . dans l e chauffage dans l e c a s l e p l u s g é n é r a l , s o n t

BIR, EIZ = ((ir<e/~).~IR e t BIz. Ces champs peuvent 2/

-

D ' é t a b l i r d'une manière p l u s p r é c i s e l a fré-

ê t r e r é a l i s é s p a r exemple à l ' a i d e de bobines méri- quence c r i t i q u e de c o l l i s i o n (ou l a d e n s i t é c r i t i -

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1971585

(3)

E . CANOBBIO

diennes c o n v e n t i o n n e l l e s ou modifiées ( F i g . 3 ) , p a r d e s bobines h é l i c o ï d a l e s à 1

-

¹e t p a r des enrou- lements t o r s i o n e l s

m.

^BIz n ' e s t pas n u l , seulement dans l e c a s de bobines méridiennes pour l e s q u e l l e s on a :2B,/at

= ~ K % B ~ w .

A l ' o r d r e l e p l u s b a s dans l ' a m p l i t u d e des champs o s c i l l a n t s , l e s é q u a t i o n s du mouvement e t de l ' é n e r g i e d'une p a r t i c u l e chargée s ' é c r i v e n t dans l'approximation de d é r i v e :

~ ( ~ I I V Z ) = Q Z T ~ E ~

+ e v a L

+pa&z

ak

&+

où P

= g

²

(p/8=P/m]

^{e t}

~2

( d é r i v e t o r o l d a l e ) .

OZ W c R

3. LE REGIME INTERbEDIAIRE.

Pour des fréquences de c o l l i s i o n s u p é r i e u r e s à l a fréquence c r i t i q u e z W ( B ~

I B ~ ) ~ ' !

on p e u t con- s i d é r e r que l a d i s t o r s i o n non l i n é a i r e de l a fonc- t i o n de d i s t r i b u t i o n ne peut a v o i r l i e u . On p e u t a l o r s l i n é a r i s e r l e te-

@/a$.d$/&

dans l ' é - q u a t i o n de Vlasov e n posant af-/a~-d/&$avec :

qM

^=m.( - r r ~ i ) - ~ ' ~ a ~ ~ - ~ ( S P

-d!!-nz0)~)/~3'7

(on supposera Cy=O). En u t i l i s a n t l e s é q u a t i o n s (1) avec BiR= B I e x p i (Kx-~>t) on c a l c u l e l e s fonc- t i o n s p e r t u r b é e ~ $ ~ . , ( t , ~ , ~ ) . En é g a l a n t n l e e t

- ,

n l i on trouve pour EIZ l ' e x p r e s s i o n : E4,=-k%.A-

s i B 4 z = ~ ( ~ A = noubre de longueurs d'ondes dans l e t o r e ) e t 2 e s t l a d é r i v é e de l a f o n c t i o n de F r i e d e t Conte. La v a l e u r moyenne dans l e temps de l a den- s i t é de puissance absorbée p a r une des e s p è c e s des p a r t i c u l e s s ' é c r i t :

où

**~*=A%J~,J~Q**

^{e t}

%=?

povr l e s é ï e e t r o n s , pour l e s i o n s .

On p e u t montrer (Réf.6) :

11 P o u r X . 7 2 - 4 l e s é l e c t r o n s s o n t c h a u f f é s davan- 2

t a g e que l e s i o n s ; 21 s i <ao l e s é l e c t r o n s n'ab- s o r b e n t p l u s de puissance mais rayonnent ( o v e r s ta - Q

b i l i t y ) ; 3 1 l e c a s N A = 1 , A = 3 e s t p l u s e f f i c a c e

que l e s a u t r e s c a s pour un même t a u x de modulation;

4 / pour une onde s t a t i o n n a i r e (.&&Jc*lt.&Mfi) l a v a l e u r de <fi> e s t l a m o i t i é de c e l l e donnée p a r l ' e x p r e s s i o n ( 3 ) .

4. LE REGIME A TRES FAIBLE TAUX DE COLLISION.

Dans c e c a s on d o i t , d'une p a r t c o n s e r v e r l a n o n l i n é a r i t é du te-

a~@.(d~/dt),

e t d ' a u t r e p a r t t e n i r compte du te- de c o l l i s i o n ion-ion :

CL+/&

=cc+>

⁽⁴⁾

Lorsque l e champ o s c i l l a n t ne dépend que de (z-<V%b), il e s t a l o r s p o s s i b l e d ' é l i m i n e r l a dé- pendance du temps dans l ' é q u a t i o n ( 4 ) . On é c r i t % = ,$?et on u t i l i s e l e s i n v a r i a n t s du mouvement à

l ' o r d r e l e p l u s bas dans l ' a m p l i t u d e du champ r . f

.:

) L e t

. ="~934.0+e4 E

- c ~ ? z / ~ ~ . ) ( ~ o + ~ %

c%+ ) ) 9

(5,

B a~,/a~..

où on a supposé :

~ ; ( ~ = - a Q ; l a z ,

^,p

L1éq.(4) d e v i e n t a l o r s :

qYb>'ÿXa'=df].

^Se-

lon Zakharov e t Karpman [2] on p e u t é c r i r e :

=c~+5&+>)$(~,6llf)

où f 1 e s t donné p a r :

9 8 ~ @ r

= c CF)

⁽⁶⁾

t a n d i s que f 0 e s t déterminé p a r l a c o n d i t i o n de so- l u b i l i t é de l ' é q . (6)

C o r n il a é t é montré p a r Rosenbluth [9J, c e t t e é q u a t i o n exprime a u s s i l a c o n d i t i o n à laque&

d o i t s a t i s f a i r e t o u t e f o n c t i o n f

( E , p )

qui mini- mise l ' a c c r o i s s e m e n t de l ' e n t r o p i e ( i n t é g r é s u r l a p é r i o d e s u i v a n t z ) :

c 5 > =p&fdi$fcq) = < +>/k~

i~ 8) où$=#O/fM. On d é f i n i a l o r s f o p a r c e t t e méthode v a r i a t i o n n e l l e , a p r è s a v o i r transformée convenable- nient l e s i n t é g r a l e s dans ( 8 ) .

On i n t r o d u i t l a v a r i a b l e h ZpB#et on observe que f a e s t l o c a l i s é e dans un i n t e r v a l l e de l ' o r d r e de b*4'zautours de )\ 1 , puisque pour l e s p a r t i -

c u l e s p i é g é e s e t q u a s i résonnantes on a :

%v2=

-

- o ( P > .

En t e n a n t compte de ce f a i t on peut minimiser

< $ > a ~ r è s l ' a v o i r é c r i t sous l a f o n œ :

On u i i l i s e l a f o n c t i o n d ' e s s a i $=dq+&('I4 où l e premier terme q u i donne S = O , a é t é i n t r o -

(4)

POMPAGE MAGNETIQUE EN GEOMETRIE TOROIDALE

d u i t a f i n de s a t i s f a i r e ' à l a c o n d i t i o n de symétrie

4

pour l e s p a r t i c u l e s piégéesw~=a(3k+6(f)/aX=~ ri

)\= 1 . En p r e n a n t d = ~ ~ , - o n a'i3pX-O ( p a r t i c u l e s p i é g é e s ) , t a n d i s que pour l e s p a r t i c u l e s non pié-

gée s on a = ( ~ q ~ @ x ~ / m i ~ ~ f J ~ ( ~ ~ 2 / z ~ ) f / ' . En u t i l i s a n t c e s e x p r e s s i o n s d a n s a & l a r e t e n pra-

nant pour l e s champs :

B ~ / ~ ~ A , ~ / R B ~ . = ^-AA~~/RB.⁼b * d t n . a ( ~ ~ / ~

, **^b*,**

^O

= kTe A A A ~ ~ ~ I $ R *

oii

yR

e s t donné p a r l ' é q u a t i o n (2) avec ~ , ( % ) = o e t a p r è s i n t é g r a t i o n s u r z e t h on o b t i e n t e n f i n

<G>NL= w n s ~ **b*''&~**

e 4 ( i < ~ ) - ~ r2e-XX'J14

u .12r%+5RIs pour l e s é i e c t r o n s , R=

=-+TR pour l e s i o n s .

La d e n s i t é c r i t i q u e e s t déterminée e n é g a l a n t CW>NL

.

à41i>L.0n o b t i e n t a l o r s :

Dans le c a s de bobines méridiennes modifiées avec Nb = 1 on a t r a c é s u r l a Fig.4 l a f o n c t i o n D pour l e s i o n s e n f o n c t i o n de Xi pour d i f f é r e n t e s v a l e u r s de TelT%-

BIBLIOGRAPHIE.

(17 CANOBBIO ( E ) , Proc.*of t h e 4 t h European Conf. [6] CANOBBIO (El, P a p i e r L-1 à l a Conférence de on C o n t r o l l e d Fusion and Plasma P h y s i c s , I'IAEA, Madison (Etats-Unis), 1971.

Rome 1970, p.101.

[7] CANOBBIO (E). GIUFFRE (S), Rapport EUR-CEA-FC-

121 Z W O V (V-E), KARPMAN ( V . I ) , JETP, 1963,-, 601, 1971.

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[4] DAWSON (J.M), UMAN (M.F), Fusion Nucléaire, [9] ROSENBLUTH (M.N), s é m i n a i r e au : " I n t e r n a t i o n a l

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Fig. 4

Fig. 2

LA THEORIE NEO-CLASSIQUE DU POMPAGE MAGNETIQUE EN GEOMETRIE TOROIDALE

HAL Id: jpa-00214804

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LA THEORIE NEO-CLASSIQUE DU POMPAGE MAGNETIQUE EN GEOMETRIE TOROIDALE

Ernesto Canobbio

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dkT/dt

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ms[q

-.,

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-

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= ~ K % B ~ w .

~ ( ~ I I V Z ) = Q Z T ~ E ~

+pa&z

&+

= g

(p/8=P/m]

~2

I B ~ ) ~ ' !

@/a$.d$/&

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~*=A%J~,J~Q

%=?

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c%+ ) ) 9

B a~,/a~..

~ ; ( ~ = - a Q ; l a z ,

qYb>'ÿXa'=df].

=c~+5&+>)$(~,6llf)

= c CF)

( E , p )

c 5 > =p&fdi$fcq) = < +>/k~

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-

- o ( P > .

, b*,

yR

<G>NL= w n s ~ b*''&~

.

2,

2.

2,

^[g)

**~*=A%J~,J~Q**

, **^b*,**

<G>NL= w n s ~ **b*''&~**