Bendixson
Énoné
Ononsidèrelesystèmededeuxéquationsdiérentiellesordinairessuivant:
_ x=y
_
y= x+y 1 x 2
2y 2
(S)
1. Reherherlespointsd'équilibre.
2. Faire del'étudedelastabilitéauvoisinagedespointsd'équilibre.
3. SoitlafontionV (x;y)= x
2
2 +
y 2
2
. MontrerqueV estunefontiondénie
positiveeténonerlethéorèmedeLyapunovpourfontionfaible. Caluler
_
V.
4. Étudierlesignede _
V pourx 2
+y 2
<
1
2
. Qu'endéduisez-vous(développer)
? Cerésultatest-ilohérentaveeluidelaquestion2?
5. Étudierlesignede _
V pourx 2
+y 2
>1,etendéduireunensembleattra-
tant. Énoner le théorème de Poinaré-Bendixson et l'appliquer. Con-
lure.