Les champs de doublet de masse

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Les champs de doublet de masse

K.H. Tzou

To cite this version:

K.H. Tzou. Les champs de doublet de masse. J. Phys. Radium, 1961, 22 (12), pp.795-800.

�10.1051/jphysrad:019610022012079500�. �jpa-00236581�

LES CHAMPS DE DOUBLET DE MASSE Par K. H. TZOU

Institut Henri-Poincaré, ^Paris.

Résumé.

Les champs symétriquement self-couplés peuvent ^{être définis pour tous les} spins

vis-à-vis de toutes les huit inversions unitaires. De tels champs ^sont également réalisables vis-à-vis des huit inversions antiunitaires

de spins entiers, ^mais

^{le sont} que vis-à-vis de C et PTM dans le cas des spins demi-entiers. Chacun de

champs comporte deux états de _masse propre différente. Des arguments ^d’ordre physique excluent la réalité physique ^{de tels} champs

définis vis-à-vis des huit inversions indépendantes ^de M, ^mais

définis vis-à-vis des huit inver- sions comportant ^{M sont} bien admissibles

point ^de

physique. Cependant ^des systèmes phy- siques particuliers ^{et bien} spécifiés ^{peuvent bien être} représentés ^{par certains des} champs ^self- couplés définis vis-à-vis même des inversions qui

comportent pas M. Dans le cadre de cette théorie, ^le champ fermionique M-symétriquement self-couplé ^est proposé pour les doublets-M

leptoniques, électron-muon et neutrino, ^{et le} champ bosonique ^C (ou CP)-symétriquement ^self- couplé représente le doublet-C (ou CP) mésonique K01-K02.

Abstract.

Symmetrically self-coupled ^{fields can} be defined for all spins ^with respect ^{to all} eight unitary inversions. Such fields

also realizable with respect ^{to the} eight antiunitary

inversions in the case of integer spins, ^but

realizable only ^with respect ^{to C and PTM in the}

case

of half-odd-integer spins. Each such field has two states of different rest-mass. Some

physical arguments exclude the physical reality of all such fields defined with respect ^{to the} eight M-independant inversions, while those defined with respect ^{to the} eight M-dependent ^inversions

are

quite admissible in the physical point ^{of view. However,}

particular ^{and well} specified physical systems

quite ^{well be} represented by certain of the self-coupled ^{fields which}

defined

with respect ^{to the} M-independent inversions. In the framework of this theory,

the M-symmetrically self-coupled fermion field is proposed ^{for the} leptonic M-doublets, ^electron-

muon

and neutrino, and the C (or CP)-symmetrically self-coupled boson field represents ^{the meso-} nic C (or CP)-doublet K01-K02.

LE

JOURNAL

PHYSIQUE

^RADIUM

22, ^DÉCEMBRE 1961,

1. Introduction.

Dans ^une étude en vue d’une théorie unifiée de l’électron et du muon [1], ^nous

avons proposé ^{et examiné un} champ ^de spin 1/2 ^M- symétriquement self -couplé, ^à savoir, ^un champ spinoriel 03C8(m) qui ^{est mis en} interaction avec son

«

image d’inversion M » 03C8(- m). ^m désigne ^ici

masses propres ^et M l’opération d’inversion de

masses propres. En général, ^des champs ^{de ce}

genre existent bien vis-à-vis de toutes les opérations

d’inversion _{du groupe} d’inversion

En d’autre termes, ^un champ, ^en général, peut

être mis de façon compatible ^en interaction avec son image vis-à-vis de chacune des seize inversions.

De tels champs comportent chacun deux masses

propres identifiables à deux particules différentes.

On dira que celles-ci forment un

doublet- G

Comme nous avons expliqué ^récemment [1], ^les champs que ^nous étudierons obéissent à des équa-

tions du type

Ici m1 et m2 sont des constantes réelles _que nous

supposerons positives ^toutes les deux. Dans une

étude générale qui ^nous occupe maintenant, ^nous prendrons ^en considération tous les spins ^{dans ce} qui ^{suit. Dans un} travail antérieur [2], ^{nous avons}

étudié certaines propriétés ^de symétrie intrinsèques

vis-à-vis du groupe d’inversion G dans le cadre d’une large ^classe générale ^{des théories des} parti-

cules à spin. ^{Dans le} présent exposé, ^{nous nous}

référerons aussi à cette classe générale des théories des particules ^{et nous aurons} l’occasion de revenir à quelques ^{unes de leurs} propriétés ^de symétrie intrinsèques. ^{Les matrices} Px ^{obéissent donc aux} règles non commutatives _{que nous} avons résumées dans le travail antérieur mentionné plus ^haut [2].

Dans l’équation (1), [G] Ç désigne ^le champ engen- dré de Ç par l’inversion ^G [3] avec encore un chan- gement de nombres quantiques ^{dans ce} champ engendré, changement impliqué ^{dans la définition}

et dans la caractéristique ^de l’inversion G [3]. ^Il y

a donc à distinguer l’opération [ G] ^de l’opération (G) que nous avons définie et étudiée antérieure- ment [3] (1).

A part l’équation ^de champ (1), ^notre problème

des champs symétriquement self-couplés ^consiste à ^{poser encore deux} conditions sur l’opération [ G].

(i) ^Le champ engendré de Ç; [ G] Ç, représente

aussi le même champ ^bien que ^non identique ^à t.¥.

Ainsi [G] Ç doit vérifiér l’équation.

1 (1) ^{Les deux} opérations [G] ^et (G) ^sont identiques ^dans

le cas G = M et dans

seulement, ^car (M) n’engendre

pas de changement de nombres quantiques.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:019610022012079500

796

(ii) Puisque ^la présence ^de [G] 03C8 ^dans l’équa-

tion (1) signifie ^{un certain} self-couplage par

image

d’inversion G », 03C8 ^doit apparaître ^{lui aussi comme}

un tel couplage ^dans l’équation ^de [G] 03C8, ^ce qui implique ^une symétrie par l’échange de Ç ^et [ G] Ç.

Dans ce cas, ^on doit pouvoir ^écrire l’équation ^sui-

vante :

Des équations (2) ^et (3), ^une condition de compa- tibilité s’impose ^{dans la} définition des champs

symétriquement self-couplés :

La question principale ^est alors la détermination des inversions possibles ^vis-à-vis desquelles peu- vent être définis de façon compatible ^les champs symétriquement self-couplés.

Des équations (1) ^et (3), ^on déduit les champs

non couplés,

1

où l’on’définit

Le charnp Ç comporte ^{donc deux masses} propres,

ma et mb, qui ^sont identifiables à deux particules

différentes formant un doublet-G.

Étant donné que Ç ^et [G] 03C8 satisfont, par défi-

nition, ^{à la même} équation (1) ^{et sont mêmes mis}

en interaction, ^{il est} naturel que ^tous les deux ont des propriétés de transformation identiques. ^Les champs symétriquement self-couplés ^{sont alors}

tous invariants par rapport ^{à toutes} les inversions et au groupe de Lorentz.

Dans l’examination des inversions qui permet-

tent de définir de façon compatible ^des champs symétriquement self-couplés, ^{nous devrons bien} distinguer ^les inversions unitaires des inversiQns antiunitaires. A ce sujet, ^{nous les} examinerons séparément ^aux paragraphes ^suivants.

2. Inversions unitaires.

Désignons par A l’une

quelconque des huit inversions unitaires : A = I, P, CT, CPT, M, PM, CTM, CPT lJ;1. Le champ engendré de Ç par A ^est alors défini par (voir [3])

où l’indice inférieur A dans ÇA désigne ^un change-

ment de coordonnées (e, r, t, m) ^{et un} changement

de nombres quantiques dans 03C8, changements impliqués par’ la définition de A comme nous

l’avons prescrit ^au paragraphe précédent. ^Les r A

sont des opérateurs matriciels non singuliers qui remplissant ^les conditions, [2], [3]

où 03B4(03BB) A ^a pour valeur -+ 1 ou - 1 suivant A et À.

Nous _pouvons prendre pour rA des matrices à la fois unitaires et hermitiennes pour toute inversion unitaire A : F-1

rÂ

rA.

D’une seconde opération ^de [A] ^sur (8), ^nous

obtenons

La condition de compatibilité (4) ^{sera donc réa-}

lisée si

cela indépendamment ^{de A.}

Vis-à-vis de chaque inversion unitaire A, ^nous

avons donc deux champs symétriquement ^self- couplés ^définis par 03B6A

^{+ 1 et - 1} respective-

ment. Dans le premier ^cas (03B6A

1), ^selon (7), ^les

membrés non couplés ^{de masse} propre bien définie sont

qui ^{satisfont aux} conditions de symétrie suivantes :

Au second cas (03B6A = -1), les membres non

couplés ^sont

qui ^vérifient les conditions de symétrie

Dans les deux _cas, les champs a ^{sont tous l’état}

propre de la petite ^masse m1- m2 et les champs ^b

celui de là grande ^{masse ml +} m2. Mais, d’après (13) ^et (15), ^{ils ont des} propriétés ^de symétrie ^diffé-

rentes suivant que (A.

^{+ 1 ou - 1. Nous dirions}

que les champs 03C8a ^et 03C8b ^{forment un doublet-A et} 03C8’a ^et 03C8’b ^{forment un} doublet-A’. (Cf. [1]).

3. Inversions antiunitaires.

Soit B l’une quel-

conque des huit inversions antinuitaires : B - C, CP, T, PT, CM, CPM, TM, ^{PTM. Dans ce cas,}

par définition, [3]

L’indice supérieur T désigne ^la transposition ^des

matrices. 03C8 ^{est le} champ adjoint de §, § = 03C8 t ^6,

0 étant une matrice non singulière ^définie par

90

09, 03B2 03B8 = 094, ^6-1

^et

^{6. Les}

matrices non singulières FB doivent vérifier les conditions [2], [3]

où également 03B4B’

^{+ 1 ou - 1 suivant B et À.}

Nous prendrons pour rB des matrices unitaires

et hermitiennes en cas de toute inversion antiuni- taire, lB’ = ^r+

lB.

Nous avons démontré [2] que, indépendamment

de la représentation ^{des matrices} px, ^les opérateurs rB comportent ^les propriétés ^de symétrie ^intrin- sèques suivantes :

SB et _(/..8 prennent pour valeur + 1 ou - 1 sui- vant l’inversion B et le spin considérés. Des consi- dérations générales ^{nous ont} permis ^{de déterminer}

les valeurs de SB et _aB en fonction du spin ^{en cas de} chaque inversion antiunitaire B [2].

Cela étant, ^{une seconde} opération [B] sur Ç ^nous donnera, ^selon (16),

Pour _que les champs symétriquement ^self- couplés soient réalisables vis-à-vis de B, il faut donc que

,

Mais, des résultats d’une étude antérieure men-

tionnée plus ^haut [2], ^nous tirons facilement

en cas de C et PTM et indépendamment ^du spin considéré, ^et

en cas de chacune des six autres inversions anti- unitaires. On peut donc, conclure que le champ symétriquement self-couplé peut être défini de

façon compatible vis-à-vis de toutes les inversions antiunitaires en cas de spins ^{entiers. Mais}

dans ^{le cas des.} spins demi-entiers, ^{un tel} champ

n’est réalisable .que vis-à-vis de C ^ou de PTM.

Dans le cas des inversions antiunitaires, quand

les champs symétriquement self -couplés ^{sont réa-} lisables, les membres non couplés ^{de masse} propre bien définie sont

qui remplissent, ^selon (21), les conditions de symé-

trie suivantes :

4. Ondes planes monochromatiques. Significa-

tion physique ^des conditions de symétrie.

^Les champs symétriquement self-couplés vis-à-vis du groupe d’inversion G sont des champs ^linéaires.

Chacun d’eux comporte ^{deux masses} propres,

ma

Ml - m2 ^{et mb}

Mi + _m2. ^{Tout comme} dans le cas du champ self-couplé ^{vis-à-vis de} M[1],

on trouve facilement les solutions de ces champs ^en

ondes planes monochromatiques. ^{A une} impulsion

p correspondent ^deux énergies ^{Ea et Eb données} par

Représentons ^{lès deux sortes d’ondes} planes monochromatiques ^par

où s désigne ^{la valeur} propre du spin longitudinal.

Les spineurs ^{ua et ub obéissent aux} équations

Ce qui caractérise la théorie des champs symé- triquement self-couplés, ^{ce sont les} conditiohs de

symétrie (13), (15) ^et (25), que doivent remplir ^les champs ^non couplés 03C8a ^et Çô qui ^{sont les deux états}

de masse propre bien définie. Dans le cas des onde

planes, ^ces symétries introduisent des conditions

sur les spineurs ua ^{et ub. Nous résumons ces condi-}

tions de symétrie explicitement ci-dessous _pour chacune des seize inversions du groupe G.

Inversions unitaires.

798

Inversions antiunitaires.

Ces conditions de symétrie ^{sur les} spineurs ^{Ua et}

u-b en théorie des champs symétriquement ^self-

couplés coïncident exactement avec les normali- sations uniformes des ondes planes monochroma-

tiques vis-à-vis du groupe d’inversion G, nprmali-

sations _que nous avons étudiées en détail dans le

cas du spin 1/2 dans ^un article récent [4]. Mais,

à la différence des théories usuelles, ^les champs a,

dans la présente théorie, ^ne peuvent être unifor- mément normalisés que selon ^une seule possibilité

et les champs ^{b doivent} l’être selon l’autre possi-

bilité différente.

Dans le cas des spins demi-entiers, ^on a, selon (23), ^{aB eB} = -1 pour B m ^{C ou} PTM.

Les normalisations uniformes des ondes planes ^ne

sont donc pas réalisables vis-à-vis de ces six inver- sions antiunitaires en cas de spins demi-entiers,

comme nous l’avons d’ailleurs montré en dé- tail antérieurement dans le cas du spin 1/2 [4].

Par conséquent, ^les conditions de symétrie (37)

(42) ^{ne sont} pas remplies ^{en cas de} spins

demi-entiers. Dans le ^cas des spins entiers, ^au contraire, les normalisations uniformes des ondes

planes ^sont réalisables vis-à-vis de toutes les seize opérations du groupe d’inversion G, ^{et les}

conditions de symétrie (29)

(43) peuvent ^toutes

être bien réalisées.

Cela confirme, ^d’une façon explicite, les conclu- sions des deux paragraphes précédents.

Les conditions de symétrie (29)

(43) ^{sur les}

ondes planes ^des champs symétriquement ^self- couplés impliquent ^des limitations physiques ^sou-

vent inadmissibles sur la structure même de ces

champs. Considérons _par exemple ^le champ ^P- symétriquement self-couplé. ^Les conditions de

symétrie (29) ^{doivent être réalisées sur les ondes} planes ^{de ce} champ. ^Elles signifient (cf. [4]) que, dans le champ a ^{comme dans le} champ b, s’il y ^a

une onde plane ul(s)(p, Ea), ^il y ^aura aussi et néces- sairement l’onde plane correspondante u(s)a (- p,

Ea) qui ^a d’ailleurs, ^{à un} signe près, ^{une même am-} plitude que ug8 (p, Ea). ^{Cette condition} est, ^au point ^{de vue} physique, incompatible ^{avec les} conceptions classiques, ^{car par} exemple ^on peut bien avoir un faisceau d’électrons d’une quantité

de mouvement p ^{sans avoir dans le même faisceau}

un nombre égal d’électrons ayant ^une quantité ^de

mouvement - p. ^Le champP-symétriquement ^self- couplé ^ne représente donc pas la réalité physique générale.

Des arguments ^d’ordre physique ^semblables

excluent en fait la réalité possible ^{de tous les} champs symétriquement self-couplés ^{vis-à-vis des}

huit inversions indépendantes ^{de M. Mais de tels} arguments ^ne s’appliquent pas à ^ceux définis vis- à-vis des huit inversions comportant ^{M. Dans ce}

cas, ^en effet, les conditions de symétrie ^n’intro-

duisent des relations qu’entre ^les champs 03C8(m) ^et

03C8(- m). ^Ces conditions n’apportent donc pas de

modification aux théories usuelles des particules

qui ^{ne sont basées} que. ^sur Je champ Ç(m) ^sans

tenir compte ^de Ç(- m) ^{dans une manière} symé- trique. ^Les champs self-couplés ^{définis vis-à-vis}

des inversions comportant M, qui ^tiennent compte

de la symétrie ^{de + m et}

m, sont donc tous admissibles au point ^{de vue} physique. ^Le plus simple ^{de ces} champs ^est celui défini vis-à-vis de l’inversion M elle-même, qui ^{est le} champ ^fonda-

mental d’un modèle des leptons que ^{nous avons}

proposé ^{et étudié récemment} [1].

Cependant, ^{si nous nous bornons à des états} phy- siques particuliers ^{et bien} spécifiés, ^les champs symétriquement self-couplés vis-à-vis même des inversions ne comportant pas M pourront ^bien représenter ^{chacun un} système ^{ou un} problème physique particulier. Ainsi, ^{au cas où l’on ne consi-}

dère _que des états physiques qui comportent par

exemple ^{les états} (p, Ea, s) ^et (p,

Ea,

s) ^d’une

même amplitude selon les conditions de symétrie (37), ^le champ symétriquement self-couplé ^vis-à-

vis de CP pourra bien représenter ^{ces états} phy- siques particuliers. ^{Nous en avons un} exemple : ^les

mésons K neutres dans l’interaction faible de

désintégration. ^{Dans cette} interaction, ^en effet, ^les

mésons Ko directement observables sont les deux états propres de CP, Kî ^et K2, définis par (voir

Ki ^et KO obéissent dans ce cas aux conditions de symétrie (25) ^et (37). Nous dirons qu’ils ^for-

ment ^un doublet-CP. Ils peuvent bien avoir des

masses propres différentes dans notre formulation des champs symétriquement self-couplés. ^{Un tel} champ ^est d’ailleurs réalisable, ^{car les Ko sont des}

bosons.

Si l’on définissait K0i ^et Ko2 ^comme les deux états propres de CPM (doublet-CPM) ^{au lieu de} CP, ^le problème ^{des mésons Ko ne serait} plus ^{limité aux}

seuls états physiques particuliers ^{et bien} spécifiés

que ^{nous avons} prescrits plus ^haut.

5. Quelques ^cas spéciaux.

^{Nous examinons}

maintenant quelques ^cas spéciaux ^des champs symétriquement self-couples ^{en ce} qui ^{concerne les}

masses propres.

10 _m2

0. Les deux membres du doublet-G auront la même masse propre ml: ^Les champs ^fon- damentaux Ç ^{ne seront} plus self-couplés ^{et seront} simplement ^les champs usuels. En fait, ^{la structure}

de doublet de ces champs perd ^sa signification

dans ce cas.

20 _ml

0. Les champs considérés ^sont toujours self-couplés ^{dans ce cas, et on a toujours de vrais} doublets, bien que leurs deux membres aient ^main-

tenant la même masse propre m2. Les équations ^de champ (1) ^et (3) s’écrivent maintenant

Les deux membres du doublet-G obéissent alors

aux équations

Ça ^et 03C8b ^{étant définis} toujours par (7). ^{Il est à}

remarquer. que le membre Çb a pour ^terme de

masse

m2.

Il serait intéressant de considérer KO1 ^et K2

comme un doublet-CPM dans le modèle (45), ^ce qui équivaut ^au doublet-CP dans la théorie usuelle.

Nous avons déjà signalé ^au paragraphe précédent l’avantage ^{de ce nouveau} point ^{de vue.,}

30 ml = m2

0. Les doublets perdent ^leur signification. ^{Dans le cas G = M et du} spin 1/2,

ce sera le champ ^{du neutrino à} quatre composan- tes [1]. ^{En cas de} spin 1, on ^{aura le} champ ^du photon.

6. Conclusion et remarques.

Les champs symé- triquement self-couplés peuvent ^{être définis de} façon compatible ^{vis-à-vis de toutes les inversions}

unitaires et indépendamment du spin. ^{De tels} champs ^sont réalisables aussi vis-à-vis de toutes les

inversions antiunitaires en cas de spins entiers,

mais ne le sont que vis-à-vis de C ^et de PT M dans le cas des spins demi-entiers.

Des arguments ^d’ordre physique ^{excluent la}

réalité physique générale ^des champs self-couplés

vis-à-vis des huit inversions indépendantes ^{de M.}

Mais ceux définis vis-à-vis des huit inversions

comportant ^{M sont} bien admissibles au point ^de

vue physique. ^De ceux-ci, ^le champ ^le plus simple

est celui défini vis-à-vis de M elle-même, qui, ^dans

le cas du spin 1/2, ^{est le} champ fondamental du modèle de doublets-M, ^un modèle des leptons que

nous avons étudié récemment [1].

Cependant, ^{si l’on se} borne à des états physiques particuliers ^{et bien} spécifiés, ^les champs symétri- quement self-couplés ^définis vis-à-vis même des inversions indépendantes ^{de M} peuvent ^bien repré-

senter chacun un système ^{ou un} problème phy- sique particulier. ^{Dans ce} sens, Kol ^et .K2 ^forment

un doublet-CP. Mais on pourrait définir aussi KO

et K2 ^{comme un} doublet-CPM, ^de sorte que le pro- blème des mésons K neutres ne soit plus ^{limité aux}

seuls états particuliers mentionnés plus ^haut.

On pourrait penser à ^une généralisation possible

de la théorie des champs symétriquement ^self- couplés ^en y comprenant ^{aussi ceux définis vis-} à-vis des rotations R ou des transformations de Lorentz L. On aurait alors un type ^de champs qui peuvent comporter ^{chacun un nombre} quelconque

de masses propres différentes ^au lieu de deux seu-

800

lement dans le cas des champs self-couplés ^vis-à-

vis des inversions. Mais des considérations d’ordre

physique ^{comme celles} évoquées ^au paragraphe précédent ^{excluent en} général la réalité physique

de tout ce type ^de champs. ^{On ne} pourrait pour- tant pas exclure la possibilité qu’ils puissent repré-

senter certains problèmes physiques particuliers ^et

bien spécifiés. ^{En outre, les} champs self-couplés

définis vis-à-vis de RM ou de LM seraient bien admissibles au point ^{de vue} physique.

’

Manuscrit reçu le ²³ décembre 1960.

BIBLIOGRAPHIE

[1] ^Tzou (K. H.), ^{C. R. Acad.} Sc., 1960, 251, 2659, 2895 ; J. Physique Rad., 1961, 22, 257 ; ^Cah. Physique, 1961, 15,171.

[2] ^Tzou (K. H.), ^J. Physique ^{Rad., 1961,} 22,142.

[3] ^Tzou (K. H.), ^J. Physique Rad., 1959, 20, 597, 933 J. Physique Rad., 1960, 21, ^537.

[4] ^Tzou (K. H.), ^J. Physique Rad., 1960, 21, ^579.

[5] ^GELL-MANN (M.) ^et PAIS, (A.), Phys. ^{Rev., 1955,} 97,

1387.

REVUE DES LIVRES PUGH (E. M.) ^{et PuGH} (E. W.), Principes ^of electricity ^and

magnetism. (1 ^{vol. relié} toile, ⁴³⁰ pages, ^1960. Édi-

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