Classe de terminale 14 Mercredi 2 avril 2008 Devoir de mathématiques n°5
Exercice 1 (6 points)
La courbe ci-contre représente une fonction f . La droite est tangente à la courbe au point d’abscisse 0. Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes (on expliquera) : 1. Que vaut (2)f ?
2. Combien l’équation f x( )=0 a-t- elle de solutions ?
3. Combien l’équation f x'( )=0 a-t- elle de solutions ?
4. Donner une équation de la tangente.
5. Quels sont les antécédents de –1 ?
Exercice 2 (Bac STG, La Réunion 2007, 14 points)
Une entreprise produit des appareils électroménagers. Le coût horaire de production de x appareils est donné en euros par C x( )=x2+50x+100, où 5≤ ≤x 40.
1. Chaque appareil est vendu 100 €.
a) Expliquer pourquoi le bénéfice horaire réalisé pour la vente de x objets est égal à la fonction B définie par B x( )= − +x2 50x−100 pour 5≤ ≤x 40.
b) Calculer la dérivée B de B et étudier le signe de ' B . ' c) Dresser le tableau de variation de B.
d) Quel est le nombre d’appareils à produire pour que le bénéfice horaire soit maximal ?
2. Le coût moyen de production est obtenu par ( ) ( ) C x
f x = x pour 5≤ ≤x 40 .
a) Montrer que 100
( ) 50
f x x
= + + x pour 5≤ ≤x 40.
b) Calculer la dérivée f de f et montrer que '
( )
2
10)( 10)
'( ) x x
f x x
− +
= .
c) Etudier le signe de f pour 5' ≤ ≤x 40 et dresser le tableau de variation de f.
d) Pour quelle valeur de x le coût moyen est-il minimal ? Préciser la valeur de ce coût minimal.
e) Reproduire et compléter le tableau ci-dessous (on arrondira au centime d’euro):
x 5 10 20 30 40
f(x)
f) Tracer la courbe de f pour 5≤ ≤x 40. Echelle : 1cm pour 5 appareils en abscisse, 1 cm pour 10 € en ordonnée.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
