DS n° MATHEMATIQUES 1°STGG-2008-2009 Exercice 1 : ( 8 points )
Soit g la fonction définie sur [ 0;5] par g x( ) x2 5x4 . 1. Vérifier que x2 5x 4 (1 x x)( 4).
2. Résoudre l’équation g x( ) 0 .
3. Etudier algébriquement le signe de g x( )selon les valeurs de x.
4. En utilisant le graphique ci-dessous dresser le tableau de variation deg . 5. Quels sont les antécédents de – 4 par la fonction g? de 2 par la fonction g? 6. Construire la droite d’équation : y 1 x
En utilisant le graphique, donner les solutions de l’équation g x( ) 1 x.
7. Développer l’expression :(1x x)( 5), puis résoudre par le calcul l’inéquation g x( ) 1 x. 8- Montrer que l’équation g x( ) 1 admet une solution unique sur [ 1 ; 2 ] et une solution unique sur [ 3 ; 4 ]. Trouver à l’aide de la calculatrice la valeur de et la valeur de à 0,01 près
2 3 4 5 6
2
-1
-2
-3
-4
0 1
1
x y
Exercice 2- (4points) Partie A
Une entreprise fabrique des jouets qu’elle vend par lots. Elle peut fabriquer jusqu’à 15 lots par jour et, lorsqu'elle fabrique et vend x lots, le coût de fabrication journalier correspondant est donné, en
3 2
[2;15]
De plus, le prix de vente d'un lot dépend du nombre x de lots vendus et il est exprimé, en centaine d'euros, par : P x( ) 7, 2 0,3 x.
1) Montrer que le montant de la recette journalière correspondant à la vente de x lots est donné, en centaine d'euros, par : R x( ) 7, 2 x0,3x2..
2) a) Reproduire et compléter le tableau suivant. (Les résultats seront donnés en nombres entiers)
x 3 5 7 8 9 10 12 14
Coût de production (en centaine d'euros) Recette journalière (en centaine d'euros) Bénéfice journalier (en centaine d'euros)
b. Combien doit-on produire de lots pour que l'entreprise réalise un bénéfice chaque jour ? Justifier.
c. Pour quel nombre de lots le bénéfice vous paraît-il maximum ? Justifier.
Exercice 3: 8 points
Dans une entreprise, la fabrication journalière de x litres d’un certain produit chimique impose un coût de fabrication, en euros, noté C x( ).Ce produit étant revendu au prix de 7,5 euros par litre, le chiffre d’affaires, en euros, réalisé par l’entreprise, pour la vente de x litres de ce produit est donc le nombre réel R x( ) 7,5 x
Partie A
On a tracé la courbe représentative de la fonction Cdans un repère orthogonal ; le volume en litres de produit fabriqué est porté en abscisses et le coût de fabrication en euros est porté en ordonnées.
1. Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes :
a. Quel est le coût de fabrication pour une production journalière de 40 litres ? de 90 litres ? b. Quelle est la production journalière maximale pour que le coût n’excède pas 400 euros ?
2. Dans le repère précédent, tracer la droite d’équation y7,5xet déterminer graphiquement combien l’entreprise doit fabriquer d’unités pour être bénéficiaire.
Partie B
Dans la suite de l’exercice, on admet que la fonctionCest définie pour tout nombre réel par la relation C x( ) 0, 0625 x21, 25x100
1.a. Calculer le bénéfice B x( )R x( )C x( )
b. Montrer que pour tout réel x de l’intervalle [0 ;100] :B x( )g x( ) f x( ) 56, 25 0,0625( x50)2 c. Vérifier que B x( ) (0, 25 x5)(20 0, 25 ) x
d. Etudier algébriquement le signe de B x( )selon les valeurs de x. En déduire sur quel intervalle , l’entreprise réalise un bénéfice.
2. En déduire le bénéfice maximal que l’entreprise peut réaliser, en précisant la production journalière correspondante.
Exercice 2- (4points)
Partie A
1) La recette journalière est égale au produit du prix de vente d’un lot P(x), multiplié par le nombre x de lots vendus, soit : R x( ) x P x( )x
7,2 0,3 x
7,2x0,3x2Le graphique suivant décrit le montant des recettes journalières R et le coût de production C en fonction du nombre de lots x fabriqués et vendus par jour.
2) a) Reproduire et compléter le tableau suivant. (Les résultats seront donnés en nombres entiers)
x 3 5 7 8 9 10 12 14
Coût de production (en centaine d'euros) 8 13 12,7 15 19 26 56 115 Recette journalière (en centaine d'euros) 19 28 35,7 38,4 40,5 42 43 42 Bénéfice journalier (en centaine d'euros) 11 12 23 23,4 21,5 16 13 73 b) On doit produire une quantité de lots comprises entre 2 lots et 11 lots (on suppose que l’on ne peut fabriquer qu’un nombre entier de lots) : cela correspond à la zone où la courbe des recettes est située au dessus de la courbe des coûts.
c) Dans le tableau, le bénéfice est maximum pour 8 lots. Il semble que pour 8, l’écart entre la recette et le coût soit encore un peu plus grand (38 – 15 = 23).
( C )
( R )
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
0 1
5
x y
Coût ( en € )
volume en L 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 100
150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750
0 10 50
x y
A
D
F
E
B
C
Exercice 2
C
R
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
0 1
5
x y
coût ( en €) C
volume (enL)
20 30 40 50 60 70 80 90
100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650
0 10
50
x y
