Introduction aux corps finis et aux sommes de Gauss et de Jacobi

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Introduction aux corps finis et aux sommes de Gauss et de Jacobi

Jean-Pierre Cherdieu

To cite this version:

Jean-Pierre Cherdieu. Introduction aux corps finis et aux sommes de Gauss et de Jacobi. 3rd cycle. La Havane (Cuba), 2000, pp.18. �cel-00374738�

Introduction aux corps nis et aux sommes de

Gauss et de Jacobi

Ecole du CIMPA-UNSA-ICTP-UNESCO-ICIMAF,

Algebraic Geometry and its Applications

to Cryptography and Error Correcting Codes

La Havane (Cuba),20 Novembre 2000 - 01 D ecembre 2000

Jean-Pierre Cherdieu.

Departement de Mathematiques et Informatique. Universite des Antilles et de la Guyane. Campus de Fouillole, F97159 Pointe-a-Pitre CEDEX. e-mail : jpcherdi@univ-ag.fr

TABLE DES MATI 

ERES 2

Table des matieres

1 Quelques rappels en theorie des corps

3

2 Proprietes des corps nis

3

2.1 les sous-corps deFq . . . 5

3 Construction des corps nis

5

4 Automorphisme de Frobenius, Norme et Trace

6

4.1 Groupe de Galois d'une extension nie, Trace et Norme . . . . 6

5 Les sommes exponentielles

7

5.1 Caracteres additifs et multiplicatifs d'un corps ni . . . 7

5.1.1 les carateres additifs deFq . . . 8

5.1.2 les carateres multiplicatifs de Fq . . . 8

5.2 la relation d'orthogonalite . . . 9

6 les sommes de Gauss

9

6.1 Denition et premieres proprietes . . . 9

7 les sommes de Jacobi

10

7.1 Denition et premieres proprietes . . . 10

7.2 le theoreme de Stickelberger . . . 12

7.2.1 le symbole de residu m-ique . . . 12

7.2.2 Quand l'anneau Z] est principal . . . 14

8 Applications des sommes exponentielles

15

8.1 Avec les caracteres additifs . . . 15

8.2 Avec les caracteres multiplcatifs . . . 15

8.2.1 Nombrede solutions de l'equation1x k;1 1 +:::+nx kn n =  dans Fnq . . . 15

1 QUELQUES RAPPELS EN TH 

EORIE DES CORPS 3

1 Quelques rappels en theorie des corps

Soient (K+ ) un corps et k un sous-ensemble de K. Si (k+ ) est lui aussi un corps, on dira que K est une extension de k, et on note K=k. On dit aussi que k est un sous-corps de K. Si le seul sous-corps de K est K lui-m^eme, on dira que K est un corpssimple.

Comme l'intersection de deux sous-corps de K est encore un sous-corps de K, on en deduit que l'intersection de tous les sous-corps de K est encore un sous-corps de K (le plus petit) et on l'appelera le sous-corps premier de K. Ce sous-corps premier est bien sur un corps simple. On etablit alors que :

Theoreme 1.1

Les seuls corps simples sont Q et les Fp =GF(p) = Z=pZ,

avec p premier.

Les corps dont le sous-corps premier est Q sont dits de carateristique 0, et

ceux dont le sous-corps est Fp de caracteristique p.

Si  2 K et  62 k, le sous- corps de K engendre par k et  est k( = ff()=g()jfg 2 kX]g()6= 0g. On dit quek() est une extension simple

ou monogene de k. En particuliersi  est racine d'un polyn^ome irreductible a coecients dans k, on dit que k() est une extension algebrique de k. Ce corpsk() est uncorps de rupture pourg, mais toute les racines de g ne sont pas necessairement dansk(). Si l'on veut une extension minimalecontenant toutes les racines de g, on introduit la notion de corps de decomposition de g sur k 

Denition 1.1

Soient K une extension de k, g(X) 2 kX] et deg(g) = n.

On dit que K est un corps de decomposition de g sur k si : 1. 9a2K et 

1:::n

2K tels que g(x) = a(X ;

1):::(X

;n),

2. K = k(1:::n).

Pour un g(X) donne, un tel corps existe toujours  De plus deux corps de decompositions pourg sont isomorphes Ainsi on parlera du corps de decom-position de g (a isomorphisme pres).

2 Proprietes des corps nis

Concentrons nous maintenant sur les corps nis, c'est a dire ceux qui ont un nombre ni d'elements. Notons tout d'abord que , selon un theoreme de Wedderburn,

tout corps ni est commutatif

. On a alors :

2 PROPRI  ET



ESDES CORPS FINIS 4

Proposition 2.1

Soit K un corp ni aq elements, alorsq = pn _{ou pest un}

nombre premier et n2N.

Preuve :

CommeK est un corps ni, il a comme caracteristique un nombre premier p. Notons Fp ce sous-corps premier de K. Ce dernier peut etre

vu comme un Fp;espace vectoriel de dimension nie n. Ainsi tout element

v2K s'ecrit de maniere unique

v = 1v1+::: + nvn

ou les (vi)i forment une base deK et les (i)i sont dans K. Donc #K = pn_:

Cette proposition, si elle donne la taille des corps nis, n'en prouve pas pour autant l'existence. De m^eme elle ne dit pas s'il existe plusieurs types de corps nis a q elements. C'est le but de la proposition suivante.

Theoreme 2.1

Pour tout nombre premier p et tout entier n 2 N, il existe

un unique corps ni a q = pn _{elements, c'est le corps de decomposition de} Xq;X.

Preuve :

Prouvons tout d'abord l'existence d'un tel corps. SoitF le corps de decomposition de Xq;X sur Fp et S = f 2F j q =g. on a, d'une

part S F.

D'autre part, puisque (ij)q _{= }q_iq_{j et (i +j)}q _{= }q_{i + }q_{j, on peut} deduire que S est un corps. Comme F est le plus petit corps sur lequel P(X) = Xq;X se factorise, on en deduit que F = S.

De plus commeP0(X) =

;16= 0, les racines de P(X) sont toutes distinctes.

On a alors Card(F) = Card(S) = q.

L'unicite, quant a elle, est une consequence directe de l'unicite du corps de decomposition d'un polyn^ome.

Pour bien decrire le corps ni a q elements le resultat suivant est important.

Theoreme 2.2

Le groupeF 

q est cyclique.

Preuve :

Sir est l'annulateur de F 

q 1 alors xr = 1 pour tout x 2 F



q. On en deduit queF



q est un sous-groupe du groupe cyclique des racinesr;iemes

de l'unite, donc cyclique lui-m^eme.

1L'annulateur de F



q est le plus petit entier

rtel quex r = 1.

3 CONSTRUCTION DES CORPSFINIS 5

Un element generateur de F 

q s'appelle un element primitif deFq.

Exemple :

Le corps F 4 = f01 2 g avec  2+ + 1 = 0.

2.1 les sous-corps de

F q

Pour les trouver on utilise le resultat suivant :

Lemme 2.1

Soient m et n deux entiers positifs. Alors

(Xm ;1)j(X n ;1)()mjn:

Preuve :

Si n = bm + r, alors, Xn ;1 = X r b;1 X i=0 Xim ! (Xm ;1) +X r ;1:

il s'ensuit que (Xm;1)j(Xn;1) ssi Xr;1 = 0 i.e. r = 0. Autrement dit

ssi mjn.

Consequence :

Theoreme 2.3

Le corps Fpm est un sous-corps de Fpn si et seulement si

mjn.

3 Construction des corps nis

Le theoreme clef pour la construction d'un corps ni a q = pn _{elements est} le suivant :

Theoreme 3.1

Soit  2 F=K et soit g le polyn^ome minimal de  sur K.

Alors :

1. K() est isomorphe a KX]=(g). 2. Une base de K()sur K est f1

2::: deg(g);1 g .

Exemple :

On prend g(x) = x2+x + 1. C'est un polyn^ome unitaire et

irreductible sur F

2. On note  une de ses racines et on a : F

2() F

2X]=(g)

et f1gest une base de F 2(). On a F 4 = F 2() = f01 + 1 =  2 g:

4 AUTOMORPHISMEDE FROBENIUS,NORMEET TRACE 6

4 Automorphisme de Frobenius, Norme et

Trace

4.1 Groupe de Galois d'une extension nie, Trace et

Norme

La theorie de Galois pour les corps nis donne le resultat suivant :

Proposition 4.1

Le groupe de GaloisG = Gal(Fqs=Fq)de l'extensionFqs=Fq

est cyclique et d'ordre s. Il est engendre par

l'endomorphisme de

Fro-benius

de Fq, note F, de ni par F(x) = xq. De plus il est isomorphe a Z=sZ.

Remarque :

L'homomorphisme de Frobenius est en fait un automorphisme. Les conjugues de x sont les xqj _{pour j = 1::: s}

;1. On denit alors

l'application Trace, TrFqs=Fq :

Fqs ;! Fq et l'application Norme, N

Fqs=Fq : Fqs ;!Fq d'un element de Fqs en posant :

TrFqs=Fq(x) = x + x q_{+::: + x}qs;1  et NFqs=Fq(x) = x:x q_:::::xqs;1 :

Les principales proprietes de ces deux applications sont enumerees dans les propositions qui suivent.

Proposition 4.2

Soient x et y deux elements de Fqs et c2Fq, alors :

1. TrFqs=Fq(x) 2Fq. 2. TrFqs=Fq(x + y) = TrFqs=Fq(x) + TrFqs=Fq(y). 3. TrFqs=Fq(cx) = cTrFqs=Fq(x).

Proposition 4.3

L'application TrFqs=Fq : Fqs ;!Fq est surjective, et TrFqs=Fq(x) = 0 ()9y2Fqs tel que x = yq;y:

Enn, si r, s sont deux entiers, tels que rjs( Il s'en suit queFpr  Fps), on

a :

TrFqs=Fq =TrFqr=Fq Tr

Fqs=Fqr:

5 LES SOMMES EXPONENTIELLES 7

Proposition 4.4

Soient x et y deux elements de Fqs et c2Fq, alors :

1. NFqs=Fq(x) 2Fq. 2. NFqs=Fq(xy) = NFqs=Fq(x):NFqs=Fq(y). 3. NFqs=Fq(cx) = c s_N Fqs=Fq(x).

Theoreme 4.1

(Theoreme 90 de Hilbert) L'applicationNFqs=Fq : F  qs ;!F  q est surjective, et NFqs=Fq(x) = 1 ()9y2F  qs tel que x = yq;1:

Si r, s sont deux entiers, tels que rjs on a :

NFqs=Fq =NFqr=Fq N

Fqs=Fqr:

5 Les sommes exponentielles

5.1 Caracteres additifs et multiplicatifs d'un corps ni

Soient (G:) un groupe, et U l'ensemble des nombres complexes de module

1. On appelle caractere de G tout homomorphisme f de G dans U. En

particulier

 si (G:) = (Fq+), les caracteres verient (x + y) = (x)(y), on les

appelle les caracteres additifs deFq.  Si (G:) = (F



q:), les caracteres verient (xy) = (x) (y) et sont appelles les caracteres multiplicatifs deF



q.

L'ensemble des caracteres deG se note G. Si on le munit de la multiplicationb

( (1:2)(x) = 1(x):2(x)) il forme un groupe, appele dual de G dont

l'element neutre est le caractere trivial " denit par "(x) = 18x 2 G, et

l'inverse de  est ;1(x) = (x). En particulier dans le cas de

Fq, pour

les caracteres additifs ;1(x) = (

;x), et pour les caracteres multiplicatifs

5 LES SOMMES EXPONENTIELLES 8

5.1.1 les carateres additifs de

Fq

En fait on sait decrire tous les caracteres additifs deFq. Il est facile de verier

que l'application (x) = exp 2iTr

Fq=Fp (x)

p



est un caractere additif de Fq.

On a

Proposition 5.1

(cf. 7] pro. 1 p.37) Soit un caractere additif non trivial et, pour tout x et tout y dans Fq posons

y(x) = (yx):

Alors l'application y ;! y est un isomorphisme de k sur le groupe des

caracteres additifs.

Preuve :

Il sut de montrer que cette application est injective. Mais si y1 6 =y2 le caractere y 1y ;1 2 6

=". Donc il existe x 2 Fq telquey 1y

;1 2 (x)

6

= 1.

Remarque :

La proposition precedente dit que les caracteres additifs de

Fqs sont de la forme : (s) y (x) = exp  2iTrFqs=Fp(yx) p  : Mais vu que TrFqs=Fp =TrFq=Fp Tr Fqs=Fq on a, (s) = Tr Fqs=Fq:

5.1.2 les carateres multiplicatifs de

Fq

Soit g est un element generateur du groupe multiplicatifF 

q, alors pour tout x2F



q il existe k2N tel quex = gk. On pose alors

(x) = exp  2i k_q ;1  :

C'est un caratere multiplicatif d'ordre q;1. L'application h ;! h est un

isomorphisme de Z=(q;1)Zsur le groupe des carateres multiplicatifs deFq.

Remarque :

On obtient des caracteres multiplicatifs de Fqs en posant :

(s) = N

6 LES SOMMES DE GAUSS 9

5.2 la relation d'orthogonalite

Pour calculer avec les caracteres d'un groupe, l'on dispose de la relation suivante.

Theoreme 5.1

Soit  un caractere du groupe G, alors : 1. X x2G (x) =  0 si 6=", card(G) si  =  2. X 2 b G(x) =  0 si x6= 0, card(G)b si x = 0.

6 les sommes de Gauss

6.1 Denition et premieres proprietes

Dans cette partie  designera un caractere additif de Fq et un caractere

multiplicatif. On suit ici l'expose de Joly 7]. On rappelle que est deni sur F



q. On convient de l'etendre aFq tout entier en posant (0) = 1 si est

le caractere trivial et (0) = 0 sinon. On pose alors :

Denition 6.1

La somme de Gauss, notee G( ), associee a  et a est la quantite

G( ) = X

x2Fq

(x) (x):

Il n'y a pas de formule generale donnant la valeur d'une somme de Gauss. On dispose cependant de certaines informations.

1. Si est trivial, mais non , on a :G( ) =;1:

2. Si  est trivial, mais non , on a :G( ) = 0: 3. Si  et sont triviaux, alors G( ) = q;1:

7 LES SOMMES DE JACOBI 10

Proposition 6.1

Si 6=", G( )G( ) = q (;1): On a aussi,

Proposition 6.2

Si 6=", alors jG( )j= p q.

7 les sommes de Jacobi

7.1 Denition et premieres proprietes

Dans cette partie on ne presentera que les sommes de Jacobi a deux carac-teres. Pour une generalisation a plusieurs caracteres on consultera cf. 6], 7] ou encore 11] et 1]. On note X=X(F



q) le groupe des caracteres multipli-catifs de F



q.

Denition 7.1

La somme de Jacobi associee au couple (  )2Xest

j(  ) = X

x+y=1

(x) (y)

ou x et y sont dans F 

q. L'ordre de la somme de Jacobi est le ppcm des

ordres de et . Une somme de Jacobi d'ordre m est un entier du corps cyclotomique Q(m) avec m = exp(2i=m).

La determination des sommes de Jacobi est aussi un probleme ouvert. Pour un etat de l'art on consultera le livre de Berndt, Evans et Williams, la "bible " en la matiere, cf. 1]. Toutefois on dispose des resultats suivants :

1. Si et sont triviaux alors j(  ) = q. 2. Si =  et 6=, alors j(  ) = 0.

3. Si et sont non triviaux , mais que l'est, alors j(  ) =; (;1):

Proposition 7.1

Si n'est pas trivial, alors 1.

7 LES SOMMES DE JACOBI 11

2. Si de plus , , ne sont pas triviaux,

jj(  )j=q 1 2:

Remarque :

Cette deuxieme egalite n'est autre qu'un systeme d'equations Diophantiennes dont les inconnues sont les coordonnees de j(  ) dans une base deZppcm

(ord()ord()]. D'autres indications sur ces coecients nous sont

donnees par les theoremes suivants :

Theoreme 7.1

Soient 1 et 2 deux caracteres multiplicatifs d'ordre

respec-tifs k1 et k2 (k1

6

=k2), et soit j = exp(2i=kj), alors

j( 1 2)

;q mod (1; 1)(1

; 2):

Preuve :

On a d'une part

A : = X u+v=1 (1; 1(u))(1 ; 2(v)) 0 mod (1; 1)(1 ; 2) et d'autre part A : = X u+v=1 1; X u+v=1 1(u) ; X u+v=1 2(v)+ X u+v=1 1(u) 2(v) = q+ X u+v=1 1(u) 2(v):

Theoreme 7.2

Soient 1 et 2 deux caracteres multiplicatifs d'ordre k > 2

et k = exp(2i=k), alors

j( 1 2)

;1 mod (1;) 2:

Remarque :

Si k est un nombre premier superieur a 3 l'exposant 2 est remplace par 3 cf. 4] et 5].

On a aussi souvent besoin de la decomposition en produit d'ideaux premiers de l'ideal engendre par j( 1 2). C'est le but du theoreme de stickelberger.

7 LES SOMMES DE JACOBI 12

7.2 le theoreme de Stickelberger

7.2.1 le symbole de residu

m

-ique

Soient m un entier positif et Qm] lem-ieme corps cyclotomique. on a :

Theoreme 7.3

Soit p un nombre premier p6 jm. Soit f le plus petit entier

tel que pf 1 modm, alors

(p) =p 1:::

pg

avec g = '(m)=f (' est la fonction d'Euler).

Preuve :

on consultera 6] p.196.

Remarque :

Pour une approche algorithmique de la determination de pon

consultera le livre de H. Cohen cf. 2] p. 193. Si vous disposez de Maple taper :

Factor(f(x)) mod p

ou f(x) est le polyn^ome qui denit l'extensionQm]=Q.

Sipun ideal premier deZm] au dessus dep et ne contenant pas m. On sait

que Zm]=p est un corps (puique Zm] est un anneau de Dedekin), et on a

N(p) = #(Zm]=p) =q = p

f_: L'entierf s'appelle le degre dep.

Exemple :

Si l'on prend m = 10 et p = 11, alors f(x) = 10(x) le 10-ieme

polyn^ome cyclotomique, p 1 mod 10 et f = 1. Dans Z

10] on a alors la decomposition suivante : (11) =p 1 p 2 p 3 p 4 ou p 1 = (1110+ 4) p 2 = (1110+ 3) p 3 = (1110+ 5) p 4 = (1110+ 9): De plus Z 10]= p F 11.

Proposition 7.2

Soient p un nombre premier tel que p 6 jm, et p un ideal

premier de Zm] au dessus de p. Alors 1 m  2

m:::  m;1

m , sont tous

7 LES SOMMES DE JACOBI 13

Preuve :

On a xm ;1 = m;1 Y i=0 (x;im) et donc 1 +x + ::: + xm;1 = m;1 Y i=1 (x;im):

Si l'on fait x = 1 dans la derniere egalite on obtient successivement m =

Qm ;1 i=0 (1 ;im), et m Qm ;1 i=0 (1

;im), ou T represente la classe de T dans Zm]=p. Commep6jm alors m6= 0 et donc im 6= 1 pour tout 1im;1

.

Proposition 7.3

Soit  2 Zm] et  62 p. Il existe un unique entier i tel

que

(q;1)=m

im mod p:

Preuve :

Le groupe multiplicatif deZm]=paq;1 elements doncq ;1 1 mod p. Donc m;1 Y i=1 ((q;1)=m ;im)0 mod p:

Maispest un ideal premier, d'ou l'existence. L'unicite vient de la proposition

precedente.

Denition 7.2

Soit 2 Zm] et  62p, on de nit   p  m =  0 si 2p,

l'unique racine m-ieme de l'unite 

(q;1)=m mod

p sinon.

Soit x un element de Fq, et notons encore x son image de x dansZm]=p. il

existe X 2 Zm] tel que x soit la classe de X dans Zm]=p. On denit p en posant : p(x) : =  X p  m x q;1 m mod p:

C'est un caractere multiplicatif de k =Fq et un generateur du groupe X= X(k

). On l' appelle symbole de residu m-ique par rapport a p.

7 LES SOMMES DE JACOBI 14

Exemple :

Si l'on prend m = 3 et p = 7 dans Z

3] (3 =j), on a : (7) =p 1 p 2 avec, p 1 = 7 Z 3] + (3+ 5) Z 3] et p 2 = 7 Z 3] + (3+ 3) Z 3]. Alors,  2 p 1  3 4 mod p 1: Mais comme 4; 2 3 = 4 ;(; 3 ;1) = 5+ 3 0 mod p 1, on en deduit alors que :  2 p 1  3 =2 3:

Si a et b sont deux entiers naturels, on pose : jp( a p b p) = X x+y=1 a p(x) b p(y):

On a alors le resultat suivant.

Proposition 7.4

(

Relation de Stickelberger

cf. 10] thm. IV.11, p.98) Soient p un nombre premier tel que p  1 mod m, et pjp. Si a et b sont

deux entiers naturels tels que ab(a + b)60 modp, alors, ; jp( a p b p) =p (ab)  ou (ab) = X n2(Z=mZ)   (a + b)n m  ; h an m i ; bn m  ;1 j (n)

(ou j designe l'application qui a j 2(Z=mZ)

 associe jm dans le groupe des

racines m-ieme de l'unite).

On trouvera un exemple d'application de ces theoremes dans 9].

7.2.2 Quand l'anneau

Z]

est principal

Si l'anneauZ] est principal et si l'on note  un generateur dep, le theoreme

precedent se reecrit : ; jp( a p b p) = ()(ab):

8 APPLICATIONS DES SOMMES EXPONENTIELLES 15

Lemme 7.1

Si tous les conjuges algebriques d'un entier algebrique  sur Q

sont de module 1, alors  est une racine de l'unite.

Et aussi,

Lemme 7.2

(cf. 1] p.64 thm. 2.1.13) Soit K =Q(), ou  = exp(2i=k).

Les seuls elements de norme 1dans OK, l'anneau des entiers de K, sont les

j, 0 j < k. En particulier les seules racines de l'unite dans OK sont les j.

Ce qui, pour les sommes de Jacobi, entraine qu'il existe une racine de l'unite

jm telle que : jp( a p b p) = jm (ab):

On consultera Berndt, Evans et Williams cf.1] p.65, voir aussi Koblitz et Buhler cf.8].

8 Applications des sommes exponentielles

8.1 Avec les caracteres additifs

Le resultat suivant est tres utilise cf. 7] p.38 prop. 3.

Proposition 8.1

Soit F un polyn^ome a coecients dans k = Fq. Si 

designe un caractere additif non trivial de k, le nombre N de solutions dans

k de l'equation F = 0 est donne par :

N = q;1 X

yx (yF(x

1::: xn))

la sommation portant sur tous les (yx1::: xn) 2kn

+1.

8.2 Avec les caracteres multiplicatifs

8.2.1 Nombre de solutions de l'equation

1x

k;1 1 +::: + nx kn n = 

dans

F n q

C'est une application des plus classiques. On consultera par exemple cf. 1] ch.10 ou 7] chapitres 4,5 et 6 et aussi cf 13] et 14]. Etablissons tout d'abord le resultat suivant :

8 APPLICATIONS DES SOMMES EXPONENTIELLES 16

Proposition 8.2

Soit a 2Fq et n 2N. Soit un caractere multiplicatif de Fq et d'ordred = (nq;1), alors le nombre de solutions dansFqde l'equation

xn _{=a est :} N(xn _{=a) =} d;1 X j=0 j_(a): On etablit que

Theoreme 8.1

(cf. 1] p.304 thm. 10.4.2) Soient k1k2:::kn des entiers

naturels. soient 1:::n des elements de F



q et i des caracteres

multiplica-tifs d'ordre di = (kiq;1). Si l'on pose

j( j1 1 ::: jn n ) = X u1+:::+un=1 j1 1 (u 1)::: jn n (un)

ou ui 2Fq, alors le nombre de solutions de l'equation  1x k1 1 +:::+nx kn n = est : N = qn;1+ d1;1 X j1 =1 :::dn;1 X jn=1 1( ;1 1 )::: n( ;1 n )j( j1 1 ::: jn n) si 6= 0.

Preuve :

La demonstration est classique cf. 13] ou 1] p.304. Pour  6= 0

on a : N = X u1 +:::+un= =N(1x k1 1 =u 1):::N(nx kn n =un) = X u1 +:::+un= N(xk1 1 = ;1 1 u 1):::N(x kn n =;1 n un) = X u1 +:::+un= d1 ;1 X j1 =0 j1 1 ( ;1 1 u 1) ! ::: dn;1 X jn=0 j_nn(;1 n un) ! =d1 ;1 X j1 =0 :::dn;1 X jn=0 j1 1 ( ;1 1 )::: jn n (;1 n ) X u1 +:::+un= j1 1 (u 1)::: jn n(un) ! =d1;1 X j1 =0 :::dn;1 X jn=0 j1 1 ( ;1 1 )::: jn n(;1 n )j( j1 1 ::: jn n ) =qn;1+ d1 ;1 X j1 =1 :::dn;1 X jn=1 j1 1 ( ;1 1 )::: jn n(;1 n )j( j1 1 ::: jn n ):

R  EF  ERENCES 17

References

1]

BERNDT B. C., EVANS R.J.,WILLIAMS K.S.

Gauss and Ja-cobi Sums.Canadian Math. Society, Series of Monographs and Advanced Texts, Vol. 21, Wiley-Interscience Publication, (1997).

2]

COHEN, H.

A Course in Computational Number Theory. Graduate Texts in Math., vol. 138, Springer, New-York,(1993).

3]

ESCOFIER J-P.,

Theorie de Galois, Collection Enseignement des Ma-thematiques, Masson, Paris, (1997).

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