PROBL`EME1 DEVOIRMAISONn 9

DEVOIR MAISON n

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PROBL`

EME 1

On se propose ici d’´etudier certaines propri´et´es des matrices antisym´etriques r´eelles. Apr`es avoir ´etudi´e un exemple en dimension 2, on utilise les matrices antisym´etriques pour param´etrer un sous-ensemble de matrices orthogonales.

Notations

R d´esigne l’ensemble des r´eels et MnpRq l’ensemble des matrices carr´ees d’ordre n `a coefficients r´eels.

On note Inla matrice identit´e d’ordre n.

Pour tout entier n¡ 0, on d´esigne par AnpRq l’ensemble des matrices antisym´etriques r´eelles de taille n et

par OnpRq celui de matrices r´eelles orthogonales de taille n. Le groupe sp´ecial orthogonal est constitu´e des

matrices orthogonales de d´eterminant 1.

Partie I - Un exemple en dimension 2

1. Soit t un r´eel et soit A 

0 t
t 0

.

D´eterminer les valeurs propres complexes de A.

2. Calculer R pI2 AqpI2
Aq
1 et montrer que R est une matrice du groupe sp´ecial orthogonal.

3. Pour tout r´eel θP RzπZ, on note Rθ

 cospθq
sinpθq sinpθq cospθq . Calculer M  pI2 Rθq
1pI2
Rθq.

Partie II - Matrices antisym´etriques et matrices orthogonales

Dans ce qui suit, n d´esigne un entier ¡ 0. 4. Soient B, CP MnpRq.

Montrer que si C est inversible et BC CB, alors BC
1 C
1B.

5. Soit AP MnpRq une matrice antisym´etrique. Soit λ une valeur propre complexe de A et X P Cn un

vecteur propre associ´e. En calculant de deux fa¸cons :

t_pAXqX,

montrer que λ est un complexe imaginaire pur (´eventuellement nul).

6. D´eduire de la question pr´ec´edente que si A est antisym´etrique r´eelle, alors In A est inversible et :

pIn
AqpIn Aq
1  pIn Aq
1pIn
Aq

Montrer que R pIn Aq
1pIn
Aq est une matrice orthogonale.

7. Calculer le d´eterminant de R.

8. Soit R une matrice orthogonale telle que In R soit inversible.

D´emontrer que la matrice A pIn Rq
1pIn
Rq est antisym´etrique.

9. On suppose ici que n 3 et que R3_{est muni de sa structure euclidienne orient´ee par la base canonique.}

Soit r une rotation d’angle θ Ps
π, πr autour d’un axe orient´e par un vecteur u de norme 1 et soit RP O3pRq sa matrice dans la base canonique.

Montrer qu’il existe une matrice antisym´etrique AP M3pRq telle que :

R pI3 Aq
1pI3
Aq

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PROBL`

EME 2

Soit m¥ 2 un entier naturel et E un R-espace vectoriel de dimension 2m 1. Cet espace est muni d’un produit scalaire p.|.q. Soient T, M deux endomorphismes de E v´erifiant les hypoth`eses suivantes :

(H1) T2m 0L_pEq et T2m 1 0L_pEq.

(H2) M2 _{ Id} E.

(H3) @pv, wq P E2, pMpvq|wq  pv|Mpwqq. (H4) T  M M T  0LpEq.

On pose dans la suite

F  kerpM
IdEq, F
 kerpM IdEq

On consid`ere l’application S de E E dans R d´efinie par

@pv, wq P E2_{, Spv, wq  pv|T pwqq pT pvq|wq}

et on note G l’ensemble des ´el´ements uP E v´erifiant les deux propri´et´es suivantes : (a) uP ImpT q,

(b) @v P E, Spu, vq  0.

1. Pour tout vecteur vP E, on pose

v  v Mpvq, v
 v
Mpvq (a) Montrer que@v P E, v P F et v
P F
.

(b) Montrer que E F `KF
.

(c) Montrer que@v P F , T pvq P F
et que @v P F
, Tpvq P F . En d´eduire que F et F
sont stables par T2.

2. Montrer que pour tout kP t0, 1, . . . , 2mu, ImpTk 1q € ImpTkq et ImpTk 1q  ImpTkq. 3. En d´eduire que pour tout k P t0, . . . , 2m 1u, on a

dimpImpTkqq  2m 1
k, dimpkerpTkqq  k 4. En d´eduire aussi que ImpTkq  kerpT2m 1
kq pour 0 ¤ k ¤ 2m 1.

5. Soit k P t1, 2, . . . , 2m 1u et z P ImpTkqKX ImpTk
1q tel que z  0E. Apr`es avoir justifi´e l’existence

d’un tel vecteur z, montrer que T2m 1
kpzq  0E.

6. Montrer que pour tout nombre r´eel α, l’endomorphisme IdE αT2 est bijectif et que

pIdE αT2q
1  m

¸

k0

p
1qk_αk_T2k

o`upIdE αT2q
1 d´esigne l’endomorphisme inverse de IdE αT2.

Les questions ci-apr`es sont facultatives.

7. Montrer que G est un sous-espace vectoriel de E et que GX kerpT q  t0Eu.

8. En d´eduire que l’applicationpv, wq P G  G ÞÑ pT pvq|T pwqq est un produit scalaire sur G. 9. Soit kP N.

(a) Montrer que M Tk p
1qkTk M.

(b) En d´eduire que ImpTkq et kerpTkq sont stables par M.

10. Montrer que l’une des deux assertions suivantes est vraie :piq kerpT q € F , piiq kerpT q € F
.

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11. On suppose ici que kerpT q € F .

(a) Montrer que@z P F
, T2mpzq  0E.

(b) Montrer que ImpT qK€ F et que ImpT2qKX ImpT q € F
.

(c) Soit zP ImpT qK avec z 0E. Montrer que Tpzq P GK et que Tpzq  0E.

(d) Soit zP ImpT2qKX ImpT q avec z  0E. Montrer que Tpzq P GK et que Tpzq  0E.

12. On dit d´esormais qu’un couplepw1, w2q P E  E est une paire caract´erisante de G si w1 et w2 v´erifient

les trois propri´et´es :

(A) w1 P F , T pw1q P GK et Tpw1q  0E,

(B) w2 P F
, Tpw2q P GK et Tpw2q  0E,

(C) wi P ImpT2qK pour i 1 et i  2.

D´eduire des questions pr´ec´edentes l’existence d’une paire caract´erisante de G. 13. En d´eduire que dimpGq ¤ 2m
2.

14. On suppose que G v´erifie l’hypoth`ese suivantes

(H5) dimpGq  2m
2

Montrer que sipw1, w2q est une paire caract´erisante de G alors pT pw1q, T pw2qq constitue une base de

GKX ImpT q.