lt./\ - : \-2 (À or't:{ /l's -

Univ. Paris

VIII,

2012-2013

ExaupN ^D'ANALysE 1 - ^DpuxrÈuE

^SESSToN

Les calculatrices sont interdites, et les téléphones portables dofuent être éteints.

Exercice 1-

lz b.sJl .,,,O.: _{'. 'a} l.

^{Calculer les limites de}

_/(z)

^quand

^ir

tend vers

-oo. -5. l.

^+oo,

^oiI T\ù: #".

/ 1,5 ^2.

Calculer la

limite

quand

r

tend vers

+xt

^de

J?+5x+2-JA +2r+5.

3.

Démontrer que la fonction.g défrnie comme suit est continue en 0 ^:

/l's _or't:{

1''t"+(2r+1)2sir>o [ ^1si :r<0

/2,lo,q*A,; ^4. En notant h(x) : a2r/117o",

calculer

la

dérivée de À en précisant

le

domaine de

l L'

déflnition de lr, celui de à/, et en pensant bien à décomposer Ie calcul.

Exercice 2 -

Partie

A

^Soit

/

^{Ia fonction} définie sur ^lR par

(À \-2 l@):"2"("" -

^z)2'

On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal.

1O,

S t. ^(a)

Calculer

lim'11- _/(z).

/O,5 ^(ô)

Démontrer que la droite d'équation

g:0

est asymptote à C

en

^oo.

2.

On désigne par

//

la fonction dérivée de

/.

(a)

Démontrer que pour

tout r

^{€ IR on a}

/.t.s f,(r)--4e2'(e'-t)(e,,2).

/+ _(à)

Dresser le tableau de variations de

/.

/4,,5 ^3.

Donner suivant la valeur de rn Ie nombre de solutions de l'équation

J(r) :

rn dans IR.

Parti,e

B

Notons -F la fonction définie sur ^IR par

F@) :

#G" -

^{2)2 (Je2"}

-

^4e'

-

^4),

et

I

^sa courbe représentative.

/2 1. ^(a)

Calculer

Ft(r)

et vériûer que

Ft(x): f(r).

/o,s (b)

Vérifier que

F(ln2) :6.

lt./\ +/0.c)

/,1 /4

A-

(c)

Calculer

limr11- F(c).

Démontrer que

I

^{admet une} a,symptote horizontale en

-oo

^et en donner une équation.

(d)

Dresser le tableau ^de r,nriations de

f'.

2. Etudier

les positions relatives de C

et I.

^Pour cela, on pensera à étudier

le

signe de

F f.

3. tacer

C et

l.