LMD LEXIQUE DE TERMINOLOGIE COURS SIMPLIFIES 100 EXERCICES CORRIGES MECANIQUE DU POINT MATERIEL CAHIER

(1)

Maître assistant chargé de cours

CAHIER

De la

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COURS SIMPLIFIES

100 EXERCICES CORRIGES

(Enoncés en arabe et en français)

LEXIQUE DE TERMINOLOGIE

(français-arabe, Arabe-français)

Destiné aux étudiants de première année de l’enseignement supérieur

LMD

Science de la matière et sciences technologiques

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MECANIQUE DU POINT MATERIEL

(2)

Sommaire

Préface... ii

Introduction_Principales branches de la mécanique…... vii

Le programme………... ix

I. RAPPELS MATHEMATIQUES………... 1

I-A. L’ANALYSE DIMENSIONNELLE……….. 1

1. Les unités………... 1

a. Les unités fondamentales………... 1

b. Les unités dérivées………... 1

c. Les unités secondaires………... 1

d. Unité supplémentaire………... 1

e. Les multiples et les sous multiples………... 1

2. Les équations aux dimensions………... 2

a. Définition………... 2

b. Quel est l’intérêt de cette expression ? ………... 2

c. Comment définir

, ,

? ………... 2

d. Généralisation………... 4

EXERCICES 1.1 à 1.6……….………... 5

SOLUTION DES EXERCICES 1.1 à 1.6……… 7

I-B. CALCUL D’INCERTITUDES………... 9

1. La grandeur physique………... 9

2. Notion de mesure………... 9

3. Théorèmes des incertitudes ………... 10

EXERCICES 1.7 à 1.12………... 13

II. RAPPELS SUR LE CALCUL VECTORIEL……… 17

1. Grandeur scalaire………... 17

2. Grandeur vectorielle………... 17

3. Représentation graphique d’un vecteur………... 14

4. Le vecteur unitaire………... 17

5. La somme géométrique des vecteurs………... 17

6. Les composantes d’un vecteur………... 20

7. Le produit scalaire………... 23

8. Le produit vectoriel………... 24

9. Le produit mixte……… 26

10. Moment d’un vecteur par rapport à un point de l’espace……… 26

11. Moment d’un vecteur par rapport à un axe………. 26

12. Gradient, divergence, rotationnel………... 27

13. Le Laplacien………... 29

EXERCICES 2.1 à 2.7………... 31

SOLUTION DES EXERCICES 2.1 à 2.7……….. 33

III. PRINCIPAUX SYSTEMES DE COORDONNEES……….. 36

1. Repères d’inertie galiléens………... 36

2. Principaux référentiels galiléens ………... 36

3. Les coordonnées cartésiennes………... 37

4. Les coordonnées polaires……… 38

5. Les coordonnées cylindriques………... 39

6. Les coordonnées sphériques………... 40

(3)

7. Les coordonnées curvilignes………... 42

EXERCICES 3.1 à 3.7………... 43

SOLUTION DES EXERCICES 3.1 à 3.7………. 45

IV. LA CINEMATIQUE………... 51

A. Les caractéristiques du mouvement………... 51

1. Introduction………... 51

2. Position du mobile………... 51

3. Les équations horaires…...………... 52

4. Le vecteur vitesse………... 53

5. Le vecteur accélération………. 54

EXERCICES 4.1 à 4.6………... 57

B. LE MOUVEMENT RECTILIGNE………... 64

1. Le mouvement rectiligne uniforme………... 64

2. Le mouvement rectiligne uniformément accéléré……… 65

3. Le mouvement rectiligne à accélération variable……….. 66

4. Le mouvement rectiligne sinusoïdal………... 67

EXERCICES 4.8 à 4.13………... 71

C. LE MOUVEMENT PLAN………... 77

1. Etude du mouvement en coordonnées polaires……… 77

2. Les composantes normale et tangentielle de la vitesse et de l’accélération dans le repère de Frenet………. 79 EXERCICES 4.14 à 4.21………... 81

D. LE MOUVEMENT DANS L’ESPACE………... 93

1. Etude du mouvement en coordonnées cylindriques ……… 93

2. Etude du mouvement en coordonnées sphériques……… 95

EXERCICES 4.22 à 4.27………... 99

E. LE MOUVEMENT RELATIF………... 108

1. Changement de repère………... 108

2. Vitesse relative de deux mobiles………... 108

3. Conventions et symboles………... 110

4. Cas du mouvement de rotation………... 115

EXERCICES 4.28 à 4.35………... 120

V. LA DYNAMIQUE………... 138

1. Principe d’inertie galiléen………... 138

2. La quantité de mouvement………... 138

3. Les autres lois de Newton………... 139

4. Notion de force et loi de force………... 140

5. Mouvement d’un projectile dans le champ de gravitation terrestre……….. 141

6. Loi de la gravitation universelle……… 142

7. Forces de liaison ou forces de contact ...……….. 145

8. Forces de frottement……….. 145

9. Les forces élastiques………. 147

10. Les forces d’inertie ou pseudo forces……….. 148

11. Moment d’une force………... 150

12. Le moment cinétique……….. 152

(4)

EXERCICES 5.1 à 5.20……….. 156

VI. TRAVAIL ET ENERGIE……… 195

1. Travail et Puissance……….. 195

2. Energie cinétique………... 198

3. Les force conservatives ou dérivant d’un potentiel………..…. 199

4. Energie potentiel………...……… 200

5. Expression de champ de force conservative à partir de l’énergie potentielle dont il dérive………. 203

6. L’énergie mécanique……… 205

7. Collision de particules……….. 209

8. Discussion des courbes de l’énergie potentielle……… 211

9. Forces non conservatives……….. 213

EXERCICES 6.1 à 6.15……….. 214

LEXIQUE DE TERMINOLOGIE FRANÇAIS-ARABE……….. 239

LEXIQUE DE TERMINOLOGIE ARABE-FRANÇAIS………... 246

ANNEXES 1. Alphabet grec……….……….. 253

2. Gradient, divergence et Laplacien dans différentes coordonnées……….. 254

3. Formules de dérivation……… 257

4. Formules d’intégration……… 259

5. Quelques équations différentielles………. 261

6. Formulaire trigonométrique……….. 263

OUVRAGES………. 265

(5)

A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST

B-I/ CALCUL DES INCERTITUDES

1/ La grandeur physique ( ) :

Une grandeur physique est tout ce qui prend, dans des conditions bien déterminées, une valeur numérique définie qui peut varier (augmenter ou diminuer) si ces conditions elles mêmes varient.

2/ Notion de mesure ( - ./0 1 ) :

De la mesure de toute grandeur physique ne peut résulter qu’une valeur approchée et ce pour les raisons suivantes :

- Les erreurs systématiques : Ce sont celles qu’entraîne l’emploi de méthodes ou d’instruments imparfaits.

Dans toutes les mesures précises, les erreurs systématiques sont autant que possible éliminées par un contrôle soigneux des instruments de mesure et, souvent aussi, par l’emploi successif de différentes méthodes.

- Les erreurs accidentelles qui sont imputables à l’imperfection des sens de l’opérateur.

Ces erreurs peuvent être minimisées par le bon choix des méthodes de mesure appropriées, des instruments perfectionnés et en s’exerçant à la pratique des mesures.

En résumé le résultat de toute mesure comporte une erreur !!

Quelque soit la précision de la mesure d’une grandeurX , nous n’obtenons qu’une valeur approchée x. La différence entre la valeur exacte et la valeur approchée s’appelle erreur absolue (?@A BAC )qu’on désigne par x :

- 0

x x x=

(1.5)

Cette erreur est en général inconnue. Partant des caractéristiques de l’appareil utilisé et de la méthode utilisée, nous pouvons toujours nous assurer que l’erreur commise ne dépasse pas une valeur limite absolue connue sous le nom de incertitude absolue ( )de la grandeurX .

x x

(1.6)

Nous déduisons que la valeur exacte est comprise entre deux valeurs limites connues : x x et x + x.

Pour plus de précision, nous pouvons donner une définition mathématique à l’incertitude absolue en suivant le raisonnement suivant :

Soit une grandeur ^X ⁼ ^{f x y z}

(

^{, ,}

)

^où^{x y}^, ^et

^z

représentent des grandeurs mesurables comportant des incertitudes.

L’incertitude absolue de X , c'est-à-dire X , est matérialisée par la différentielle dX telle que X dX .

Puisque le signe de l’erreur est inconnu il est tout à fait logique de prendre la valeur absolue pour les différentielles.

Sachant que f f f

dX dx dy dz

x y z

= + +

(6)

L’incertitude absolue X de X s’écrit donc :

f f f

X x y z

x + y + z

(1.7)

Définition : On appelle incertitude relative ( ) d’une grandeur X le rapport entre l’incertitude absolue et la valeur approchée, soit

X

^,et elle est égale au module de la différentielle logarithmique :

(1.8)

X dX

X = X

3/ Théorème des incertitudes ( ) :

Incertitude absolue d’une somme algébrique ( ):

L’incertitude absolue d’une somme algébrique de nombres incertains est égale à la somme arithmétique des incertitudes absolues de ces nombres.

Soit la somme algébrique :y nu= + pv qw k + ^oùn p, et qsont des coefficients constants et positifs, k une constante sans incertitude et

u v ,

et

w

les incertitudes absolues respectives de

u v

, et

w

. L’incertitude absolue de

y

est

y n u = + p v q w +

^. -

y nu = + pv qw k + y = n u + p v + q w (1.9)

Important : Nous écrivons toujours le résultat d’une mesure sous la forme :

0 ( )

y = y± y u

(1.10)

y0 : valeur exacte y : valeur approchée

y

: incertitude absolue u : unité de la grandeur

Exemple 1.6 : En déterminant la masse M par la méthode de la double pesée, on obtient

1 =12.762

m g et m₂ =57.327g . Sachant que l’incertitude absolue sur m₁ et m₂ est de

= ±2

m mg , calculer M et M . Réponse :

2 1

1 2

44.565 4 0.004

= =

= + = =

M m m M g

M m m mg g

Ainsi, le résultat s’écrit toujours sous la forme ci-dessous de telle façon que, le nombre de chiffres significatifs après la virgule dans la valeur approchée, soit le même que dans l’incertitude absolue.

(44.565 0.004)

= ±

M g

Tandis que l’incertitude relative sur

M

est :

(7)

0.004

5

44.565 9.10

M M

M = M =

ou

1 2 5

2 1

m m 9.10

M M

M m m M

= + =

L’incertitude relative d’un produit ou d’un quotient( ) Nous devons distinguer deux cas :

Premier cas : grandeurs indépendantes.

Enoncé du théorème :L’incertitude relative d’un produit ou d’un quotient dont les grandeurs sont indépendantes les unes des autres est égale à la somme arithmétique des incertitudes relatives sur chaque terme.

Preuve mathématique :

Soit le produit y ku v w = ^{n p} ^q où n p, et q sont des nombres réels etkune constante connue avec exactitude ; les incertitudes absolues sur u v, et w sont respectivement u

,

v et w

.

Appliquons la fonction logarithmique aux deux membres de l’équation logy =log ku v w^{n p} ^q

D’après les propriétés du logarithme nous pouvons écrire : logy =logk + nlogu+ plogv qlogw

Ecrivons à présent la différentielle logarithmique et développons ensuite :

dy dk du dv dw

n p q

y = k + u + v w

Nous arrivons à l’expression de l’incertitude relative (après avoir changé le signe – en signe +) et en prenant l’incertitude absolue des nombres :

(1.11)

y u v w

n p q

y = u + v + w

Nous retiendrons la règle générale qui gère ce type de calcul : - Remplacer tous les symboles di par i

- Changer le signe – par le signe +

- Prendre les grandeurs qui ne contiennent pas de en valeurs absolues Deuxième cas : grandeurs dépendantes les unes des autres.

Soit

( )

y k u v

u v t

= +

En suivant la même démarche que précédemment nous obtenons :

( )

log

y =

log

k +

log

u +

log

v

log

u v +

log

t

(8)

dy dk du dv du dv dt

y = k + u + v u v u v t

+ +

Factorisons tous les termes ayant le même di et changeons le signe – par le signe + :

dy dk dt

du dv

y = k + u u v + v u v t

+ +

(1.12)

y u v t

y = u u v + v u v + t

+ +

Exemple1.7 : Calculer l’incertitude relative puis l’incertitude absolue de l’énergie électrique exprimée par la formule Q RI t= ²

.

Réponse : selon le théorème de l’incertitude relative d’un produit ou d’un quotient, nous pouvons écrire :

2 ^Q ^R

2

^I ^t

Q RI t

Q R I t

= = + +

Nous en déduisons l’expression de l’incertitude absolue sur Q : R 2 I t Q Q= R + I + t

(9)

**

EXERCICES

7.1

( )

D1

( )

D2

:

( )

1 19,5 0,1 D = ± mm

( )

2 26,7 0,1 D = ± mm

.

Exercice 1.7

Pour mesurer l’épaisseur d’un cylindre creux on mesure les diamètres intérieur

( )

D1 et extérieur

( )

D2 et on trouve :

( )

1 19,5 0,1

D = ± mm^,D2 =

(

26,7 0,1±

)

mm

Donner le résultat de la mesure et sa précision.

8.1

( ) !

" ! #

! $

( )

^m

( )

^a

%

. " !&

.

Exercice 1.8

Soit à déterminer la masse volumique

( )

^{de la}

substance d’un cube homogène à partir de la mesure de sa masse

( )

^m et de son arête

( )

^a . Ecrire le résultat de la mesure.

9.1

( ) '!

( ) * * " + ,

&

- :

2 1

3 1

m m m m

=

.

3, 2, 1

m m m

/ .$' 01 2'

2 !

3 4 2 *

.

" 5

6 *

.

Exercice 1.9

L

^{a densité}

( )

d’un corps solide par application du théorème d’Archimède est : ² ¹

3 1

m m m m

=

Où m m m₁, ₂, ₃ sont les résultats de trois mesures de masses effectuées, successivement, avec la même balance. Trouver l’incertitude relative sur .

.1 10

7 "! * " 8 " &

( )

^C

4'! 1 ! 4'!

7 +

:

/

" : 4 /

8 * ; 2

2! 7 ( )

^C¹

( )

^C²

.

Exercice 1.10

Calculer l’incertitude relative sur la mesure de la capacité

( )

^C d’un condensateur équivalent à deux condensateurs montés :

a/ en parallèle b/ en série , et cela en fonction des précisions sur

( )

C1 et

( )

C2 .

.1 11

# * !

( ) :

2 2

1 1

m m

µ =

7 ) " 8 " &

8 *

µ

/ * 8

2 1 2 1

, , , ,

m m m

.

Exercice 1.11

Soit l’expression : 2

(

2

)

1 1

m m

µ ⁼

Calculer l’incertitude absolue sur µ en fonction des incertitudes absolues _m, ₂, ₁, m₂, m₁

.

.1 12

789:

$

0. ^wt

:

y= y e

7 ) " 8 " &

8 * ;

y

/ * 8

0, ,, y t

.

Exercice 1.12

Soit la relation : y= y e₀. ^wt^.

Calculer l’incertitude absolue sur y en fonctions des incertitudes absolues , ,t y₀_.

(10)

.1 7 .1

12 Corrigés des exercices 1.7 à 1.12:

Exercice1.7 :

Calculons d’abord l’épaisseur du cylindre : ² ¹ ; e=3,6mm 2

D D e=

L’incertitude absolue sur l’épaisseur est donc : ² ¹ ; 0,1 2

D D

e= + e= ± mm Ecrivons le résultat de la mesure : ^e⁼

(

^{3,6 0,1}^±

)

^mm

Nous en déduisons l’incertitude relative : ^0,1 0,03 3%

3, 6

e e

e = e = =

Exercice 1.8 :

Calcul de la masse volumique : m m₃ =3,041g/cm³ V a

= =

Nous déduisons l’incertitude absolue de l’incertitude relative :

3 3 0, 02 / 3

m a m a

m a m a g cm

= + = +

D’où l’incertitude relative : =0,0063 6,3 /= ⁰ ₀₀

Ecriture du résultat de la mesure : ⁼

(

^{3,04 0.02}^±

)

^{g cm}^/ ³

Remarque importante :

Le nombre des chiffres significatifs conservés dans un résultat ne doit jamais impliquer une précision supérieure à celle des données.

Un calcul ne peut qu’aboutir à un résultat dont l’incertitude sera au moins égale à celle de la donnée la moins précise.

Exercice 1.9 :

Nous avons l’expression : ² ¹

3 1

m m

=

Remarquons que les trois masses sont dépendantes.

Appliquons la fonction logarithmique aux deux membre de l’équation :

(

² ¹

) (

³ ¹

)

log =log m m log m m Passons à la différentielle logarithmique :

(

² ¹

) (

³ ¹

)

2 1 3 1

d m m d m m

d

m m m m

=

Développons : ² ¹ ³ ¹

2 1 2 1 3 1 3 1

dm

dm dm dm

d

m m m m m m m m

= +

Factorisons : ₁ ² ³

3 1 2 1 2 1 3 1

1 1 dm dm

d dm

m m m m m m m m

= +

(11)

C1

2 C C

Passons à présent aux incertitudes relatives, en remplaçant di par i et en changeant le signe

( )

des facteurs communs par le signe

( )

⁺ ^, et en supposant

1 2 3

m = m = m = m(puisque nous utilisons la même balance). Il vient :

3 1 2 1 2 1 3 1

1 1 m m

m m m m m m m m m

= + +

Nous obtenons à la fin :

3 1

2 m m m

=

Exercice 1.10 :

a/ Groupement en parallèle :

La capacité du condensateur équivalent à deux condensateurs montés en parallèle est donnée par la formule : C C= ₁ +C₂

.

Appliquons la fonction logarithmique aux deux membres de l’équation puis passons à la différentielle logarithmique :

(

1 2

)

¹ ²

1 2 1 2

log log dC dC dC

C C C

C C C C C

= + = +

+ +

L’incertitude relative est donc :

1 2 1 1 2 2

1 2 1 2 1 1 2 2 1 2

C C C C C C

C C

C =C C + C C C = C C C + C C C

+ + + +

b/

Groupement en série :

La capacité du condensateur équivalent à deux condensateurs montés en série est donnée par la formule :

1 2

1 2 1 2

1 1 1 C C

C =C +C C =C C +

Appliquons la fonction logarithmique aux deux membres de l’équation puis passons à la différentielle logarithmique :

( )

1 2 1 2 1 2

1 2

log log C C log log log log

C C C C C C

C C

= = + +

+

L’incertitude relative est donc :

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

dC dC dC dC

dC

C = C + C C C C C

+ +

Factorisons : ₁ ₂

1 1 2 2 1 2

1 1 1 1

dC dC dC

C = C C C + C C C

+ +

L’expression précédente peut être écrite sous la forme :

1 1 2 2

1 1 2 2 1 2

1 1

dC C dC C

dC

C = C C C + C C C

+ +

Finalement l’incertitude relative demandée est :

(12)

1 1 2 2

1 1 2 2 1 2

1 1

C C C C

C

C = C C C + C C C

+ +

Exercice 1.11 :

Ecrivons l’expression donnée sous la forme : 2

(

2

)

1

1 m m

m m µ+ =

En introduisant la fonction logarithmique dans les deux membres de l’équation nous obtenons :

(

¹

)

²

(

²

) (

¹

)

log

µ

+m =logm +log _m log _m La différentielle logarithmique de l’expression précédente est :

(

1

)

2 2 1

1 2 2 2 1 1

m m

m m m m

d m dm d d d d

m m

µ µ

+ = + +

+

Ou bien : ¹ ² ² ¹

1 1 2 2 2 1 1

m m

m m m m

d d

dm dm d d

d

m m m

µ

µ + ⁼ µ+ ⁺ ⁺ ⁺

C'est-à-dire :

1 1 1 1 1 1

1 2 2 1

1 2 2 2 1 1

m m

m m m m

m m m m m m

d dm dm d d d d

m m

µ µ µ µ µ µ

µ µ

+ + + + + +

= + + +

+

Et en fin, l’incertitude absolue demandée est :

1 1 1 1 1

1 2 2 1

2 2 2 1 1

m

m m m m

m m m m m

m m

m

µ µ µ µ µ

µ = + + ⁺ + ⁺ + ⁺ + ⁺ + ⁺

Exercice 1.12 :

Après introduction de la fonction logarithmique dans les deux membres de l’équation nous obtenons : logy=log y₀ +loge ^t

Sa différentielle est :

0 0

logy =logy +loge ^t logy =logy t

(

log

) (

log 0

) ( )

d y =d y d t

Posons dX d dt d dt

X t dX X

X t t

= = + = +

D’où :

0 0

dy dy d dt

y = y t + t

On passe à l’incertitude relative pour en déduire l’incertitude absolue :

0 0

y y

y t

t y y t t

y = y + + t = y + +

(13)

1/

GRANDEUR SCALAIRE₍ ₎

Une grandeur scalaire est toujours exprimée par une valeur numérique suivie de l’unité correspondante.

Exemple :le volume, la masse, la température, la charge électrique, l’énergie…

2/ GRANDEUR VECTORIELLE( )

On appelle grandeur vectorielle toute grandeur qui nécessite un sens, une direction, un point d’application en plus de sa valeur numérique appelée intensité ou module.

Exemple :le déplacement, la vitesse, la force, le champ électrique…

3/ REPRESENTATION GRAPHIQUE D’UN VECTEUR( ): Un vecteur est représenté par un segment orienté (figure2.1).

V : représente le vecteur (avec ses quatre caractéristiques).

V = V =V : représente le module ou l’intensité du vecteur.

V

O

Fig 2.1: représentation d’un vecteur

4/ LE VECTEUR UNITAIRE ( ): c’est un vecteur de module égal à l’unité (le nombre un).

On peut exprimer un vecteur parallèle au vecteur unitaire sous la forme :

V uV V u= =

(2.1)

O

u

V

Fig 2.2: vecteur unitaire

5/LA SOMME GEOMETRIQUE DES VECTEURS ( )

:

Cette opération fait appel au dessin, c’est pour cette raison qu’on la qualifie de géométrique.

La somme de deux vecteurs: c’est une opération commutative.

On calcule le module du vecteur résultant à partir de la loi des cosinus ( ! " # ) que nous démontrerons plus tard :

2 2

1 2

2

1 2

cos

D = V + V VV (2.2)

II/ RAPPEL SUR LE CALCUL VECTORIEL

$ $ $ $ ! $ $ $ $ $%&$

(14)

1 2

2 1

V V V

= +

V1

V2 V

V1

V2 V

Pour déterminer la direction de V , il suffit de chercher la valeur de l’angle (figure 2.4). Raisonnons à partir du triangle ACD de la figure 2.5 :

(2.3)

A B

E

V1

V2

V

0 C

D

De même dans le triangle BEC nous avons :

1

sin

.sin .sin sin

2 1

2

BE

V V

BC V V

BE sin sin

AB

=

= =

=

(2.4)

2

sin

CD CD AC V CD CD BC V

= =

sin sin

V2

V = V.sin =V2.sin

(15)

De

(2.3)

et

(2.4)

nous pouvons en déduire la formule générale

(2.5),

appelée loi des sinus

! " #)

(

:

(2.5)

1 2

sin sin sin

V = V = V

Cas particulier : Si = 2 alors V = V₁² +V₂² et ²

1

tan V

=V La somme géométrique de plusieurs vecteurs :(voir figure2.5)

5 4 3 2

1 V V V V

V

V = + + + +

V1

V2

V

V3

V4

V5 O

Fig 2.5: Somme de plusieurs vecteurs

La soustraction de deux vecteurs :(" ' ( )figure 2.6

Géométriquement, le vecteur Dreprésente le résultat de la soustraction entre les deux vecteurs V₂ et V₁. Nous pouvons écrire : D = V₂ V₁

Cette équation peut aussi s’écrire : D=V₂ +( V₁)

La soustraction de vecteurs est anticommutative, c’est ce qui ressort de la figure 2.6 : '

D = D

Le module du vecteurD :

2 2

1 2

2

1 2

cos

D = V + V VV (2.6)

(16)

6/ COMPOSANTES D’UN VECTEUR ₍ ) % )

:

Chaque vecteur peut être considéré comme étant la somme de deux vecteurs ou plus (le nombre de possibilités est illimité).

Dans le plan, soit le repère

R ^{( ; , )} ^{O i j}

^:

En coordonnées rectangulaires: on décompose le vecteur V suivant l’axe des X et l’axe des Y, comme indiqué sur la figure2.7.

V Vy

O X

Y

i j

Vx

u

Fig 2.7: Composantes d’un vecteur

x y

V V= +V cos sin

x y

V V

=

En désignant les deux vecteurs unitaires i et j , respectivement dans les directions des deux axes OX et OY, nous pouvons écrire :

. . ;

. .

. cos . sin ( .cos .sin )

x x y y

x y x y

V i V , V j V

V V V ; V i V j V ;

V i V j V V V i j

= =

= + = +

(2.7)

Or V u V= . ^{, d’où :}

(17)

.cos .sin

u i= + j

(2.8)

Quant à la norme du vecteurV , elle vaut : V = V_x² +V_y²

En utilisant les coordonnées x et y nous pouvons aussi écrire : V = x² +y² Exemple 2.1 :Trouver la résultante des deux vecteurs

2 2 2 1 1

1 ; V

y x y

V x dans le repère

R ^{( ; , )} ^{O i j} .

Réponse :

2 2

1 2 1 2

( ) ( )

V = x +x + y + y

1 2 ; ( 1 2) ( 1 2)

D

V V= +V V =i x +x + j y + y

Exemple 2.2 : Trouver la différence des deux vecteurs

2 2 2 1 1

1 ; V

y x y

V x dans le repère

R

^{( ; , )}^{O i j}

.

Réponse :

2 2

1 2 1 2

( ) ( )

V = x x + y y

) (

) x (x i V

; ₁ ₂ ₁ ₂

2

1 V j y y

V

V = = +

Dans l’espace :dans le repère R ( ; , , )O i j k (base orthonormée), nous remarquons que

V = V

_x

+ V

_y

+ V

_z

V = i V

^. _x

+ j V

^. _y

+ k V

^. _z ^{. (figure}

2.8)

Y

X

Z

Vx

V Vz

Vy

r

i j k

Fig 2.8: composantes d’un vecteur

Nous pouvons nous assurer géométriquement que :

(18)

cos .

sin . sin .

cos . sin V V

V V

z y x

=

cos .cos

sin .sin ;

cos .cos .sin .cos

sin .sin sin .sin

z z

x x x

y

y y

V V r

r r r

V V V r

= =

= = =

En résumé :

(2.9)

Quant au module du vecteur V il est égal à :V = V_x² +V_y² +V_z² Ou en coordonnées cartésiennes : V = x² + y² +z²

Remarque : En notant par et les angles respectifs formés par le vecteur V avec les axes OX et OY, et de la même façon que nous avons obtenu l’équation 2.9, il vient :

(2.10)

.cos , .cos , .cos

x y z

V =V V =V V =V

Nous pouvons en déduire l’expression :

2 2 2

cos +cos +cos =1

(2.11)

Exemple 2.3 : Trouver la distance qui sépare les deux points ^A

(

^{10, 4,4}

)

^u ^et

(

^10,6,8

)

B u, représentés dans le repère rectangulaire

R

^{( ; , , )}^{O i j k} ^{, avec}^{u unité}⁼ ^.

Réponse :

En représentant les deux points dans le repère, on se rend compte que la distance demandée n’est autre que le module du vecteur D, qui est la différence entre les deux vecteurs : D=V₂ V₁

Soit :

+ +

=i(x₂ x₁) j(y₂ y₁) k(z₂ z₁)

D D= (x₂ x₁)² +(y₂ y₁)² +(z₂ z₁)² u

D k

j i

D= (0)+ (10)+ (4) = 116 =10.77

(19)

Exemple 2.4 :Trouver la résultante des cinq vecteurs suivants :

1 (4 3 ) u; 2 ( 3 2 ) ; 3 (2 6 ) ; 4 (7 8 ) ; 5 (9 ) V = i j V = i+ j u V = i j u V = i j u V = i + j u Réponse :

(4 3 2 7 9) ( 3 2 6 8 1) 19 14 361 196 23.60

V = + + + i + + + j V = i j V = + = u

Pour trouver la direction du vecteur V , nous partons de l’expression tan ^y

x

V

=V , est l’angle formé par le vecteur V et l’axe OX :

tan = 1419 0,737 36,38° 7/ LE PRODUIT SCALAIRE ( * )

:

Définition :On appelle produit scalaire de deux vecteurs V₁et V₂ le nombre réel

2 1.V

V

:

V V₁. ₂ =V V₁. .cos( . )₂ V V₁ ₂

(2.12)

Ou 1 2 1 2 ² 1 ² 2 ²

. 1

V V = 2 V +V V V

(2.13)

Cas particulier :

Si V₁ =0 ou V₂ =0, alors V₁.V₂ =0 Si V₁ 0 et V₂ 0, alors :

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 1 2

( , ) cos 0 . 0

2 2

// ( , ) 0 cos 0 1 .

V V V V V V

V V V V V V VV

= = =

Exemple:

Le travail de la force F qui provoque un déplacement AB est donné par la formule W =F.AB.cos tel que =(F;AB) (on lit W est le produit scalaire de

Fpar AB), on écrit :

.

W = F AB W=F.AB.cos

Démontrons à présent la relation

( 2.2 )

comme nous l’avons promise :

2 2 2 2 2

1 1 1 1

1 2 1 2 1 2 1 1 1 1

2 2 2 2 2

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

2 . cos( )

2 cos( ) 2 cos( )

V V V ; V V V V V ; V V V VV V V V ;

V V V VV V V V V V VV V V

= + = + + = = =

= + + = + +

Expression analytique du produit scalaire( LM N OPM QRMRM S TU )

Dans le plan(+ , ): Soit les deux vecteurs V₁ et V₂ contenus dans le plan, tel que :

2 2 2 1 1

1 ; V

y x y

V x

(20)

Dans le repère

R ^{( ; , )} ^{O i j}

( )

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2

1 2 1 2 1 2

2 2

. . . .( . . ) . . . . . . . . . . . .

. . 0

. . . .

. . 1

V V x i y j x i y j x x i i x y i j x y j i y y j j i j j i i j

V V x x y y i i j j i j

= + + = + + +

= =

= +

= = = =

(2.14)

Dans l’espace(*-. ,₎:

Soit les deux vecteurs V₁ et V₂ dans le repère

R

^{( ; , ; )}^{O i j k}

:

(2.15)

1 2

1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2

. . . .

2

x x

V y ; V y V V x x y y z z

z z

= + +

. . . 0

1 i j i k j k i j k

= = =

Propriétés du produit scalaire( * /0 12)

:

Commutatif( ) V V1. 2 =V V2. 1

Non associatif ₍ 3⁾:^{V V V}¹^.

( )

²^. ³ n’existe pas car le résultat serait un vecteur.

Distributif ( XYZ)par rapport à la somme vectorielle :

( )

1. 2 . 3 1. 2 1. 3

V V +V =V V +V V

Exemple 2.5 :Calculer l’angle compris entre les deux vecteurs : V1 = +3i 2j k et V2 = +i 2j +3k

.

Réponse :

Partant de l’expression du produit scalaire, on peut écrire :

1 1 1 2

1 2

cos( ) V V. V V = V V Donc :

1 1 1 2

1 1

1 2 1 2

1 2

. 3 4 3 2 9 4 1 3,74 1 4 9 3,74

. 2

cos( ) 0,143 ( ) 96,2

14

V V ; V ; V

V V V V V V

VV

= + = = + + = = + + =

= = = = = °

8/ LE PRODUIT VECTORIEL( * )

:

Définition: On appelle produit vectoriel de deux vecteurs V₁ et V₂ le vecteur W perpendiculaire au plan qu’ils constituent.

Nous écrivons par convention : W =V₁ V₂ =V₁×V₂

(21)

O W

V1

V2

W

Fig 2.9: produit vectoriel

caractéristiques du vecteur W ( ) 4 ₎

W est perpendiculaire au plan formé par les deux vecteurs, son sens est déterminé par la règle de la main droite (l’index indiquant W), son module est donné par la formule 2.16 :

1. .sin( . )2 1 2

W = W =V V V V

(2.16)

Important :

0 1

i i j j k k

i j k ; i k j ; j k i

i j i k j k

= = =

Remarque : la grandeur W = W =V V₁. .sin( ; )₂ V V₁ ₂ représente l’aire du parallélogramme formé par les deux vecteurs, ce qui laisse sous entendre la possibilité de lier un vecteur à une certaine surface.

Méthode utilisée pour calculer le produit vectoriel de deux vecteurs:

2 2 2 2 1 1 1

1 ; V

z y x

z y x V

En utilisant les coordonnées cartésiennes dans le repère

R

⁽^O^;ⁱ^, ^j^,^k⁾

,

on peut écrire :

1 1 1 1 1 1

1 1 1

2 2 2 2 2 2

2 2 2

i j k

y z x z x y

W x y z i j k

y z x z x y

x y z

+ +

= = +

(

1 2 2 1

) (

1 2 2 1

) (

1 2 2 1

)

W = y z y z i x z x z j + x y x y k

Le module du vecteur est donné par l’expression :

(22)

(2.17)

(

1 2 2 1

) (

² 1 2 2 1

) (

² 1 2 2 1

)

² 1

. .sin( , )

2 1 2

W = y z y z + x z x z + x y x y = V V V V

Propriétés du produit vectoriel( N OP ]^ _`)

Anticommutatif ( - ) V¹ V² = V² V¹ Non associatif( 3): ^V¹

(

^V² ^V³

) (

^V¹ ^V²

)

^V³

Distributif⁽ 4 )par rapport à la somme vectorielle :

( ) ( ) ( )

1 2 3 1 2 1 3

V V +V = V V + V V

Exemple 2.6 : Calculer le vecteur W, produit des deux vecteurs : V₁=(2,1, 1) et

2 (1,0, 2)

V = , en déduire l’angle compris entre eux.

Réponse :

[ ) ( ) ( )

2 2 2

1

(1 2 (0 1)]. 2 2) (1 1 . 2 0) (1 1 . 2 3

2 1 1 6

W i j k W i j k

V

= × × × × + × × = +

= + + =

2 2

2

2 2 2

1 0 2 5

2 3 1 14 3,74

V W

= + + =

= + + = =

1 2

. .sin 3,74 sin sin 3,74 0,683 43,06

. 30

W V V W

= = =V V = = = °

9/

LE PRODUIT MIXTE (( 2 * ₎

:

Le produit mixte de trois vecteurs V V1, 2 et V3 est la quantité scalaire définie par :

( )

¹ ¹ ¹

⁽ ⁾ ⁽ ⁾ ⁽ ⁾

1 2 3 2 2 2 2 3 3 2 1 2 3 3 2 1 2 3 3 2 1

3 3 3

.

x y z

V V V x y z y z y z x x z x z y x y x y z

x y z

= = +

(2.18)

10/ MOMENT D’UN VECTEUR PAR RAPPORT A UN POINT DE L’ESPACE

* -. " ( 4 )

(

Définition : Le moment d’un vecteur par rapport à un point de l’espace est le vecteur défini par :

O OA V

! =

(2.19)

Remarque :

!O ₌ au double de l’aire du triangleAOB. (Figure2.10-a-) 11/ MOMENT D’UN VECTEUR PAR RAPPORT A UN AXE

UZ L Q b c d ef ) (

Première définition : Le moment d’un vecteur par rapport à un axe est égal à la projection de ce vecteur par rapport à un point quelconque de cet axe.

(23)

Deuxième définition : Le moment du vecteur V par rapport à un axe ", d’origineO et de vecteur unitaire u, est égal au produit mixte :

( )

. .

Ou OA V u

!_" =! =

(2.20)

Remarque: Le moment d’un vecteur par rapport à un axe est une grandeur scalaire, par contre le moment d’un vecteur par rapport à un point de l’espace est un vecteur (Figure2.10-b-)

A

B V

!O

'

!O

O

' O

( )

^"

u

!_"

A

B O

!O

V

12/GRADIENT, DIVERGENCE ET ROTATIONNEL (i UjO j O S klUOS )

:

Définitions :

On dit que la fonction f(x,y,z)est un champ scalaire si la fonction f(x,y,z) est un scalaire.

On dit que la fonction V(x,y,z) est un champ vectoriel si la fonction est vectorielle.

On définit l’opérateur ( mnL )différentiel vectoriel#(nabla) par :

i j k

x y z

$ $ $

# = + +

$ $ $ (2.21)

Où :

$x

$ ,

$y

$ et

$z

$ sont respectivement les dérivées partielles par rapport à x y, et z. Nous allons définir le gradient, la divergence et le rotationnel à l’aide de cet opérateur.

(24)

LE GRADIENT (lUOS ):

Si f(x,y,z) est une fonction scalaire, son gradient est un vecteur défini comme étant :

( ) f f f

grad f f i j k

x y z

$ $ $

=# = + +

$ $ $

(2.22)

Exemple 2.7:Calculer le gradient de la fonction

f x y z ( , , ) = = f 3 x y z

² ³ ^.

Réponse : gradf =6xy³z.i +9x²y²z.j+3x²y³.k LA DIVERGENCE (O S ):

Si )V =(V_x,V_y,V_z est une fonction vectorielle, sa divergence est un scalaire défini comme étant :

. V

^x

V

^y

V

^z

divV V

x y z

$ $ $

= # = + +

$ $ $ (2.23)

Exemple 2.7: Calculer la divergence de la fonction vectorielle

2 3

( , , ) 2 3 9

V x y z = xyi yz j + xy k

Réponse : divV =2y 3z² + =0 2y 3z²

LE ROTATIONNEL(i UjO ):

Si )V =(V_x,V_y,V_z est une fonction vectorielle, son rotationnel est un vecteur défini comme étant :

( ) V^z V^y . V^z V^x . V^y V^x .

rot V V i j k

y z x z x y

$ $ $ $

$ $

=# = +

$ $ $ $ $ $

(2.24)

Démarche à suivre

:

a/ Etablir la matrice suivante :

x y z

i j k

rotV A B C

x y z

V V V

+ +

$ $ $

= = + +

$ $ $

b/ Pour calculer

A B C , ,

il suffit de se rappeler de la règle du produit vectoriel :

(25)

z y

y z

+ i

V V

A = +i

y z y z

V V

$ $ $ $

= $ $ $ $

z x

x z

-j

V V

B= = -j

x z x z

V V

$ $ $ $

y x

x y

k

V V

C= = +k

x y x y

V V

$ $ $ $

c/ On arrive à l’expression finale (2.24) :

y x x

z z z

x y z

i j k

V V V

+i -j +k

x y z y z x z x z

V V V

+ +

$ $ $

$ $ $ =

$ $ $ $ $ $ $ $ $

Exemple 2.7:Calculer le rotationnel du vecteur :

k xy j yz i xy z

y x

V( , , )=2 3 ² +9 ³ Réponse :

( )

2 3

( ) 27 6 . (9 0). (0 2 ).

( ) 27 6 . 9 2

rot V xy yz i y j x k

rot V xy yz i y j xk

= +

=

13/ LE LAPLACIEN (" 5 6)

:

Définitions :

En coordonnées cartésiennes :

Le Laplacien d’une fonction scalaire est égal à la divergence de son gradient :

( )

² ²2 ²2 ²2

. ( ) f f f

f f

x y z

$ $ $

# # =# = + +

$ $ $

(2.25)

(26)

Le Laplacien d’une fonction vectorielle est égal à la divergence de son gradient :

( )

² ² ² ² ² ² ²

. ( ) V^x V^y V^z

V V i j k

x y z

$ $ $

# # =# = + +

$ $ $

(2.26)

REMARQUE

Vous trouverez, à la fin de ce document en annexe, un formulaire regroupant le gradient, la divergence, le rotationnel et le laplacien dans les différentes coordonnées : cartésiennes, cylindriques et sphériques.