TP 10. ESTIMATION
Exercice I.
On considère une suite de v.a.(Xk)k∈N∗indépendantes et de même loiB(p), oùp∈[0; 1]. On définit Xn= 1
n
n
X
k=1
Xk, estimateur convergent de l’espérance commune desXk, donc ici dep. 1. Vérifier queXnest sans biais.
2. Dans un programme :
— Créer le vecteur des indices t= (1; 2; 3;...;n), oùnaura été renseigné au préalable.
— Créer l’échantillon x= (X1;X2;X3;...;Xn). On utilisera la commande habituellegrand.
— En déduire le vecteur y= (X1;X2;X3;...;Xn), en utilisant le vecteur des indices, et la commandecumsum.
— Afficher le graphe deyen fonction det, pour observer la convergence deXnversp.
— Compléter le graphe en faisant apparaitre les intervalles de confiances
Xn− 1
√n;Xn+ 1
√n
, de niveau95%.
Exercice II.
On considère un échantillon(X1;X2;X3;...;Xn)de la loi uniforme sur[0, θ], avecθ >0inconnu.
1. Montrer que Yn= 2 n
n
X
k=1
Xk est un estimateur sans biais et convergent deθ. 2. Montrer que Zn= n+ 1
n max(X1, X2, ..., Xn) est un estimateur sans biais et convergent deθ.
3. Simuler1000fois chacun de ces deux estimateurs, et comparer leurs performances pour une valeur de θ et une valeur denentrées par l’utilisateur.
4. Confirmer cette impression en comparant les risques quadratiques deYnetZn.
Exercice III.
(méthode de Monte-Carlo vs méthode des rectangles) On considère l’intégrale I=Z 1
0
dt 1 +t3.
1. Déterminer une valeur approchée de Ià l’aide de la méthode de Monte-Carlo, basée sur un échantillon de taille 1000, ainsi qu’un intervalle de confiance associé.
2. La méthode des rectangles permets aussi de calculer une valeur approchée deI.
On rappelle que si Sn= 1 n
n−1
X
k=0
f k
n
, alors Z 1
0
f(t)dt= lim
n→+∞Sn, avec |I−Sn| ≤ max|f0| 2n . Déterminer une valeur approchée deI, ainsi qu’un majorant de l’erreur, en prenant là aussin= 1000.
3. Comparer les deux méthodes.
Exercice IV.
(inégalité de Bienaymé-Tchebychev vs théorème central limite) SoitXune variable aléatoire suivant la loiB(p), oùp∈[0; 1]est supposé inconnu.On pose Xn= 1 n
n
X
k=1
Xk, où(X1, X2, ..., Xn)est un échantillon de la loi deX.
1. Montrer que
Xn− 1 2√
nα, Xn+ 1 2√
nα
est un intervalle de confiance depau niveau de confiance1−α.
2. En posant Φ(tα) = 1− α
2, montrer que
Xn− tα
2√
n, Xn+ tα
2√ n
est un intervalle de confiance pour pau niveau de confiance1−α.
3. Simuler100échantillons de taille n = 500, construire les100 intervalles de confiance obtenus avec l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, et déterminer la proportion d’intervalles contenantp.
4. Simuler 100échantillons de taille n = 500, construire les100 intervalles de confiance obtenus avec le théorème central limite, et déterminer la proportion d’intervalles contenantp.
(Pour calculerΦ−1(β), on utilisera la commandecdfnor(’X’,0,1,beta,1-beta).) 5. Comparer les deux méthodes. Laquelle est la plus précise.
ECE 2 1 / 2 Lycée François Couperin
