PROBLEMES ET MODELES EN THEORIE DES SONDES RADIOFREQUENCES

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PROBLEMES ET MODELES EN THEORIE DES SONDES RADIOFREQUENCES

M. Navet, Pierre Bertrand, M. Feix, B. Rooy, L. Storey

To cite this version:

M. Navet, Pierre Bertrand, M. Feix, B. Rooy, L. Storey. PROBLEMES ET MODELES EN THEORIE

DES SONDES RADIOFREQUENCES. Journal de Physique Colloques, 1971, 32 (C5), pp.C5b-189-

C5b-191. �10.1051/jphyscol:19715120�. �jpa-00214696�

PROBLEMES ET MODELES EN THEORIE DES SONDES RADIOFREQUENCES

M. Navet - P. B e r t r a n d

Groupe P h y s i q u e T h é o r i q u e e t Plasma - U n i v e r s i t é de Nancy 1 M.R. F e i x - ^{B. Rooy} - ^L.R.O. S t o r e y

Groupe d e Recherches I o n o s p h é r i q u e s - O r l é a n s - La Source

Résumé

Les m d è l e s " m u l t i p l e Water ~ a g " (N 20) e t "Cauchy d ' o r d r e é l e v é " (N 12) s o n t d e s p l u s u t i l e s p o u r c a l c u l e r l e s impédances p r o p r e s e t m u t u e l l e s de d i p ô l e s e t q u a d r i p ô l e s . C e l a v i e n t du f a i t que l e c a l c u l d e s champs

à

c o u r t e d i s t a n c e i m p l i q u e l ' u t i l i s a t i o n de t o u s l e s p ô l e s de l a r e l a t i o n de d i s p e r s i o n . De p l u s , l e modèle m u l t i p l e WB approxime t r è s e f f i c a c e m e n t une f o n c t i o n de d i s t r i b u t i o n o b t e n u e e x p é r i m e n t a l e m e n t .

A b s t r a c t

The m u l t i p l e (N 20) Water Bag and t h e h i g h o r d e r (N 12) Cauchy models a r e v e r y u s e f u l t o c o u r p u t e t h e mutual and s e l f impedances of d i p o l e s and q u a d r i p o l e s ( p l a n e and s p h e r i c a l g e o m e t r y ) . T h i s i s due t o t h e f a c t t h a t t h e c o m p u t a t i o n o f f i e l d s a t s h o r t d i s t a n c e i m p l i e s a l 1 t h e p o l e s of t h e d i s p e r s i o n r e l a t i o n . Moreover t h e m u l t i p l e Water Bag a p p r o x i m a t e s v e r y e f f i c i e n t l y an e x p e r i m e n t a l l y g i v e n d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n .

1 - INTRODUCTION

Nous nous proposons d e c a l c u l e r l e s champs é l e c t r i q u e s c r é é s p a r d e s s y s t è m e s de g r i l l e s p l a n e s ou s p h é r i q u e s e t d ' e n d é d u i r e l e s impédances d e s c o n d e n s a t e u r s p l a n s e t s p h é r i q u e s formés p a r deux de c e s g r i l l e s . Le plasma e s t homogène, s a n s c o l l i s i o n , s a n s champ magnétique e x t é r i e u r , e t non r e l a t i v i s t e . Les i o n s p e u v e n t ê t r e c o n s i d é r é s comme immobiles.

Les g r i l l e s s o n t s u p p o s é e s c o u p l é e s é l e c t r i q u e m e n t mais non mécaniquement au plasma, c e q u i e s t c e r - t a i n e m e n t r é a l i s a b l e au moins pour d e s p l a s m a s s p a t i a u x .

Le c a l c u l d e s champs é l e c t r i q u e s n é c e s s i t e l a c o n n a i s s a n c e d e l a c o n s t a n t e d i é l e c t r i q u e l o n g i t u - d i n a l e du plasma. C e l l e - c i p e u t s e d é d u i r e de l a f o n c t i o n de d i s t r i b u t i o n d e s v i t e s s e s F(V) d e s

3

é l e c t r o n s ( n o r m a l i s é e

à 1

quand on i n t è g r e s u r l f e s - Pace d e s v i t e s s e s )

:

où

w

e s t l a p u l s a t i o n , l a p u l s a t i o n de plasma,

-+ ^P

k l e v e c t e u r nombre d'onde. [ l ]

Cependant, l e c a l c u l de C ( k ,

v W )

e t d e s r a c i n e s de

&

( k , w )

-f

O pour une p u l s a t i o n donnée, o u pour un v e c t e u r nombre d'onde k donné, n ' e s t p a s a u s s i *

s i m p l e q u - ' i l semble 2 p r e m i è r e vue e t d e s d i f f i c u l - t é s

à

l a f o i s t h é o r i q u e s e t numériques a p p a r a i s s e n t . A u s s i , a v a n t d ' é t u d i e r l e s problèmes p r a t i q u e s de l a d é t e r m i n a t i o n d e s champs é l e c t r i q u e s e t d e s impé-

d a n c e s , nous a l l o n s p a s s e r r a p i d e m e n t e n r e v u e 5 modèles. E n s u i t e , nous a d o p t e r o n s l ' u n d e c e s mo- d è l e s - l e supercauchy- c o r n e b a s e d e l a d i s c u s s i o n d e s problèmes c i - d e s s u s .

I I - LES MODELES

2.1. - Modèle du plasma f r o i d

(2) F (5

⁼

^{d(vf où 6} d é s i g n e l a d i s c r i b u - t i o n d e D i r a c . On e n d é d u i t

:

( 3 ) a ( k , ~ ) )

=

I

- a 2

l u 2 P

L e s t i n d é p e n d a n t du nombre d'onde k. Le d é f a u t du modèle e s t que c ' e s t un c a s l i m i t e où l e mouvement

t h e r m i q u e e s t t o t a l e m e n t a b s e n t . 2 . 2 . Modèle Maxwellien

Dans c e modèle l a f o n c t i o n de d i s t r i b u t i o n d e s v i t e s s e s e s t

:

( 4 ) F(?)

=

( Z R ) - ' / "UT3 ^{exp (-Y'}

^{1 2 Y;)}

où VT - ^{(K T/rn)'''. a v e c K} l a c o n s t a n t e de Boltzmann, m l a masse d e l ' é l e c t r o n , T l a tempéra- t u r e . On o b t i e n t a l o r s

:

-

où

Z

e s t l a f o n c t i o n de FRIED e t CONTE [ 2 3 . ^Le

nombre d e s r a c i n e s de l ' é q u a t i o n de d i s p e r s i o n e s t i n f i n i e t d e s d i f f i c u l t é s t h é o r i q u e s de c o n v e r g e n c e p e u v e n t s e p r é s e n t e r . DENAVIT 1 3 J montre p a r exem- p l e q u e d a n s l e problème d e s o s c i l l a t i o n s l i b r e s , l a

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:19715120

M. NAVET, P. BERTRAND

s é r i e :

(6) 2 Bj e x p ( i w . t ) dans l a q u e l l e l e s B s o n t

J j

j = l

l e s f a c t e u r s d ' e x c i t a t i o n a s s o c i é s aux r a c i n e s w. J de l ' é q u a t i o n de d i s p e r s i o n pour un k r é e l donné, ne converge p a s uniformément l o r s q u e t tend v e r s O.

On p e u t s ' a t t e n d r e

à

d e s d i f f i c u l t é s p l u s g r a v e s dans l e problème d e s o s c i l l a t i o n s f o r c é e s .

2.3. - Modèle "Supercauchy"

Ces d i f f i c u l t é s mathématiques nous o n t c o n d u i t s

à

e n v i s a g e r de nouveaux modèles, d o n t l e p r e m i e r , a p p e l é "Supercauchy" C4] u t i l i s e l e f a i t que l a d i s t r i b u t i o n

(7) Fn(V)

=

V:

TT

tend pour n suffisamment g r a n d v e r s l a d i s t r i b u t i o n d e Maxwell d o n t ,

à

p a r t i r de n=12, e l l e n e d i f f è r e que pour l e s p a r t i c u l e s très s u p r a t h e r m i q u e s q u i , de t o u t e manière, s o n t e n nombre n é g l i g e a b l e . Le problème e s t mathématiquement r e l a t i v e m e n t simple.

L ' é q u a t i o n de d i s p e r s i o n a une forme polynomiale, possède n r a c i n e s e t nous avons un t r a i t e m e n t ma- thématique complet. T o u t e f o i s ,

à

t r è s grande d i s - t a n c e de l a s o u r c e , s e u l e s l e s p a r t i c u l e s

à

t r è s grande v i t e s s e c o n t r i b u e n t a u champ e t ce modèle n e donne pas la forme asymptotique c o r r e c t e . Remar- quons que c e t t e forme n ' e s t v a l a b l e que pour des champs t r ê s f a i b l e s , e t que pour nos problèmes i l e s t p l u s i n t é r e s s a n t d ' a v o i r d e s f o r m u l e s v a l a b l e s

à

d i s r a n c e f i n i e . Pratiquement des é t u d e s numéri- ques [

5 1

o n t montré que pour n=12 l e s r é s u l t a t s pour l e champ s o n t v a l a b l e s ,

à

t i t r e d'approxima -

t i o n du champ q u i s ' o b t i e n t avec l a d i s t r i b u t i o n maxwellienne, pour des d i s t a n c e s a l l a n t j u s q u ' à 60 l o n g u e u r s de Debye.

2.4. - Modèle du "Water Bag"

Le "Water Bag" a é t é u t i l i s é p a r GRARD 163 dans d e s c a l c u l s de sondes q u a d r i p o l a i r e s . I l s ' a g i t de l a f o n c t i o n de d i s t r i b u t i o n

P r o j e t é e s u r l ' a x e des x c e t t e d i s t r i b u t i o n s ' é - c r i t

:

( 9 ) F(Vx)

=

2-H

1

^(Vx

⁺

^{a )} - ^{H (Vx} - a ) (10) H(u)

=

O s i u < ^O

1 s i u ) O

Dans c e s c o n d i t i o n s , on o b t i e n t

:

(1 1) €. ( k , b ) +

=

1 - 4 ^{Pour un w donné}

aa-

k 1

a2

l ' é q u a t i o n de d i s p e r s i o n n ' a que 2 r a c i n e s e n k.

Ce modèle a pour p r i n c i p a l d é f a u t d e ne p a s com- p o r t e r l e phénomène d ' a m o r t i s s e m e n t Landau.

2.5. - Modèle du "Multiple Water Bag"

Récemment [ 7 ] l e modèle du Water Bag a é t é géné- r a l i s é avec une f o n c t i o n de d i s t r i b u t i o n pour chaque composante a x i a l e de l a v i t e s s e donnée p a r

N

F ( v ~ )

=

E

A . [ H ( v ~

+ a . ) - H ( V ~ - a j ) ] (12)

j

J

J

avec l a c o n d i t i o n de n o r m a l i s a t i o n

:

(13) 2 2 a A .

=

1

:

Il s ' a g i t de l a superpo- j = l j

J

s i t i o n de N "bags" chacun a y a n t l a h a u t e u r A . . Ce J modèle permet d'approximer t o u t e f o n c t i o n de d i s t r i - b u t i o n

à

s y m é t r i e s p h é r i q u e , c ' e s t - à - d i r e i s o t r o p e . I l e s t même p a r t i c u l i è r e m e n t a d a p t é a u c a s où l ' o n c o n n a i t l a f o n c t i o n de d i s t r i b u t i o n seulement s o u s forme de t a b l e a u numérique. On p e u t d i r e que l e s

"bags" c o n s t i t u e n t a l o r s l e s b r i q u e s é l é m e n t a i r e s avec l e s q u e l l e s on p e u t approximer F(V), ( q u i ,

-f

avec d e s A . n é g a t i f s , p e u t t r è s b i e n n e p a s être

3

+'

monotone d é c r o i s s a n t e e n [VI). La c o n s t a n t e d i é l e c - t r i q u e s ' é c r i t

:

Pour une p u l s a t i o n o d o n n é e , l ' é q u a t i o n de d i s p e r - s i o n a 2N r a c i n e s r é e l l e s . Mais l ' a m o r t i s s e m e n t Landau a p p a r a i t s o u s forme d ' u n mélange de phase

"à

l a Van Kampen" ; il s u b s i s t e pendant un temps (dans un problème

à

o s c i l l a t i o n s l i b r e s ) ou s u r une d i s t a n c e (dans un problème

à

o s c i l l a t i o n s f o r c é e s ) q u i e s t d ' a u t a n t p l u s l o n g que N e s t p l u s grand.

Parmi l e s nombreux a v a n t a g e s du modèle m u l t i p l e Water Bag, s i g n a l o n s l a s i m p l i c i t é du c a l c u l des r a c i n e s de l ' é q u a t i o n d e d i s p e r s i o n pour k donné.

P a r exemple, s i t o u s l e s A . s o n t p o s i t i f s , l a r a c i n e

W.

e s t t e l l e que

: J

k a i < m i < k a i + l . En c o n c l u s i o n , c e modèle s e r é v è l e d e s p l u s u t i l e s t a n t s u r l e p l a n t h é o r i q u e que s u r l e p l a n numérique.

III - LES PROBLEMES

3 . 1 . - D i f f é r e n t e s géométries,

Nous a l l o n s comparer l e s champs c r é é s , d ' u n e p a r t p a r une g r i l l e p l a n e de d e n s i t é de charge s u p e r f i c i e l l e C c o s ~ t , e t d ' a u t r e p a r t , p a r une charge p o n c t u e l l e q c o s w t . Leur c a l c u l n é c e s s i t e une i n t é g r a t i o n dans l ' e s p a c e d e s k . Dans l e s deux *

c a s , l ' e x p r e s s i o n de C ( k , U ) e s t l a même e t l a

s e u l e d i f f é r e n c e p r o v i e n t d e s p o i d s d i f f é r e n t s dans

l ' e s p a c e des k . Tous l e s c a l c u l s f a i t s

v

il a p p a r a i t

PROBLEMES E T MODELES EN THEORIE DES SONDES RADIOFREQUENCES

que l e champ en g é o m é t r i e p l a n e , e t l e p o t e n t i e l e n g é o m é t r i e s p h é r i q u e , s o n t donnés p a r d e s e x p r e s - s i o n s a n a l o g u e s . Supercaychy donne

:

(1 5 ) e n g é o m é t r i e p l a n e E ( x )

=

( 1 6 ) e n g é o m é t r i e s p h é r i q u e

.:

"

0

t - u

C f e s t l a c o n s t a n t e d i é l e c t r i q u e d ' u n plasma f r o i d d e même d e n s i t é e t l e s Bi l e s c o e f f i c i e n t s

J

d ' e x c i t a t i o n a s s o c i é s ault r a c i n e s k i de l ' é q u a t i o n

J

d e d i s p e r s i o n .

3 . 2 . - E t u d e de c e r t a i n s c a s l i m i t e s

A)

z x e - r - L e $ b e n Ç - ~ e r s - z i r o

Dans c e s c o n d i t i o n s , on a ( 0 ) =

?2.

Comme i l e s t a i s é d e m o n t r e r que

: ( ( 8 )

E-'+ f Bj

=

l

f j = l

On v o i t que (19) E o ( x )

=- O-

( 2 0 ) V,(r) =A

4 f l k r On r e t r o u v e l e s f o r m u l e s du v i d e ce q u i c o r r e s p o n d b i e n a u f a i t que d a n s un plasma chaud l ' e f f e t d e p o l a r i s a t i o n ne j o u e q u ' a u - d e l à d ' u n e c e r t a i n e d i s t a n c e , q u i v a r i e avec l a f r é q u e n c e .

Bl-=-xel.-r-Le_nbenL-~ers~IIi_nfi_ni

Dans c e s c o n d i t i o n s , $(u) t e n d v e r s O e t l ' o n r e - t r o u v e l e r é s u l t a t du modèle plasma f r o i d , s o i t l e champ o u l e p o t e n t i e l du v i d e d i v i s é p a r

L f ' C) -

^LJ

t e n d v e r s

W

--- _P

Il e s t a l o r s i n t é r e s s a n t d e r e m a r q u e r que l e terme plasma f r o i d e t l a c o n t r i b u t i o n d e s p ô l e s de Landau

( j = 1 , 2 ) s e d é t r u i s e n t p a r t i e l l e m e n t . Les f o r m u l e s

( 1 5 )

e t (16) d e v i e n n e n t r e s p e c t i v e m e n t

:

où d e s t un f a c t e u r numérique q u i t e n d v e r s 513 l o r s q u e n t e n d v e r s l ' i n f i n i . Dans l e s membres de d r o i t e , l e l e r d e s t e r m e s e n t r e p a r e n t h è s e s t e n d v e r s l ' i n f i n i l o r s q u e

W

t e n d v e r s

W

c a r k f

P'

t e n d a l o r s v e r s O

;

l e s a u t r e s t e r m e s r e s t e n t f i n i s .

.

(21) e t (22) m o n t r e n t une d i f f é r e n c e i n t é r e s s a n t e e n t r e un s y s t è m e p l a n e t un s y s t è m e s p h é r i q u e d a n s

l e c a s d ' u n e e x c i t a t i o n d i p ô l a i r e : l e terme domi- n a n t e s t b i e n un terme d i p ô l a i r e d a n s l e c a s d ' u n e g é o m é t r i e p l a n e (c-à-d p r o p o r t i o n n e l

à

, où b

e s t l a d i s t a n c e e n t r e l e s 2 g r i l l e s ) , a l o r s q u ' e n

g é o m é t r i e s p h é r i c i a ~ l e terme c o r r e s p o n d a n t s ' a n - n u l e .

3.3. - C o n s t a n t e s d i é l e c t r i q u e s a p p a r e n t e s d e c o n d e n s a t e u r s

à

g r i l l e s e n g é o m é t r i e s p l a n e e t

s p h é r i q u e

:

E p e t E s

^{.O 2}

Géométrie p l a n e

:

1

( 2 3 )

-

⁹

n.

(24)

= + -2-

B.

( k j 1 2 )

n-

J=-I J

a v e c (25)

* t ( t - u )

En p a r t i c u l i e r , dans l e c a s l i m i t e où W t e n d v e r s

d e s o r t e que L t e n d v e r s O l o r s q u e Gitend v e r s P

W ~ '

Géométrie s p h é r i q u e

: Comme nous l ' a v o n s d é j à d i t ,

l e c a s s p h é r i q u e e s t t r è s d i f f é r e n t . S i l ' o n con- s i d è r e 2 s p h è r e s c o n c e n t r i q u e s d e r a y o n s a e t b , on p e u t d ' a b o r d o b t e n i r l a f o r m u l e g é n é r a l e

:

S i l ' o n t i e n t compte d e l a forme a s y m p t o t i q u e ( 2 6 ) on démontre que l o r s q u e

U

t e n d v e r s a & n e t e n d

P ' p a s v e r s z é r o , m a i s v e r s une l i m i t e f i n i e .

Ce g e n r e d ' e x c i t a t i o n , p r é s e n t e donc l ' i n t e r - r e s s a n t e p a r t i c u l a r i t é d e m e t t r e e n j e u l e s modes é l e c t r o s t a t i q u e s au d e l à d e s p ô l e s p r i n c i p a u x d e

Landau, e t l a forme d e s c o u r b e s d e r é p o n s e d o i t p e r m e t t r e de p r é c i s e r l e s p a r a m è t r e s du plasma.

BIBLIOGRAPHIE

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à

p a r .

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[il NAVET (M.) BERTRAND (P.),Phys.Let.l971,~,117.