Lycée Benjamin Franklin PTSI−2014-2015
D. Blottière Mathématiques
Feuille d’exercices n°7 Ensembles
Exercice 48
Soient les ensemblesEetFdéfinis par
E:={(2+t,5−2t,3−t) :t∈R} et F:=©
(x,y,z)∈R3:x+y−z=4ª . 1. Montrer queEest inclus dansF.
2. Montrer queFn’est pas inclus dansE.
Exercice 49
Montrer que les ensemblesEetFdéfinis par E:=©
(x,y)∈R2: 2x−3y+1=0ª
et F:={(1+3t,1+2t) :t∈R}.
sont égaux.
Exercice 50
Soient les deux partiesP1etP2deR3définies par P1:=©
(x,y,z)∈R3:x+y−z=0ª
et P2:=©
(1+k1,1+k2,1+k1+k2)|(k1,k2)∈R2ª . Étudier l’intersection deP1etP2.
Exercice 51
DécrireP(E) en extension, lorsqueEest l’ensemble à trois éléments {a,b,c}.
Exercice 52
SoitEun ensemble. Soit (A,B)∈P(E)2fixé. Résoudre l’équation A∩X=B d’inconnueX∈P(E). On distinguera plusieurs cas.
Exercice 53
SoitEun ensemble. Pour tout (A,B)∈P(E)2, la différence symétrique deAetBest la partie deE, qui est notée A∆B, et qui est définie par
A∆B:={x∈E|x∈A∪Betx∉A∩B}.
1. Représenter la différence symétrique de deux parties deEà l’aide d’un diagramme de Venn.
2. Soit (A,B)∈P(E)2.
(a) Montrer queA∆B=(A∩B)∪(A∩B).
(b) Montrer queA∆B=B∆A.
3. SoitA∈P(E).
(a) CalculerA∆;.
(b) CalculerA∆E. (c) CalculerA∆A.
(d) CalculerA∆A.
4. Soit (A,B,C)∈P(E)3.
(a) Montrer que (A∆B)∆C=A∆(B∆C).
(b) Montrer que (A∆B)∩C=(A∩C)∆(B∩C).
(c) Montrer que (A∆B)∪C=(A∪C)∆(B∪C).
