N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
Résumé des principales formules de la théorie des fonctions elliptiques
Nouvelles annales de mathématiques 3e série, tome 19 (1900), p. 2-11
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RÉSU1HÉ DES PRINCIPALES FORMULES DE L4 THEORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES ( ' ) .
FONCTIONS DE WEIERSTRASS.
Développements en produits et séries infinis.
sin u cotu
sin2 u
(«V
p'w
2
-•IK
= 2 7/10 -f-
-•n'(
7
l,
\ M — miz ' 7/«
^ (u — miz)*
i \e™ 2 ^
Y ' i '
^ r ]
1
- wy
1 N\
>
i \
(') Les candidats à l'Agrégation de Mathématiques seront auto- risés à se servir, pour les compositions écrites, de ce Tableau qu'ils trouveront à la librairie Gauthier-Villars.
( 3 )
Développements en séries entières.
M» i ^ ' O r t o c Q o o r1' * ' — • • • i 2 J 5 2 J D 7 2 J 3 7
- w«
Relations entre pu et ses dérivées.
Homogénéité.
, JXO) ^ 0 ) , Oi ,
ij li(i) j rrr D ( M I 0 ) , O) )
, I f
Dégénérescence.
71 \2 I
pu —~ - —
^ 3 \2O)
^2 ~ 27^"I = 0 .
71 TZU I / 71 \2
— cotang h - — u,
20) D2W 3 \ 2 ü ) / ' 20) . TZU
71 2 a)
w = x , tû' = oc :
i v i
d=z e2= e^ — o, £ ' 2 = ° Ï gs—°
Périodicité et formules d'addition.
( a + 2ü)) = ^Ii + 2 7], 7) (M + 2 t ü ' ) = Ç W - + - 2 T / , 7)'
rjto'— (or/
le coefiicieiit de i dans le rapport — étant supposé po- sitif.
C*( M -f- V) (fi U — V)
pu — pp = ^~—^ -j
P y / ». , , . v , y i . , , . \ , . y . . p M — p f
2 pil — pV
1 à / p ' u — i ) ' p |
= - - r - '- — ,
•! du\ pu — pv /
\ (p U — p
p(tf + (. o ) -e^( e' ~e 2 ) ( e i~e 3 ),
P(K + Ü) + W') — e2 =
p ( u -f- <•/ ") — e3 =
Racines ei, e2, e3. — Fonctions 3iy o*2,
ry' U = 1
C(ü) -t- tü')
Les fonctions tfo al2, ^3 sont paires.
6/w Cx w a'x w a^x M ' du c'y u ^ a*v w tfv w '
G? 0*X M Cjx U
du cfu "~ a*w
Valeurs réelles de pu quand a> e^ -.- 5o/zf réelles.
Considérons le rectangle de sommets o, w, to -H W', (O/. Quand l'argument w décrit le contour de ce rectangle dans le sens o, to, to -f- to', to', o, la fonction pu diminue constamment de -h oc à — oc :
i° Quand a va de o à to, pu est réel et décroit de oc à eK ; p!u est négatif.
20 Quand u va de to à to -h to', pu décroît de eK à e2, p'u est purement imaginaire positive.
3° La variable u allant de to -j- to' à to', pu décroît de e2 à e3, p'u est réelle et positive.
( 6 )
4° Enfin u revenant de o/ à o, pu décroit de eâ
à —oo; p'u est purement imaginaire négative.
En tout point pris dans le rectangle, pu est imagi- naire.
FONCTIONS DE JACOBI.
Séries trigonométriq lies.
— — ?
q = e 2K
H( M) = i \j q sinp — i \/
Iii(u) = i\/q cosp-f- 2 v/<79 oos 3 (->-+- 2 y/^-5 cos 5 P - H . . . , 1 — 2<7cos2c-+- 2 ^4 cos 4 P —
I r 2 ^ COS2P
(W) = H(M-f. K),
(w) = - 1 H ( M - + - I
1 A
Zéros de ll{u)
e(a)
Produits infinis.
(im - M ) K -h 2 Ait K',
A 2 y/^r A 2 y / ^
C0S2P
— 2 y C0S2P -H #2) (l — l - f - 2 ^ COS 2 ^ -f- ^2) (l - h
( 7 )
Addition d'une demi-période ou d'une période.
K ) = - H ( B ) ,
+ KH- i'K') = — tXe(ii),
Dans tout ce qui suit, nous supposerons K el K/ par- ticularisés de telle façon que
4 / ^i-hiq-ï-iq^-hiq9-*-....
Relations entre les tf et les fonctions de Jacobi.
« * -
Ces formules donnent les fonctions (31 construites avec les périodes spéciales K et i¥J. D'après les formules d'homogénéité, les fonctions G1 construites avec deux pé- riodes oj et tu'', assujetties à la seule condition
s'obtiennent immédiatement :
( 8 )
tü') —
H,(o) e, (
FONCTIONS s n w , e n ? / ,
s n w = — /A
_ /F'
0(O)
Addition d'une demi-période ou d'une période.
. r k' sn u . , . ànu c n ( M 4 - K ), cn(u±iK)=i= c ( ± K ) i
d n w
v snw
-j y
j /c'
en ( u -+- K -f- i K' ) = -. •
v 7 À en u
d n ( a + K + /K') = ik' >
-f- aK) — — sn«, sn(M + 2 i ' K ' ) = snw,
= — en M, CÏI(M + 2 I ' K ' ) = — en M, i¥J) = -- dn M.
( 9)
sn (iu\ K, i'K') =
Argument purement imaginaire.
Relation entre pu et snw.
s n ( w | K ' , ï ' K ) « / „ i i r 'V f, i
d n ( m | K , iK ) = d n ( a | K ' , i K )
Valeurs réelles de snw, en M, dn u quand K e£ K' OA = K, OB = K' ( / ^ . i),
Fig. i.
3/
B C
A x
U
s n ^
u enu
u dn u
0 o
A o
G o
A
i
0
i
A k'
C
k
B
GO
0
I
B
30
B oc
Formules d'addition.
cna = c n ^ en (M — a)+SQMsn(w — a) dna.
À2 sn2 u -f- dn2 u = i,
_ ;
réels.
10 ) enu cnp — cn(u -h v) =
, . . dnudnv--k2snusnv cnuenv an(u -4- v) =
Dérivées.
Si l'on suppose, comme dans ce qui précède, R et ¥J liées par la condition
71 on a
d(snu)
du = cnwdnw,
d(cnu)
, — = — snwdnw, du
d((]nu)
~— = — A:2 sn u en u.
du
Développements en séries entières.
I . '2 . 3
— 8 / , -3( a3- r 33 a ) -
7/2
i . a . 3 . 4
W2
dn u = 1 — /t2 f- /i2(4 -+- -
yi . 2 . 3 . 4 . 5 . G " "
Autre notation. Fonctions 2r.
JL 9 2_5.
*:) = 2<7* sin i^Tû — 2^r*sin 3 ^ 7 H - 2 ^ r4 s
1 9 l-3
x) = 'iq'* ÇOSVTZ -\- iq'* cos 3VTT -f- iq 4
I x) = i -\- 2q cos 2 fit -\-iqk cos 4 f Te -h iq9 cos6<>it -
| T ) = i — 2 gr cos 2 PIT -\-iq'* cos 4 fit — i
