2. Indépendance
a) Définition
Intuitivement, deux événements , sont indépendants si l’un n’influe pas sur l’autre.
On pourrait écrire que ne dépend pas de si ( ) = ( ). En tenant compte de la définition d’une probabilité conditionnelle, on obtient ( ) = ( ∩ )
( ) , ce qui devient : ( ∩ ) = ( ) × ( )
Cette condition a l’avantage d’être symétrique, c’est elle que nous utiliserons b) Remarques
L’indépendance ne se présume pas, elle se prouve (ou est donnée par l’énoncé)
Par exemple, dans une classe de 30 élèves, 12 font de l’allemand, 8 du théâtre, et 2 font à la fois de l’allemand et du théâtre. Si on prend un élève au hasard, est-ce que les événements
« il fait de l’allemand » et « il fait du théâtre » sont indépendants ?
Indépendants n’est pas synonyme d’incompatibles
Le fait qu’il y ait une dépendance ne signifie pas forcément qu’il y a une causalité.
c) Théorème (ROC)
Si et sont indépendants, il en est de même de ̅ et
Preuve : Soient , deux événements indépendants. Alors ( ∩ ) = On veut prouver que ̅ et sont indépendants, c’est-à-dire que
Les événements ∩ et ̅ ∩ sont incompatibles, et leur réunion est On en déduit que ( ∩ ) + ( ̅ ∩ ) =
Donc ( ̅ ∩ ) =
On remplace dans cette égalité ( ∩ ) par On a enfin
CQFD
