DEVOIR MAISON n
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Pour Jeudi 26 Mars 2020PROBL`
EME 1
- Un sous-ensemble de matrices orthogonales Pr´esentation g´en´eraleOn se propose ici d’´etudier certaines propri´et´es des matrices antisym´etriques r´eelles. Apr`es avoir ´etudi´e un exemple en dimension 2, on utilise les matrices antisym´etriques pour param´etrer un sous-ensemble de matrices orthogonales.
Notations
R d´esigne l’ensemble des r´eels et MnpRq l’ensemble des matrices carr´ees d’ordre n `a coefficients r´eels.
On note Inla matrice identit´e d’ordre n.
Pour tout entier n¡ 0, on d´esigne par AnpRq l’ensemble des matrices antisym´etriques r´eelles de taille n et
par OnpRq celui de matrices r´eelles orthogonales de taille n. Le groupe sp´ecial orthogonal est constitu´e des
matrices orthogonales de d´eterminant 1.
Partie I - Un exemple en dimension 2
1. Soit t un r´eel et soit A
0 t t 0
.
D´eterminer les valeurs propres complexes de A.
2. Calculer R pI2 AqpI2 Aq1 et montrer que R est une matrice du groupe sp´ecial orthogonal.
3. Pour tout r´eel θP RzπZ, on note Rθ
cospθq sinpθq sinpθq cospθq . Calculer M pI2 Rθq1pI2 Rθq.
Partie II - Matrices antisym´etriques et matrices orthogonales
Dans ce qui suit, n d´esigne un entier ¡ 0. 4. Soient B, CP MnpRq.
Montrer que si C est inversible et BC CB, alors BC1 C1B.
5. Soit AP MnpRq une matrice antisym´etrique. Soit λ une valeur propre complexe de A et X P Cn un
vecteur propre associ´e. En calculant de deux fa¸cons :
tpAXqX,
montrer que λ est un complexe imaginaire pur (´eventuellement nul).
6. D´eduire de la question pr´ec´edente que si A est antisym´etrique r´eelle, alors In A est inversible et :
pIn AqpIn Aq1 pIn Aq1pIn Aq
Montrer que R pIn Aq1pIn Aq est une matrice orthogonale.
7. Calculer le d´eterminant de R.
8. Soit R une matrice orthogonale telle que In R soit inversible.
D´emontrer que la matrice A pIn Rq1pIn Rq est antisym´etrique.
9. On suppose ici que n 3 et que R3est muni de sa structure euclidienne orient´ee par la base canonique.
Soit r une rotation d’angle θ Ps π, πr autour d’un axe orient´e par un vecteur u de norme 1 et soit RP O3pRq sa matrice dans la base canonique.
Montrer qu’il existe une matrice antisym´etrique AP M3pRq telle que :
R pI3 Aq1pI3 Aq
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Pour Jeudi 26 Mars 2020PROBL`
EME 2
- Etude d’une famille d’endomorphismes´Soit m¥ 2 un entier naturel et E un R-espace vectoriel de dimension 2m 1. Cet espace est muni d’un produit scalaire p.|.q. Soient T, M deux endomorphismes de E v´erifiant les hypoth`eses suivantes :
(H1) T2m 0LpEq et T2m 1 0LpEq.
(H2) M2 Id E.
(H3) @pv, wq P E2, pMpvq|wq pv|Mpwqq. (H4) T M M T 0LpEq.
On pose dans la suite
F kerpM IdEq, F kerpM IdEq
On consid`ere l’application S de E E dans R d´efinie par
@pv, wq P E2, Spv, wq pv|T pwqq pT pvq|wq
et on note G l’ensemble des ´el´ements uP E v´erifiant les deux propri´et´es suivantes : (a) uP ImpT q,
(b) @v P E, Spu, vq 0.
1. Pour tout vecteur vP E, on pose
v v Mpvq, v v Mpvq (a) Montrer que@v P E, v P F et v P F.
(b) Montrer que E F `KF.
(c) Montrer que@v P F , T pvq P F et que @v P F, Tpvq P F . En d´eduire que F et F sont stables par T2.
2. Montrer que pour tout kP t0, 1, . . . , 2mu, ImpTk 1q ImpTkq et ImpTk 1q ImpTkq. 3. En d´eduire que pour tout k P t0, . . . , 2m 1u, on a
dimpImpTkqq 2m 1 k, dimpkerpTkqq k 4. En d´eduire aussi que ImpTkq kerpT2m 1kq pour 0 ¤ k ¤ 2m 1.
5. Soit k P t1, 2, . . . , 2m 1u et z P ImpTkqKX ImpTk1q tel que z 0E. Apr`es avoir justifi´e l’existence
d’un tel vecteur z, montrer que T2m 1kpzq 0E.
6. Montrer que pour tout nombre r´eel α, l’endomorphisme IdE αT2 est bijectif et que
pIdE αT2q1 m
¸
k0
p1qkαkT2k
o`upIdE αT2q1 d´esigne l’endomorphisme inverse de IdE αT2.
Les questions ci-apr`es sont facultatives.
7. Montrer que G est un sous-espace vectoriel de E et que GX kerpT q t0Eu.
8. En d´eduire que l’applicationpv, wq P G G ÞÑ pT pvq|T pwqq est un produit scalaire sur G. 9. Soit kP N.
(a) Montrer que M Tk p1qkTk M.
(b) En d´eduire que ImpTkq et kerpTkq sont stables par M.
10. Montrer que l’une des deux assertions suivantes est vraie :piq kerpT q F , piiq kerpT q F.
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Pour Jeudi 26 Mars 202011. On suppose ici que kerpT q F .
(a) Montrer que@z P F, T2mpzq 0E.
(b) Montrer que ImpT qK F et que ImpT2qKX ImpT q F.
(c) Soit zP ImpT qK avec z 0E. Montrer que Tpzq P GK et que Tpzq 0E.
(d) Soit zP ImpT2qKX ImpT q avec z 0E. Montrer que Tpzq P GK et que Tpzq 0E.
12. On dit d´esormais qu’un couplepw1, w2q P E E est une paire caract´erisante de G si w1 et w2 v´erifient
les trois propri´et´es :
(A) w1 P F , T pw1q P GK et Tpw1q 0E,
(B) w2 P F, Tpw2q P GK et Tpw2q 0E,
(C) wi P ImpT2qK pour i 1 et i 2.
D´eduire des questions pr´ec´edentes l’existence d’une paire caract´erisante de G. 13. En d´eduire que dimpGq ¤ 2m 2.
14. On suppose que G v´erifie l’hypoth`ese suivantes
(H5) dimpGq 2m 2
Montrer que sipw1, w2q est une paire caract´erisante de G alors pT pw1q, T pw2qq constitue une base de
GKX ImpT q.
