Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚7 Ensembles et applications
Exercice 42 (Inclusion d’un ensemble dans un autre) Soient les ensemblesE et F d´efinis par :
E={(2 +t,5−2t,3−t)|t∈R} et F ={(x, y, z)∈R3|x+y−z= 4}. 1. Montrer queE est inclus dansF.
2. Montrer queF n’est pas inclus dansE.
Exercice 43 (´Egalit´e de deux ensembles) Montrer que les ensemblesE etF d´efinis par :
E={(x, y)∈R2|2x−3y+ 1 = 0} et F ={(1 + 3t,1 + 2t)|t∈R}. sont ´egaux.
Exercice 44 (Ensemble des parties d’un ensemble `a quatre ´el´ements) D´ecrire en extensionP(E), lorsqueE est l’ensemble `a quatre ´el´ements{a, b, c, d}.
Exercice 45 (Diff´erence sym´etrique)
Soit E un ensemble. Pour tout (A, B) ∈ P(E)2, la diff´erence sym´etrique de A et B est la partie de E not´ee A∆B d´efinie par :
A∆B ={x∈E|x∈A∪B etx /∈A∩B}.
1. Repr´esenter la diff´erence sym´etrique de deux parties de E `a l’aide d’un diagramme de Venn.
2. Soit (A, B)∈ P(E)2.
(a) Montrer queA∆B= (A∩B)∪(A∩B).
(b) Montrer queA∆B=B∆A.
3. SoitAune partie de E.
(a) CalculerA∆∅. (b) CalculerA∆E.
(c) CalculerA∆A.
(d) CalculerA∆A.
4. Soit (A, B, C)∈ P(E)3.
(a) Montrer que (A∆B) ∆C=A∆ (B∆C).
(b) Montrer que (A∆B)∩C= (A∩C) ∆ (B∩C).
(c) Montrer que (A∆B)∪C= (A∪C) ∆ (B∪C).
Exercice 46 (Compos´ee d’applications) 1. Soient les applications
f1 : R → R x 7→ x+ 1
et f2 :R → R
x 7→ x2. (a) Montrer que la compos´eef2 ◦f1 est bien d´efinie et la calculer.
1
(b) Montrer que la compos´eef1 ◦f2 est bien d´efinie et la calculer.
(c) Comparer les applicationsf2 ◦f1 etf1 ◦f2, puis commenter.
2. Soient les applications
f1 : ]− ∞,2[ → R x 7→ 2−x
et f2 : [0,+∞[ → R x 7→ √x.
(a) Montrer que la compos´eef2 ◦f1 est bien d´efinie et la calculer.
(b) La compos´eef1◦f2est-elle d´efinie ? 3. Soit l’application
f : R → R
x 7→ e√x2+1. Donner trois applications ≪usuelles≫ f1,f2,f3v´erifiant :
(a) la compos´eef3◦f2◦f1 est bien d´efinie ; (b) f =f3◦f2◦f1.
Exercice 47 (Injectivit´e, surjectivit´e et bijectivit´e)
Etudier l’injectivit´e, la surjectivit´e et la bijectivit´e des applications suivantes.´
f1 : N → N n 7→ n+ 1
f2 : Z → Z n 7→ n+ 1
f3 : N → N
n 7→
0 sin= 0 n−1 sin≥1 f4 : R → R
x 7→ x2+x f5 : R → U
θ 7→ eiθ
f6 : C → C z 7→ z3
f7 : R2 → R2 (x, y) 7→ (2x−y, x+ 3y)
f8 : R2 → R3 (x, y) 7→ (x, x+y, y)
f9 : P(Z) → P(Z) A 7→ A∩N
Exercice 48 (Bijectivit´e et application r´eciproque d’une application affine) Soit l’application
f : R → R
x 7→ 2x−3.
Montrer que l’applicationf est bijective et d´eterminer son application r´eciproque.
Exercice 49 (Bijectivit´e et application r´eciproque d’une homographie) Soit l’application
f : C\ {3} → C\ {i} z 7→ iz−i
z−3. 1. Montrer que l’applicationf est bien d´efinie.
2. Montrer que l’applicationf est bijective et d´eterminer son application r´eciproque.
Exercice 50 (Bijectivit´e et application r´eciproque d’une involution) SoitE un ensemble et soitf:E→E une application telle quef◦f =idE.
1. D´emontrer quef est bijective.
2. D´eterminerf−1.
2
Exercice 51 (Injectivit´e, surjectivit´e, bijectivit´e et compos´ee)
SoientE etF deux ensembles et soient deux applicationsf:E→F et g:F →E. On suppose queg◦f◦g◦f est surjective et quef ◦g◦f ◦g est injective. Montrer quef etg sont bijectives.
Exercice 52 (Injectivit´e, surjectivit´e, somme et produit des racines d’un trinˆome du second degr´e) On fixe un rep`ere (O;−→i ,−→j) du plan. Soit l’application
f : R2 → R2 (x, y) 7→ (x+y, xy).
1. ´Etudier l’injectivit´e def.
2. Montrer quef n’est pas surjective.
3. D´eterminer l’ensemblef(R2) et le repr´esenter graphiquement.
4. D´eterminer une partie DdeR2, que l’on repr´esentera graphiquement, telle que f induise une bijectionfe deDsurf(R2).
5. Expliciterfe−1.
Exercice 53 (Injectivit´e, surjectivit´e, bijectivit´e et ensemble des parties d’un ensemble) SoitE un ensemble non vide et soit (A, B)∈ P(E)2. Soit l’application
f : P(E) → P(A)× P(B) X 7→ (A∩X, B∩X).
1. Montrer quef est surjective si et seulement siA∩B =∅.
2. Donner une condition n´ecessaire et suffisante pour quef soit injective.
3. Donner une condition n´ecessaire et suffisante pour quef soit bijective.
Exercice 54 (Calcul d’images directes et d’images r´eciproques) 1. Soit l’application
f : [−1,3] → R x 7→ 3−2x.
(a) Calculerf([0,2]).
(b) Calculerf−1([−2,8]).
2. Soit l’application
f : R → R
x 7→ x2+ 2x.
(a) Calculerf([−3,2]).
(b) Calculerf−1([−10,22]).
Exercice 55 (Image directe d’une intersection et injectivit´e)
1. Soient Eet F deux ensembles et soitf:E→F une application. Montrer que sif est injective, alors
∀A∈ P(E), ∀B∈ P(E), f(A∩B) =f(A)∩f(B).
2. Donner deux ensemblesE etF, une applicationf:E→F et deux partiesA,B deE telles que : f(A∩B)6=f(A)∩f(B).
Exercice 56 (Application du plan dans lui-mˆeme stabilisant une famille de droites) On munit le plan usuelP d’un rep`ere orthonorm´e (O;−→i ,−→j).
1. Soitf:P → P une application telle que pour tout droiteDdu plan,f(D)⊂ D.Montrer quef =idP. 2. Soit f:P → P une application telle que pour tout droite Ddu plan passant par O, f(D)⊂ D. A-t-on
n´ecessairementf =idP?
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Exercice 57 (Fonction indicatrice d’une partie d’un ensemble)
D´efinition (Fonction indicatrice d’une partie d’un ensemble)
SoitE un ensemble. Soit Aune partie deE. La fonction indicatrice deAest l’application not´ee1A qui est d´efinie par :
1A : E → {0,1} x 7→
1 six∈A 0 six /∈A.
1. Soit la partie ]−1,3] ={x∈R | −1< x≤3} deR. Calculer les valeurs suivantes.
1]−1,3](−10) ; 1]−1,3](−1) ; 1]−1,3](1) ; 1]−1,3](3) ; 1]−1,3](5) 2. SoitE un ensemble. SoientAetB des parties deE.
(a) Calculer1∅(x), pour toutx∈E.
(b) Calculer1E(x), pour toutx∈E.
(c) D´emontrer que pour toutx∈E :
1A(x) = 1−1A(x).
(d) D´emontrer que pour toutx∈E :
1A∩B(x) =1A(x)×1B(x).
(e) Soitx∈ E. D´eduire des questions 2.(c), 2.(d) et des lois de Morgan pour les ensembles une expression de1A∪B(x) en fonction de1A(x) et de 1B(x).
(f) Soit x ∈ E. D´eduire des questions 2.(c), 2.(d) et 2.(e) une expression de 1A∆B(x) en fonction de 1A(x) et de 1B(x) (cf. exercice 45 pour la d´efinition de A∆B).
3. SoitE un ensemble. D´emontrer que l’application
ι : P(E) → {0,1}E A 7→ 1A
est bijective.
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