Examen
L.I.M.-Statistique Septembre 2004
1 Exhaustivit´ e
On observe unn-´echantillon (X1, . . . , Xn) de loi Pθ de densit´e
f(x, θ) =1
θ(1−x)1θ−11[0,1](x), θ∈R+∗. 1) Calculer la vraisemblance du mod`ele et donner une statistique exhaustive.
2) D´eterminer l’estimateur du maximum de vraisemblanceTn deθ.
3) On pose Z=−log(1−X). Montrer queZ suit une loi exponentielle dont on pr´ecisera le param`etre.
4) Donner en les justifiant les propri´et´es de Tn : risque quadratique, consistance, optimalit´e. Tn est-il un estimateur efficace ?
2 Wishart
SoitX = (X(1), X(2)) un vecteur al´eatoire deR2 de loi normaleN2(0, σ2A(θ)) o`uA(θ) =
1 cosθ cosθ 1
, avecθ∈]0, π[ etσ >0. Soit X1, . . . , Xn unn-´echantillon ayant la mˆeme loi queX.
a) Montrer que la vraisemblance associ´ee `a ces observations est :
f(x1, . . . , xn;θ, σ) = 1
(2π)n(sinθ)nσ2nexp
− 1 2σ2
n
X
j=1
xTjA−1(θ)xj
, xTj = (x(1)j , x(2)j )∈R2, j= 1. . . n.
b) On suppose queθest connu, quel est alors l’estimateur du maximum de vraisemblancebσn2deσ2. Montrer que,σb2n est un estimateur convergeant.
c) Montrer que n1Pn
j=1Xj(1)Xj(2) est un estimateur sans biais deσ2cosθ.
3 Pizza
On d´esire comparer le nombre moyen d’olives par pizza dans deux restaurants diff´erents. On appelle Xi (respectivement Yi) le nombre d’olives pour la pizza i dans le restaurant A (resp. dans le restaurant B). On observe 100 pizzas dans chacun des restaurants. Les donn´ees r´eduites sont les suivantes :
n= 100;
n
X
i=1
x2i = 601,66
n
X
i=1
yi2= 640,8
n
X
i=1
xi = 240,22
n
X
i=1
yi= 245,66.
Quel restaurant choisira un amateur de pizza avec olives ? On indiquera clairement le mod`ele statistique utilis´e.
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