ETUDE DU MOUVEMENT EN COORDONNEES SPHERIQUES

( )

Position du mobile :(Figure 4.15)

Dans ce système la position du mobile est définie par la relation : ( )

( ) .

( )

r

r t

OM t OM r r u t

= =

(4.47)

Rappelons les deux relations 4.17 et 4.18 entre les vecteurs de la base

( , , ) u u u

_r et ceux de la base( , , )i j k :

sin .cos . sin .sin . cos . sin . cos .

cos .cos . cos .sin . sin .

u

r

i j k

u i j

u i j k

= + +

= +

= +

Ligne de la coordonnée

Fig 4.15: Base des coordonnées sphériques

O Z

X

Y r

M

m u

u

u

Ligne de la coordonnée

Ligne de la coordonnée

Le déplacement élémentaire est donné par la relation :

2 2 ( sin . )2 ( )2

ds =dr + r d + rd

(4.48)

L’étudiant ne doit pas apprendre les lettres mais leurs sens. Remarquez que =(OX Om, ) ^et =(OZ OM, ) , mais vous pouvez trouver l’inverse de cela dans d’autres références.

Vitesse du mobile :

Dérivons le vecteur position en coordonnées sphériques par rapport au temps : . r .

v r r u= = +r u

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Dérivons le vecteuru , puis organisons la nouvelle expression pour obtenir à la fin :

.cos cos cos sin sin sin .sin cos

r

u u

u = i + j k + i + j

C'est-à-dire :

u

_r

= . u + sin . u

Par remplacement on obtient l’expression finale de la vitesse en coordonnées sphériques :

.

_r

. ( sin ) . v r u = + r u + r u

Les trois composantes sphériques du vecteur vitesse apparaissent clairement :

r r sin

dr d d

v v v v v u r u r u

dt dt dt

= + + = + +

(4.49)

La base orthogonale directe est constituée des vecteurs ( , , )u u u_r qui dépendent de la position du mobile, donc du temps. Elle est définie par les équations horairesr t( ), ( )t et ( )t , qui nous permettent d’arriver aux valeurs algébriquesv , v et v des composantes sphériques du vecteur vitesse et de là, la détermination du vecteur vitesse.

Accélération du mobile :

En dérivant le vecteur vitesse par rapport au temps, on arrive à l’expression du vecteur accélération, soit :

. _r ( sin ) . . dv d

a r u r u r u

dt dt

= = + +

2 2 2

r r

a a= +a +a a = a +a +a

Nous donnons ci après l’expression finale du vecteur accélération, l’étudiant doit être en mesure de s’assurer du résultat :

2 2 2

2

( . . .sin ).

( . 2 . . .sin .cos ).

( . .sin 2 . .sin 2 . . .cos )

a r r r ur

r r r u

r r r u

= +

+ +

+ +

(4.50)

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Là aussi, connaissant les équations horairesr t( ), ( )t et ( )t on arrive aux expressions algébriquesa , a et a des composantes du vecteur accélération et par conséquent à la détermination du vecteura .

Exemple 4.9 :

Le mouvement d’un point matérielM est défini en coordonnées cylindriques par les composantes du vecteur positionOM et par l’angle polaire tels que OM =a u. +bt k ; =ct. ²; sachant que

a b c , ,

sont des constantes positives.

1/ Calculer la vitesse et l’accélération en fonction du temps.

2/ Calculer le rayon de courbure après un tour complet autour de l’axe OZ

.

Réponse :

1/ Pour obtenir le vecteur vitesse on dérive le vecteur accélération :

( )

2

. 2

2

dOM d

v au btk

dt dt

v a u bk

v a du bk v actu bk

dt ct ct

= = +

= +

= + = +

= =

Le module du vecteur vitesse :

2 2 2 2

4

v = a c t + b

En dérivant le vecteur vitesse on obtient le vecteur accélération :

2

(2 . ) 2 ( . ) 2 . .1

2 . . 2 .2 . 2 2 .

dv d d du

act u bk ac t u ac t u

dt dt dt dt

ac t u u ac t ct u u ac ct u u

= = + = = +

= + = + = +

Son module est :

2ac 4c t2 4 1

= +

2/ Calcul du rayon de courbure.

Calculons d’abord la durée nécessaire pour que le mobile effectue un tour complet :

2 2

2 ct t

c c

= = = =

Remplaçant ensuite le temps par son expression que nous venons de trouver dans l’expression de l’accélération normale et enfin, calculons le rayon de courbure :

Nous laissons à l’étudiant le soin de réaliser ce calcul de longue haleine pour aboutir à la fin au résultat suivant :

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2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

4 16

!!!!! 2

4

N T

N

T N

R v ; ;

dv a c t dv a c b

dt a c t b dt ac a c t b

= =

= = = = +

+ +

( )

( )

( )

2 2 2 2 32 2

( ) 2 4 6 2 2 4 2 12

2 2 2 2 32

2 3 2 2 12

4

2 (16 4 )

2 8

2 (128 1 16 )

t N

a c t b R v

a ac a c t c b t b

a c t b

R c ac a c b

= = +

+ +

= +

+ +

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On donne les équations du mouvement d’un point

M dans un repère

(

^{O i j k, , ,}

)

^:

1/ Trouver la vitesse et l’accélération ainsi que leurs modules.

2/ Quelle est l’équation de la trajectoire du point m

qui représente la projection verticale du point mobile

M sur le plan XOY.

Soit la trajectoire définie par :

( )

.3cos 2 .3sin 2 . 8 4 r =i t+ j t k+ t

1/ Trouver le vecteur unitaire T tangent à la trajectoire.

2/ Si est le vecteur position d’un point se déplaçant sur C au temps t , vérifier que dans ce cas

Un point M décrit une hélice circulaire d’axe

OZ.

Ses équations horaires sont :

cos ; sin , x=R y =R z=h Rest le rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice, hest une constante et l’angle que fait avec OX la projection OM' de OM

surXOY .

1/ Donner en coordonnées cylindriques les expressions de la vitesse et de l’accélération.

2/ Montrer que le vecteur vitesse fait avec le plan

XOY un angle constant.

3/ Montrer que le mouvement de rotation est uniforme, que le vecteur accélération passe par l’axe du cylindre et est parallèle au planXOY . Calculer le rayon de courbure.

Un mobile se déplace dans l’espace suivant la loi :

cos ; sin , x=R t y=R t z= t

Où , , R sont des constantes positives.

1/ soit mla projection deMdans le planXOY :

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b/ Quelle est la nature du mouvement de m

suivant l’axe OZ ?

c/ En déduire la nature de la trajectoire du mobileM.

2/ dans le système des coordonnés cylindriques : a/ écrire l’expression du vecteur position OM et représenter la base

(

^{u u u, , z}

)

en un pointM de l’espace.

b/ trouver la vitesse et l’accélération de M , ainsi que leurs modules. Déterminer leurs directions puis les représenter en un point de l’espace.

d/ en déduire le rayon de courbure.

:26.4

1 /

>?@ABCD >?;DE FGHI JDKAL@ MN AOPQRD

(

^{u u ur, ,}

)

1/ A partir des expressions des vecteurs unitaires de la base

(

^{u u ur, ,}

)

en coordonnées cartésienne, s’assurer des expressions suivantes :

( )

2/ Montrer que l’accélération dans la base

(

^{u u ur, ,}

)

^{s’écrit :}

Dans le système des coordonnées sphériques

(

^{u u ur, ,}

)

, un point M se déplace sur la surface d’une sphère de rayonR. Ses deux coordonnées sphériques sont:

(

^{OZ OM,}

)

₆^{rad , t2}

= = = ,

Avec constante positive.

1/ Partant de l’expression du vecteur position en coordonnées sphériques :

a/ trouver la vitesse et l’accélération de ce mobile dans la base

(

^{u u ur, ,}

)

^,

b/ calculer les modules de la vitesse et de l’accélération,

c/ en déduire l’accélération normale.

2/ Partant cette fois de l’expression du vecteur position en coordonnées cartésiennes :

a/ trouver la vitesse et l’accélération dans la

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D8 1 ! G ! ?#

1 ' J#

/ 6?

/3 /

# &

@ # ' BM .

? M /

B

base

(

^{i j k, ,}

)

puis calculer de nouveau leurs modules et vérifier qu’ils coïncident avec les résultats de la question 1/b,

3/ a/ Quelle est la trajectoire du pointM ? la représenter qualitativement,

b/ Quelle est la nature du mouvement du pointM ?

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22.4 27.4

Corrigés des exercices 4.22 à4.27 Exercice 4.22 :

1/ Le vecteur vitesse :

Ecrivons l’expression du vecteur position : 1 ² 3 ²

. . .

2 2

r = bt i + ct j+ bt k

Pour obtenir le vecteur vitesse on doit dériver le vecteur position par rapport au temps :

( )

^{2 2}

, , 3

. . 3 . ; 10

x y z

x v bt y v c z v bt

v bt i c j bt k v bt c

= = = = = =

= + + = +

Dérivons le vecteur vitesse pour obtenir le vecteur accélération :

, 0 , 3

. 3 . ; 2

x y z

x a b y a z a b

a b i b k a b

= = = = = =

= + =

2/ Equation de la trajectoire du pointm : éliminons le temps entre les deux équations horaires ^{x t}

( )

^{ety t}

( )

^:

1 2 2x 2x

t= ,

2 b b

x= bt y c=

Exercice 4.23 :

1/ Le vecteur tangentiel à la trajectoire est le vecteur vitesse v ^d

= dt ,

En coordonnées cartésiennes le vecteur vitesse est donc :

.6sin 2 .6 cos 2 8.

v dr i t j t k

= dt = + +

Son module est égal à : v= 36 64+ v=10 .m s ²

Le vecteur unitaireT tangent à la trajectoireC est porté par le vecteur v :

3 3 4

sin 2 . cos 2 . .

5 5 5

T v t i t j k

= =v + +

2/ Si est le vecteur position du pointM au temps t, alors v ^d

= dt :

.6sin 2 .6cos 2 8. .6sin 2 .6cos 2 8.

3 3 4

10 sin 2 . cos 2 . .

5 5 5

10. _T 10 .

v dr i t j t k v i t j t k

dt

v t i t j k

v u T v v T

= = + + = + +

= + +

= = =

Exercice 4.24 :

1/ Nous savons que le vecteur position en coordonnées cylindriques s’écrit :

. . _z

OM = =r u +z u Nous en déduisons le vecteur vitesse par dérivation :

. . . _z

v dOM u u z u

= dt = + +

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Le vecteur accélération est à son tour :

2

2/ Le vecteur u est parallèle au plan OXY , donc l’angle que forme le vecteur vitesse avec le plan OXY est égal à l’angle que fait le vecteur u avec le plan OXY , comme il est

3/ Le mouvement est rotationnel uniforme, cela veut dire que = =Cteet . .2

a = R u .

Le vecteur accélération a est parallèle à u , c'est-à-dire centripète, ce qui confirme qu’il passe par l’axe du cylindre. u appartient au plan OXY , et a est parallèle à u , ce qui montre que l’accélération est parallèle au planOXY .

Nous venons de démontrer que l’accélération est centripète, donc :

2 2

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Exercice 4.25 :

1/ a/ Le mouvement du point m s’effectue dans le planXOY. Afin d’obtenir l’équation de la trajectoire de ce point, on élimine le temps entre les équations horaires ^{x t}

( )

^{et y t}

( )

^.

Nous obtenons x² +y² =R² qui est l’équation d’un cercle de centre

( )

0,0 et de rayonR. b/ Suivant l’axeOZ , l’équation de la trajectoirez= .t nous indique que le mouvement est rectiligne uniforme verticalement.

c/ La trajectoire du mobile est la composition du mouvement plan et du mouvement vertical, il en résulte un mouvement hélicoïdal.

2/ Dans le système de coordonnées cylindriques :

a/ Le vecteur position est : r =OM = .u +z u. _z r =OM =R u. +z u. _z b/ La vitesse et l’accélération du pointM sont donc :

2 2 2

L’angle que fait le vecteur vitesse avec le vecteuru , d’après la figure ci-dessous, est :

tan v^z b

v R

= =

Quant à l’accélération elle est centripète c'est-à-dire qu’elle est dirigée vers le centre de la trajectoire circulaire.

c/ Le rayon de courbure est :

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Cette expression n’est pas définitive…

Retournons aux expressions de u et u . Multiplions la première par sin et la seconde par cos , nous obtenons :

Additionnons les deux expressions pour obtenir :

.sin .cos cos . sin .

ur +u = i + j

Remplaçons maintenant dans l’expression

( )

^{1 de u} , elle devient :

[ ]

. sin . _r cos .

u = u + u

2/ Démonstration de l’expression de l’accélération en coordonnées sphériques : Nous partant de l’expression de la vitesse :

. _r . . . .sin . v =r u +r u +r u Dérivons la par rapport au temps :

. _r . _r . . . .sin . . .sin . . . .cos . . .sin .

a =r u +r u +r u +r u +r u +r u +r u +r u +r u Remplaçons par leurs expressions trouvées en 1/ :

[ ]

Développons puis ordonnons :

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Le vecteur accélération avec les mêmes coordonnées s’écrit :

[ ] ( [ ] )

Module du vecteur accélération :

(

^{2 2}

)

²

(

^{3. 2 2}

)

²

^{( )}

²

a= R t + R t + R

4 2 4 1 a= R t + c/ L’accélération tangentielle :

2 2 2

2/ En coordonnées cartésiennes le vecteur position est:

2 2

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Les modules de la vitesse et de l’accélération sont :

; 1 4 2 4

v=R t a=R + t

Les deux modules de la vitesse et de l’accélération sont compatibles avec le résultat de la question 1/b

3/ Trajectoire du point mobile :

2 2 2 2

2 2 1 2

3 4

2

x y z R

x y R

z R

+ + =

+ =

=

Nous en concluons que ce point matérielM décrit un cercle de rayon 2 R et de

centre 0, 0, ³

2 R . Quant au vecteur position, il décrit un cône de sommetO et dont le bord est le cercle décrit.

4/ Nature du mouvement du point M : la trajectoire est un cercle, le module de la vitesse est constant et l’accélération tangentielle est constante, donc le mouvement est circulaire uniformément accéléré.

Y Z

X

O ' O R/ 2 3.

2 R

R

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