N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
G ENOCCHI
Seconde solution de la question 457
Nouvelles annales de mathématiques 1resérie, tome 18 (1859), p. 161-163
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SECONDE SOLUTION DE U QUESTION 457
(voir page 125) ;
PAR M. GENOCCHI.
La sérié proposée est un cas particulier de là série ky- pergéométrique
n '; 1 . 7 1 . 2 . 7 ( 7 4 - 1 )
Afin, de MathémaU, l. XVIII. (Mai 1859.) I *
que Gauss a considérée d'une manière générale et avec toute la rigueur désirable. Il a exprimé la somme de cette série par des fonctions gamma, et donné la condition nécessaire et suffisante de sa convergence qui est simple- ment la suivante
a-f- p + 7^O- En faisant
on trouve la formule de M. Catalan.
On peut aussi la démontrer par la méthode de Parse- val. On a
/ _ ! l l . ' -1-3 3
\ I — X — I — — OC j X j pr X —— * * * 9
séries qui sont convergentes toutes les deux lorsque le module analytique de x est l'unité. En multipliant, on obtient un résultat de cette forme
( ) ^ ( -<) = A où
I . I . 3 \2
Je fais maintenant
x = cos <p -h y — 1 sin <p,
je multiplie (1) par d<p et j'intègre de <p = o à <p= 21:.
Il vient
— ( x - h .tf"1 ) = y/2 — 2 c° s y = 2 sin - <p, 2
xm = cos m cp -f- y-—7sin w 7, x - * = cos /2y — y/—1 sin n «p,
et, par suite,
T, d'où A = â .
On a une autre démonstration en multipliant l'é- quation
I « . . ! • ï i — JT — z2 s i n2 © = — z2 sin2 © H ^-T Z* sin4 «
7 2 2 . 4
1 . 1 . 3 .
H 7 — 3 Z6s i nc© H - . . .
dz do . , 1 1 . .
par — ^ et intégrant entre les limites 2 = 0, z = 1,
9 = O , CD = - 7 1 .
1 l 2
Je remarquerai encore que Gauss a aussi transformé la série F (a, (3, y) en fraction continue, et en un produit d'une infinité de facteurs, mais qu'il n'est pas l'inventeur de la décomposition de l'intégrale eulérienne B (p, q) en un nombre infini de facteurs : cette décomposition est due à Euler lui-même dont les formules et les méthodes sont rapportées par Lacroix dans le n i volume de son grand Traité.
