Théorème d'inégalité sur un produit continu ; d'après M. le Dr Schlomilch

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N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

Théorème d’inégalité sur un produit continu

; d’après M. le Dr Schlomilch

Nouvelles annales de mathématiques 1

^re

série, tome 19 (1860), p. 280-281

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**( *8o)**

THÉORÈME DINÉGALITÉ SVB UN PRODUIT CONTINU;

D'APEES M. LE D' SCHLOMILCH.

THÉORÈME. I * . 2 \ 3 * . . . n* > nn.

Démonstration. On a l'inégalité

^ a — b

lorsque a^> b^> q.

Faisant

b =. m, a = m -f- i ,

il vient

m ( m -f- i)w

1)

7

"""

1

(excepté pour w m

Faisant successivement m égal à i, 2, 3,...,ra — 1, et multipliant ces inégalités, on obtient

Corollaire. La série

log I log 2

/2-hi

devient infinie lorsque n = 00 . En effet

Tn

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Or 2log i • 2 . 3 . . • ft^> nlogn (voir ci-dessus), doue

donc, etc.