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Lois générales du rendement et du maximum de
puissance relatives à un générateur ou un récepteur avec branche dérivée. - Applica tion au cas des dynamos. - diagramme du partage de la puissance dans un réseau de
circuits
E. Haudié
To cite this version:
E. Haudié. Lois générales du rendement et du maximum de puissance relatives à un générateur ou un récepteur avec branche dérivée. - Applica tion au cas des dynamos. - diagramme du partage de la puissance dans un réseau de circuits. J. Phys. Theor. Appl., 1910, 9 (1), pp.671-692.
�10.1051/jphystap:019100090067101�. �jpa-00241583�
671 la surface postérieure ; donc, une force qui empêche le mouvement.
L’accélération due à cette force est en raison directe de la vitesse, et
en raison inverse du rayon de la particule,. Il s’ensuit que la parti-
cule perd de l’énergie. Elle en rayonne plus qu’elle en reçoit, et elle
se transporte vers le Soleil.
Une sphère de la densité de la Terre, noire afin d’absorber la lumière du Soleil totalement, et d’un diamètre de 1 centimètre, s’approchera du Soleil de 1.6~0 .rnètres pendant la première année.
Ce mouvement continuera, et je calcule que dans quarante-cinq mil-
lions d’années environ elle parviendra au Soleil.
Avec des particules plus petites, l’action est plus rapide, et une particule d’un diamètre du millième de ~1 centimètre, en mouvement
d’abord presque dans un cercle à la distance de la Terre, décrira
une spirale qui finira sur le Soleil en quarante-cinq mille ans à
peu près.
Le Soleil a horreur de la poussière. Avec la pression de sa lumière
il repousse les particules les plus fines loin de son système. Avec sa
chaleur il échauffe les particules plus grandes. Celles-ci rendent celte chaleur, et avec elle une partie de l’énergie qui les met à même
de résister à son attraction.
Peu à peu, il les tire vers lui-même, et enfin elles tombent sur le Soleil. Elles sont brûlées. Elles cessent d’avoir une existence
séparée.
LOIS GÉNÉRALES DU RENDEMENT ET DU MAXIMUM DE PUISSANCE RELATIVES A UN GÉNÉRATEUR OU UN RÉCEPTEUR AVEC BRANCHE DÉRIVÉE. 2014 APPLICA- TION AU CAS DES DYNAMOS. 2014 DIAGRAMME DU PARTAGE DE LA PUISSANCE DANS UN RÉSEAU DE CIRCUITS ;
Par M. E. HAUDIÉ.
’1. Les lois du rendement et du maximum de puissance disponible
n’ont été établies par Siemens et Jacobi que dans le cas simple d’un
circuit unique.
Dans ces conditions, il est nécessaire, pour obtenir un bon rende- ment, de recourir à de faibles intensités, par suite à de faibles puis-
sances ; autrement dit, la loi de Siemens impose un travail lent.
D’autre part, on sait que toute dynamo industrielle, par le fait
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:019100090067101
même qu’elle comporte une branche dérivée, échappe à la loi de Siemens; elle donne effectivement, dans toutes les circonstances usuelles de son fonctionnement, des rendements élevés.
2. Je me suis proposé de rechercher si, pour le cas de généra-
teurs ou de récepteurs avec dérivation, il existe encore des lois géné-
rales relatives au rendement maximum et au maximum de puissance,
et dont les lois de Siemens et de Jacobi ne seraient plus qu’un cas
limite.
Dans ce but, il convient d’envisager successivement les diverses sortes de puissance utilisable dans toutes les conditions usuelles de fonctionnement des dynamos génératrices ou réceptrices. On verra
d’ailleurs que le cas d’un récepteur se ramène à celui d’un généra-
teur, et que les expressions qui les caractérisent demeurent les mêmes.
En même temps qu’on obtiendra ainsi certaines expressions par- ticulières d’un intérêt pratique immédiat, on verra progressivement
se dégager la forme des lois générales du rendement et de la puis-
sance maxima.
3. Il sera commode, pour cet exposé, de recourir à un diagramme capable de faire ressortir immédiatement, dans chaque cas,le partage
de la puissance entre les différentes branches du circuit, c’est-à-dire de mettre en évidence la puissance absorbée par la branche dérivée,
la perte dans la branche génératrice, la perte dans une ligne ou dans
un récepteur donné.
Or la représentation graphique du partage de la puissance élec- trique est demeurée, elle aussi, jusqu’ici limitée à quelques cas par-
ticuliers très simples relatifs à un circuit unique.
Le point de départ est le diagramme en carré, si expressif, donné
par Silv. Thompson (1) pour « la représentation graphique des lois
des moteurs » (des seuls moteurs-série). Ce diagramme, qui a pour but « de démontrer graphiquement à la fois la loi de puissance
maximum de Jacobi et la loi du rendement de Siemens », se trouve beaucoup amélioré si on remplace la forme en carré par celle d’un rectangle, afin d’introduire également la représentation numérique
(1) SrLV. P. Tiiompso.N, Philos. Mc~g., février 1883 ; Illuch, dyn.-élec~~°., 3e édit.
fr., 1900, p. 500.
673 des résistances, comme dans le tracé des caractéristiques de dyna-
mos, la résistance étant alors représentée par une tangente trigono- métrique (Hopkinson).
Ainsi modifié, ce diagramme semble n’avoir encore jamais servi qu’occasionnellement, et sous la forme élémentaire de la ~g. 1, pour représenter le partage de la puissance totale absorbée par un
moteur-série, ou le rapport entre la puissance absorbée par une
ligne donnée, et la puissance disponible à l’extrémité de cette ligne.
_
FIG. 1.
e. Yoltage aux bornes du moteur, ou au départ de la ligne ;
r = tàng a, résistance intérieure du moteur ou résistance de la ligne;
aire 2, puissance mécanique développée par le moteur, ou puissance disponible au bout de la ligne
Il sera aisé d’établir que ce diagramme ne demeure nullement limité au cas d’un circuit unique, et qu’il est au contraire susceptible
de résoudre le problème général de la représentation numérique du partage de la puissance dans le cas d’un réseau quelconque de cir-
cuits.
En même temps, on obtient ainsi une traduction graphique im-
médiate des lois de Ohm et de Kirchhofl’, capable de conduire à la solution purement graphique des problèmes simples qui dérivent de
ces lois.
De ce qui précède, il résulte d’abord que, à l’égard d’un généra- teur, on doit envisager les cas successifs où il développe soit une
f. é. m. constante, soit une d. d. p. constante aux bornes, soit une
d. d. p. constante à l’extrémité d’une ligne donnée.
Les calculs, un peu pénibles dans certains cas, n’exigent cepen- dant aucune méthode particulière, et peuvent être répétés sans dif-
ficulté. Il suffit donc, dans tous les cas, de se borner aux seuls résul- tats définitifs.
~
GÉNÉRATRICE AVEC DÉRIVATION.
201320132013
. ,
1. - Puissance extérieure disponible.
~
~L. 2013 LAF. É. M. E RESTE CONSTANTE.
4. Le même diagramme convient à la fois pour la dynamo en simple dérivation, et pour la compound en longue dérivation. Dans le premier cas, la résistance r est uniquement celle de l’induit; dans l’autre, elle représente la somme des résistances r, et r2 de l’induit
et de l’inducteur-série.
FIG. 2. rIG. ~.
tang cc = r ~ -~- r2 = r, tang ~ = r’.
Les différentes notations étant définies par le schéma (fig. ~), le dispositif même du graphique (~~. 3) se comprend immédiatement.
- L’ordonnée DG représente la chute ohmique rI dans l’induit (ou la somme des chutes DL = ral et LG = r 1 dans l’induit et dans l’inducteur-série); par suite la d. d. p. aux bornes,d’ailleurs égale à
la chute dans l’inducteur en dérivation, est e = GC ou HK, et on _voit en effet que HK = r’i’ (1).
Les lois de Kirchhoff se lisent immédiatement sur les deux direc-
°
(1) Désormais, sur les figures, les résistances i~, 7°1, r2, r’ représenteront les tan- gentes des angles dans lesquels elles sont placées.
675
tions rectangulaires relatives respectivement aux voltages et aux
intensités
ou
Et, dans le cas où le circuit extérieur est le siège uniquement de
chutes ohmiques, sa résistance totale étant R, on a aussi
La construction du graphique, effectuée à une échelle déter- minée (~), fournira les valeurs numériques des divers éléments inconnus.
1
Par exemple, supposons que le circuit extérieur se réduise à une
résistance R. Les directions AX et BY sont déterminées par les résistances r et r’ ; par suite, il suffit, pour l’achèvement du dia- gramme, de déterminer la position du point H, et on sait qu’il se
trouve nécessairement sur la direction AZ telle qu’une parallèle quel-
conque à AD se trouve partagée dans le rapport
Les aires des rectangles 1, 2, 3 respectivement égales à rI2, r i’2
et ei - Ri2 représentent numériquement les diverses puissances dé- pensées dans l’induit, l’inducteur en dérivation, et le circuit extérieur.
Si le circuit extérieur comprend également une force contrélectro- motrice, la donnée R se trouve remplacée soit par l’intensité i qui
alimente ce circuit, soit par la d. d. p. aux bornes e; et le diagramme
se construit sans plus de difficulté.
5. Maximum de puissance extérieure dis p onible. É Pour un gé-
nérateur de f. é. m. déterminée E et de résistances intérieures r et r’
données, la puissance disponible ei est représentée (aire 3) par un {1) On peut, naturellement, adopter au besoin des échelles différentes pour les
voltages et les intensités.
(1) La résistance p obtenue en menant FC représente la résistance unique équi-
valente à l’ensemble de deux branches ramifiées de résistances ~°’ et R. La même construction s’étend à un nombre quelconque de ramifications.
rectangle inscrit dans le triangle fixe TPB dont la base BT = ~ et
r
Le maximum a donc lieu pour
Il a pour expression
Le rendement correspondant est
Dans le cas particulier où le circuit extérieur se réduit uniquement
à une résistance Recette résistance est R. - t
-+ 1; autrement dit,
~ r-~-r
elle se trouve bien définie parl- 1 R - r -~- 2013.r
6. Variation du render¡¿ent. Rendement maximum. - Le ren-
dement est d’abord nul pour i = 0, qui correspond à l’intensité la
FIG. 4.
plus petite et alors égale (~J. ~’~) à r 0 !
2013~’
Le rendement partdonc de zéro, et croît d’abord avec l’intensité débitée. On voit, d’autre (1) Pour revenir au cas d’un circuit unique, il suffit de supposer que 1" aug- mente indéfiniment. On retombe bien alors sur la loi de Jacobi et sur le maxi-
mum donné par le diagramme de S. Thoinpson.
677
part, qu’il admet un maximum inférieur à l’unité, car , - ei
demeure toujours au plus égal à j puisque Z ~ ~., et ~ admet comme
. h r’
maximum -pr ou 2013,2013~*
b °~ r+r
Le calcul montre sans peine que le maximum a lieu pour une in- tensité totale débitée 1 telle que
si on pose r -E- r’ _ p.
Cette intensité se construit d’ailleurs aisément sur le graphique, puisqu’elle est numériquement égale à la moyenne proportionnelle
entre BT == ~ r et BJ == 2013~2013’r
+ r
Le volta ge aux bornes correspondant-est
et la valeur du rendement maximum correspondant /~
ou sous forme explicite,
c’est-à-dire
Dans le cas particulier où le circuit extérieur est supposé se réduire uniquement à une rèsi stance R, la valeur de cette résistance pour
laquelle a lieu le rendement maximum est (1) ’
(1) L’existence d’un maximum de rendement pour la dynamo en dérivation a
été établie d’abord par lord Kelvin, qui s’est borné à en donner unè expression approchée. L’expression rigoureuse est due à Silv. Thompson, qui l’a obtenue
Les éléments relatifs au maximum s’expriment tous très simple-
ment en fonction de cette résistance. On a en effe L
enfin
B. - LA D. D. P. AUX BORNES e EST MAINTENUE CONSTANTE.
7. Dans ce cas, le plus important en pratique pour une dynam~,
on a if - e . r = constant,e. La puissance dépensée pour l’excitation
est constante, quelle que soit l’intensité extérieure i débitée.
Connaissant e, r, r’ et R ou i, la construction du diagramme est
immédiate.
8. Puissance extérieure disponible. - ei croit proportionnellement
à i.
(.,Ilach. dyn.-élecl1’., 36 éd. fr., 1900, p. ’191) en calculant le « coefficient écono-
mique » de cette dynamo. L’auteur s’est précisément placé dans le cas d’un
circuit extérieur doué uniquement d’une résistance R. Après avoir obtenu l’ex-
pression de cette résistance, il a donné pour le rendement maximum, l’expression équivalente, mais d’une application un peu moins aisée
(1) Pour 1" _ ou, on retombe toujours sur le rendement égal à l’unité de la loi de Siemens.
679 9. Rencle~n.e~z~ ~2ccxi~n~m. --- Le calcul montre que le rendement, d’abord nul pour i ~ o, présente un maximum pour l’intensité i donnée par
Cette intensité est fournie par une moyenne proportionnelle entre
BK - i’ et BN - i’ + ~.r
L’intensité totale correspondante est .
Cette intensité, exprimée au moyen de la f. é. m. E ~ e + rl, se présente sous la forme très simple
identique à celle du numéro 6.
L’expression du rendement maximum correspondant se ramène,
comme dans le cas précedent (6), à
Dans le cas actuel, une expression équivalente très simple est
I1. - P uissance utilisable sous forme mécanique (ou chimique).
A. -liA F. É. M. E RESTE CONSTANTE.
10. La puissance extérieure disponible se décompose alors en deux parties, l’aire 3 représentant la puissance apparue dans tout le circuit extérieur sous forme de chaleur de Joule, l’aire 4 représentant la puissance développée sous forme mécanique (ou chimique) (1).
(1) Si le moteur était lui-même en dérivation, l’aire 3 devrait représenter seule-
ment la puissance calorifique apparue à l’extérieur du moteur. KJ représenterait
la d. d. p. aux bornes du moteur, et on devrait effectuer de même le partage de
l’aire 4 entre les deux circuits du moteur. D’ailleurs on reviendra plus loin sur le
cas des moteurs en dérivation.
Les différents segments verticaux représentent encore les diffé- rents termes de la loi de Ohm, et les lois de Kirchhoff se lisent immédiatement sur CD, par exemple; le mode de segmentation de
CD traduit immédiatement les relations
FIi7~s 6. ,
Pour effectuer la construction du diagramme, il suffif, de savoir déterminer la position de l’un des deux points H ou G. Le pro-
blème revient ainsi à inscrire dans le triangle fixe QPS déterminé
par la valeur connue de la f. c. é. m. E’ un rectangle JHGM tel que
ses diagonales HM et JG fassent avec les bases un angle dont la tangente soit égale à la résistance extérieure R. Les directions de ces
diagonales sont donc connues, et la rencontre de ces diagonales est
le point de croisement des deux diamètres conjugués correspondants QO et SO. Par la connaissance du point 0, les diagonales elles-
mêmes sont déterminées et par suite le rectangle 3 ainsi que le dia-
gramme tout entier(’). «
(1) Ce graphique est susceptible de mettre en évidence, aussi aisément que le
681 11. Maximum de la ~uissccnce disponible sous fornze mécanique (ou chimique). - La puissance obtenue varie naturellement avec la valeur attribuée à E’. Le calcul montre que la puissance représen-
tée par l’aire 4 passe encore par un maximum, lequel a lieu pour
la valeur correspondante de i étant
On a alors
De là, il vient, pour l’expression du maximum de puissance sous
la forme mécanique ou chimique,
et pour l’expression du rendement correspondant,
On constate que, comme dans le cas d’un circuit unique, le maxi-
mum a lieu pour une valeur de E’ précisémentégale à celle de e rela-
tive au maximum de puissance extérieure disponible (5). La cons-
truction graphique est donc la même. 1
12. Rendement maximum. - Le rendement part de zéro pour 1 = 0 et 1 = E 1 r puis il croît en présentant toujours un maximum.
-~-- r
ferait le graphique relatif à un circuit unique, la chute d’intensité au moment du
démarrage d’un moteur.
Il suffit en effet d’établir comment se place le graphique correspondant au cas
de E’ = o. Si on appelle io, i’o, Io les intensités relatives au moteur immobilisé, la position du point Ho se trouve déterminée par la condition i , 0 - il, tandis
~
zo l’
que, pour E’ ~ o, on a nécessairement r’i’ > Ri, c’est-à-dire i z ~> 2013’ Par suite,
1,
sur la droite BY, le point H se trouve plus éloigné de B que Ho, et l’intensité correspondante 1 = FG est nécessairement plus faible que 10 = FoGo.
Si on pose, pour simplifier, r + r’ ~ ~, R -f- r’ == q, le rende-
ment maximum a lieu pour
L’expression mème du rendement maximum se ramène, après
réductions, à .
B. - LA D. D. P. AUX BORNES e EST MAINTENUE CONSTANTE.
13. La construction du diagramme est immédiate ; immédiate
aussi apparaît la chute d’intensité par suite du développement d’une
f. c. é. m. E’. (La résistance du circuit extérieur est toujours dési- gnée par R.)
FIG. 7.
, Dans ce cas, i’ est une constante, la puissance ez’ (aire 2) dépen-
sée dansl’excitation dérivéeest constante, quelle que soit l’intensité i débitée.
’14. ~Ylcc,xi~~2u~~z de puissance 1nécanique disponible. - La puis-
(1) On sait d’ailleurs que
?~9 -- 1"’2 = ~R ~ ?~B
l’) Si, dans les expressions des numéros 11 i et 12, on fait R _-__ o, de manière que E’ se confonde avec e, on retrouve bien les expressions antérieures des numé- ros 5 et 6.
683
sance E’i, représentée par l’aire 4 est visiblement maxima par
On utilise alors, sous forme mécanique, la moitié de la puissance
extérieure.
L’expression de la f. é. m. correspondante étant
on a
d’où
Comme on a d’autre part
l’expression du rendement correspondant devient
Il importe de remarquer que toutes ces expressions sont nette- ment distinctes des expressions correspondantes du numéro il;
elles ne sont donc pas susceptibles de se ramener à une forme com- mune.
15. Rendement maximum. - Le rendement part de zéro pour
i = o, qui correspond à E’ = e, et croît en présentant un maximum qui est atteint avant l’intensité i = e , c’est-à-dire pour une valeur
2R de E’ toujours supérieure à e ~
Si on pose toujours r -+- r’ ~ ~ et R --~ r’ ~ q, l’intensité i qui cor-
~1) Si on suppose R ^ o, on revient au cas de la puissance extérieure totale
disponible (numéro 8). Effectivement == 2013; etE’~max~ ,-r- 2R 4Rcroissent sans limite
quand R tend vers zéro.
respond au rendement maximum est
Cette expression conduit, après une série de réductions, à des expressions de l’intensité totale 1 et du rendement maximum :
qui sont identiques à celles du numéro 12 (1).
III. - Puissance disponible à l’extrémité d’une ligne donnée.
1
16. Cette étude revient immédiatement à la précédente (11). Il
suffit que R représente la résistance de la ligne, et E’ le voltage e’ à
l’extrémité de la ligne.
FIG. ô,
Les deux cas A et B, dans lesquels on suppose constante ou la f. é. m. E, ou la d. d. p. aux bornes e se traduisent par les mêmes
diagrammes (fig. 6 et 7), dans lesquels l’air 3 représente mainte-
nant la puissance perdue dans la ligne et l’aire 4 la puissance dis- ponible à l’extrémité de la ligne.
Le maximum de puissance et le rendement maximum sont encore
donnés par les mêmes expressions (nOF, Il et 12, 14 et 15).
C. - LA D. D. P. E A L’EXTRÉMITÉ DE LA LIGNE EST MAINTENUE CONSTANTE.
’l’l. Ce cas, étant celui des dynamos hypercompounds, est le plus important en pratique (2) .
( t) Le cas de R = o, qui donne q = 1", ramène naturellement aux expressions correspondantes du numéro 9.
(2) Ce cas est en même temps celui de la dynamo compound en courte dériva- tion, avec d. d. p. constante aux bornes; la résistance de l’inducteur-série joue
alors le rôle de la résistance de la ligne.
685 Le diagramme reste encore le même que dans les fig. 6 et 7.
Connaissant e’ et les diverses résistances, la construction du dia- gramme, pour une intensité donnée, est immédiate.
18. Puissccnce disponible. - Elle croît sans limite avec le débit i.
’19. Rendement muxirnum. - Le calcul montre que le maximum du rendement 1 # e 2 a lieu pour
Et
Les expressions de l’intensité 1 correspondante et du rendement maximum se ramènent encore à la même forme
RÉCEPTRICE AVEC DÉRIVATION.
li
Il suffira, comme on va le voir, de traiter directement un seul cas.
Nous adoptons de préférence le cas essentiellement pratique où le voltage ccux bornes e’ est maintenu constant (c’est d’ailleurs le seul pour lequel l’existence d’un maximum de rendement ait été établie
jusqu’ici).
Fro. 9. F1~. 10.
20. La d. d. p. aux bornes e’ étant constante, le tracé du diagramme,
pour une f. c. é. m. donnée E’ du moteur, est immédiat. On y lit di-
rectement les équations
.
Le graphique fait ressortir immédiatement l’invariabilité de la dé- pense d’excitation (aire 2), l’intensité i’ demeurant constante (1).
Ce diagramme convient aussi bien à un simple moteur en dériva-
tion et à un moteur compound en longue dérivation : il suffit que dans ce dernier cas, r représente la résistance de l’ensemble de l’in- duit et de l’inducteur-série.
21. lVla~imun2 de la puissance lnécanique disponible. - La puis-
-sance E’i représentée par l’aire 3 est évidemment maxima quand
c’est-à-dire
io désigne l’intensité dans l’induit quand le moteur est immobilisé.
De là
On voit immédiatement, par suite de la présence de l’aire 2, que le rendement est inférieur à1- Il a pour expression (2)
22. Rendement mczximum. - Le rendement électrique, qui part évidemment de zéro pour 1 - o, et ne peut jamais atteindre l’unité
à cause de l’aire 2, passe par un maximum pour la valeur (3)
( 1 ) Le graphique met encore en évidence la chute d’intensité au démarrage,
car dans le cas du moteur immobilisé (E’ = o), le sommet C du diagramme se
trouverait reporté à la rencontre de BC avec HX.
(2) (3) LEBLOBD, lVloteu~~s électriques, 1905, p. 72 et 73.
