Note sur l'eulérienne

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N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

A URIC

Note sur l’eulérienne

Nouvelles annales de mathématiques 4^e série, tome 15 (1915), p. 321-326

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[K'2d]

NOTE SUR L'EULÉRUNNE ;

PAR M. A U R I C .

Si, dans un triangle A^I. \²A³, pris comme triangle de référence, on mène les céviennes de deux points P, Q dont les coordonnées barycentriques sont —> —, —

J ^ Pi P% Pi

et —, —-, —, les pieds des céviennes sont sur une co-

qt q* Çi r

nique E dont l'équation e»l

et que nous appellerons eulérienne (*) parce que si P est le barycentre G, et Q forthocentre H, la conique obtenue est le cercle des neuf points.

Si nous posons

^Ç^ Pi ^ ^ qi

les autres poinls d'intersection des céviennes A⁴P, A4 Q avec E sont

Pi

La droite PQ est tangente à E si OŒ = i ou pv = g;

P et Q sont conjugués par rapport à E si po- = 3.

L'équation de l'eulérienne s'écrit

(^l) Lorsque P et Q sont confondus, l'eulérienne devient une conique inscrite.

Ann. de Mathémat., 4- série, t. XV. (Juillet 1915.) 22

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ce qui montre que E est homothétique à la conique circonscrite que représente le second membre.

En particulier, si P est en G,

Pi = Pi — Ps,

QenH,

qx = cot Ai, <72=cotA2, ^3=cotA3, cot A,

sin A^in A²sin A³

qui est l'équation du cercle circonscrit comme on devait s'v attendre puisque, dans ce cas, l'eulérienne est un cercle.

L'équation de E s'écrit également

ce qui montre que E, la conique circonscrite

et la conique conjuguée,

=z o

appartiennent au même faisceau dont les cordes d'in- tersection sont Ipi ^ , = o e t Zcji x^K = o.

Enfin, E peut aussi s'écrire

Sous cette forme, on voit que E appartient au faisceau de deux coniques inscrites dans A4AoA3, les céviennes des points de contact concourant en

(R) — 1 — , — i — , ! et

(S) - J _ , —^l— ,

Pi — qi Pi—$2

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( 3 * 3 ) On a donc la proposition suivante :

Soient quatre points P, Q, R, S dont les inverses forment une division harmonique : si l'on construit les coniques inscrites dont les points de contact sont les pieds des céviennès des points R et S, les points d'intersection de ces deux coniques sont sur l'eulé- rienne des points P et Q, et réciproquement.

Si l'on pose

l'équation tangentielle de l'eulérienne est

EX? U\ — 2(X2X3-f- 2fJL2^3)w2«3=r

Les coordonnées du centre de E sont

! — X2) - h

On voit aisément que l'équation de E peut se mettre sous la forme d'un déterminant

0 i i 1 o i i i o

Si nous considérons la conique circonscrite

et si nous appelons t^ht²t$ le pôle par rapport à cette conique de la droite

U\ X\ -f-

on voit aisément que, si l'on a la relation

le lieu du point représentatif U est une eulérienne si

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N est fixe, de même que le lieu de N est une eulérienne si U est fixe.

L'équation de cette eulérienne est

O I I O I I i\Ui \^n2u

i i

o

! À37I3W3 n{ui n2u2

n3u3 0

Si Ton a la relation

le lieu de ï , si LJ est fixe, est l'eulérienne

0 1 1 o

1 [

u2t2

" 3 * 3

o

En particulier, si ut — «2 — Wsj Ie lieu du pôle de c'est-à-dire du centre, est une eulérienne.

Considérons la conique inscrite

Si l'on a comme ci-dessus

le lieu du point représentatif T est une eulérienne si M est fixe, de même que le lieu de M est uue eulé- rienne si T e>t tixe.

L'équation de cette eulérienne est

m2t2

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Si l'on a la relation

(jLt mt H- JJL2 mi -h ^3 m<i = o ,

le lieu de U, si T est fixe, est l'eulérienne

o

I I

I

o

I I I

o

Enfin, on démonlre la proposition suivante : Pour que la conique inscrite ci-dessus

Smf x\ —

soit conjuguée par rapport aux poinls B, C, il faut que le point représentatif M se trouve sur Teulérienne des points ^ et ^

Nous appellerons eulérienne généralisée laconique dont l'équation est

En appelant a,, j3j les mineurs du discriminant h b3 b2

A = bx

bi bi a

on trouve que cette équation développée est

Si l'on considère la conique

léki n\x\ -f- 2 n^n^x^x^ = 0

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et si l'on appelle, comme précédemment, tit2ts\e pôle de la droite

avec la condition

X, tx ux -+- X2 tt ut-+- X3 *3 w3 = o,

on obtiendra les deux eulériennes suivantes en élimi- nant successivement tt et ut,

A²

i r X

x,

A 3 — 1

- k6

- A2 ,AZ

*.

I

Al,

1

A-i

i

X

i

* • i

«. u 2 A2 ——

nt

— Ai

- A ,

2n²t²

>

i

* 3

^3 —

I - I —

kxki X³/i.

ux Al,

n2

« 3

O

kt

kx

— i

j ^3

= O,

" l ' i Al2^2

0

Ce sont deux eulériennes corrélatives.

On peut transformer, en effet, la définition de l'en—

lérienne et dire : Si deux droites coupent les côtés du triangle de référence en P , P2P3, Q I Q 2 Q 3 Î le s six cé- viennes A | Ph AjQ< sont langentes à une conique qui est la corrélative de l'eulériennc.

Enfin, on démontrerait facilement que, si dans l'eu- lérienne

SpiÇiO;] — (pt qz H- pz q^)xîxzr= o.

on fait

qt s= pt cot Ai,

Teulérienne obtenue est tangente à quatre coniques inscrites, ce qui est une généralisation du théorème de Feuerbach.