Sur les conditions de divisibilité d'un produit de factorielles par un autre (supplément)

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

E. L ^ANDAU

Sur les conditions de divisibilité d’un produit de factorielles par un autre (supplément)

Nouvelles annales de mathématiques 4

série, tome 13

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[I2e]

SIR LES CO\DITîO\S DE DIVISIBILITÉ D U\ PRODUIT DE FACTORIELLES PAR UN AUTRE (SUPPLÉMENT);

Par M. E. LANDAU, à Göttingen.

Dans le Tome XIX (1900) de la 3e série de ce Recueil (p. 344-362 et 5^6), j'ai publié un Mémoire sous ce litre. Son résultat principal est le théorème du n° IV, cité seul dans mon résumé au Tome XX.X1 du Jahrbuch fur die Fortschritte der Matheinatik (p. 183-184) et dans les Traités sur la Théorie des nombres par KRO^ECKER-HEJVSEL (t. I, p. 5oo-5oi) et

BACHMIIVN {Niedere Zahlentheorie, t. I, p. 64). Je n'ai rien à ajouter concernant ce théorème. Mais tout récemment MM. Hurwitz et Pólya ont remarqué indé- pendamment que la démonstration du théorème à la fin du n° III (qui n'est pas appliqué dans la suite ni dans aucun de mes travaux ultérieurs) contient une inexac- titude. Elle est cependant, comme M. Pólya me l'a com- muniqué bientôt après, facile à rectifier, de sorte que le théorème même du n° 111 est juste.

Étant données (•) q formes linéaires à coefficients

(*) Je numérote ici consécutivement les

ua (i^a < m) et vx ( 1 ^ T < n) du n° III.

Ann. de Mathémat., 4e série, t. M i l . ( A o û t i g i 3 ) 10

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e n t i e r s a v e c r v a r i a b l e s Xi ( i = i , . . . , / • )

U(X) = Yvia?l • + - . . . - + - ï v / « r (v = J, . . . , q),

il s'agit de démontrer ceci : Soit donné un système de valeurs réelles z^{, . . . , z^r telles que les h^y(z) sont tous ^ o ; on peut trouver pour les variables des valeurs commensurablesy^{, ...,y^r telles que

(0 [LiO0] = [Li(*)], .-M l M - r ) ] = [M*>]- La preuve indiquée pour ceci à l'endroit cité est incorrecte ; voici le raisonnement correct de M. Pólya : On peut supposer qu'aucune des formes Lv(j?) ne soit identiquement nulle.

1. Si aucun des q nombres ^LV(JS) n'est entier, Passer- lion est évidente, puisque des changements suffisam- ment petits des x n'altèrent pas, dans ce cas, les nombres [Lv]«

2. S'il y a s > i entiers parmi les Lv(s), supposons, ce qui est permis, que L| (:?), L²( s ) , ..., h^s(z) (i^s^q) soient entiers, que les formes L | ( # ) , L2( ^ ) , . . . , h((x) (i ^.t<s) soient indépendantes, tandis que, pour t < 5, les formes L^c+l(x), . . . , \*^s{x) en dépendent.

Soit w le nombre des variables dont L,, . . . , h^t (ou, ce qui revient au même, Lt, . . . , Ls) dépendent effec- tivement.

a. Si tv = t, les valeurs des w variables sont ration- nelles; on conserve ces valeurs pour le nouveau sys- tème (y). Pourvu qu'on donne, pour w << r, aux r — w variables restantes des valeurs rationnelles yi suffisam- ment rapprochées des anciennes valeurs s£-, (i) est satisfait.

b. Si w > /, on peut donner à certaines r — t va-

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riables des valeurs nouvelles et rationnelles s'écartant si peu des anciennes valeurs qu'en calculant les t autres variables au moyen des t équations linéaires

L,(r) = L1(z), ..., U(jr) = Lt(M), (i) est satisfait; tous les y seront rationnels.