Correction exercice 117 p 159

Correction exercice 117 p 159

Pour tout réel x > 0, on a ( )f x =2 ( (ln )²x a x +bln( )x +c)

1. a) f est le produit de deux fonctions u et v avec pour toutx>0, ( )u x =2x et v x( )=a(ln )²x +blnx+c. u est dérivable sur

]

^0;+∞

[

ainsi que v car somme de fonctions dérivables sur

]

^0;+∞

[

, donc f est dérivable sur

]

^0;+∞

[

^{et x}

]

^0;

[

^{, f '( )x 2( (ln )²a x blnx c) 2x 2 lna x1 b}

x x

 

∀ ∈ +∞ = + + +  + 

  cad

]

^0;

[

^{, '( )} 2( (ln )² (2 ) ln )

x f x a x a b x c b

∀ ∈ +∞ = + + + +

b) On rappelle que lorsqu’une fonction f est dérivable en a, f’(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse a.

Ainsi, on déduit les trois égalités suivantes :

( )

' 1 0

' 0

2 0

'( ) '( ) 4

2 f e

f e

f e e cad f e e e

 =

  

=

= − =

−

De ces égalités, on déduit alors les trois relations suivantes :

( ) ( ( ( ) ) ^{( )} )

1 1 1

' 2 ln ² (2 ) ln

' 2 ln ² (2 ) ln

'( ) 2( (ln )² (2 ) ln )

f a a b c b

e e e

f e a e a b e c b

f e a e a b e c b

   

     

=  + + + + 

      

        

= + + + +

= + + + +

et donc comme ln (e) = 1,

( )

( )

( ) ^{( )} ( )

1 1

' 2 ln ² (2 ) ln 0, ln ln

1 1 1

' 2 ln ² (2 ) ln 0, ln ln

2 2 2

'( ) 2( (ln )² (2 ) ln )

f a e a b e c b car pour tout x x

e x

f e a e a b e c b car pour tout x x x

f e a e a b e c b

   

= − − + + + > = −

   

   

   

=    + + + +  > =

 

 

= + + + +

ce qui nous donne le système de trois équations à trois inconnues suivant :

0 2

0 5 3 2 9 6 0 9 6 0 9 6(1 2 ) 0 2

2 8 4 4 2 1 1 2 3

4 6 4 2

a c

a c a c a c a

a b c c b c b c c c

c b c b b c b

a b c

= − +

  =  =  =  =

    

= + + ⇔ + = ⇔ + = ⇔ + − = ⇔ =

    

 = + +  + =  + =  = −  = −



donc ^{S =}

{

^{(2; 3; 2)−}

}

et par suite, pour tout réel x > 0, on a f x( )=2 (2(ln )² 3ln( ) 2)x x − x + . 2. a) Soit x > 0, x(ln )²x =(ln )²x e^lnx car pour tout réel x > 0, x=e^{ln x}.

0

0

lim ln

lim (ln )² 0

lim ² 0

x

X x x

x

donc par composition x x X e par croissance comparée

→>

→>

→−∞

= −∞ 

 =



= 

b) Pour tout réel x > 0, on a ( )f x =4 (ln )² 6 ln( ) 4x x − x x + x.

lim (ln )²0 0

x x x

→>

= ,

lim ln0 0

x x x

→>

= (par croissance comparée) et

lim(4 )0 0

x x

→>

= donc par opérations,

0

lim ( ) 0

x f x

→>

= .

3. a) Pour tout réel x > 1, on a 3 2

( ) 2 (ln )² 2

ln (ln )²

f x x x

x x

 

=  − + 

 .

( )

lim (2 ) , lim (ln )² lim 2 (ln )²

x x x x donc x x x

→+∞ = +∞ →+∞ = +∞ →+∞ = +∞.

On démontre (de manière immédiate) 3 2

lim 2 2

ln (ln )²

x^→+∞ x x

 

− + =

 

  et donc par produit, lim ( )

x f x

→+∞ = +∞

b) D’après 1.a, on a ∀ ∈ +∞x

]

^0;

[

^,f ^{'( )}x =2(2(ln )² lnx + x−1). Or ∀ ∈ +∞x

]

^0;

[

^{, 2(ln}x+^{1)(2 ln}x− =¹⁾ 2(2(ln )² lnx + x− =1) f x'( ). c) Etudions le signe de f’(x).

f x'( )= ⇔0 2(lnx+1)(2 lnx− =1) 0 cad 1

'( ) 0 ln 1 ln

f x = ⇔ x= − ou x= 2à savoir

1

1 2

'( ) 0

f x = ⇔ =x e⁻ ou x=e car ln réalise une bijection de

]

^0;+∞

[

^{sur ℝ.}

f x'( )> ⇔0 2(lnx+1)(2 lnx− >1) 0, à l’aide d’un tableau de signes en faisant l’étude chaque facteur (ln réalisant une bijection strictement croissante de

]

^0;+∞

[

^{sur ℝ}), on déduit :

'( ) 0 0;1 ;

f x x e

e

   

> ⇔ ∈ 

∪

 +∞ ^car

1

1 1 2

e et e e

e

− = = .

Le signe de la dérivée nous donne le sens de variation de la fonction donc f est strictement croissante

sur 1

0; et sur e; e

   +∞

   

  , strictement décroissante sur 1

e; e

 

 

 avec ^{f   }_{ }¹_e ⁼¹⁴_e ^{et f}

( )

^{e =2 e.}

4. a) Soit M (x ; y), ^{x∈ +∞}

]

^0;

[

^.

2

2 2 2

( ) 2 2 (2(ln )² 3ln( ) 2) 2(ln )² 3ln 1 0

y x y x y x

M C D

y f x x x x x x x

= = =

  

∈ ⇔ ⇔ ⇔

= = − + − + =

  

∩

Résolvons 2(ln )² 3lnx − x+ =1 0.

2 ² 3 1 0 ( 1)(2 1) 0 1

2(ln )² 3ln 1 0 ln 1 ln

ln ln 2

X X X X

x x x ou x

X x X x

− + = − − =

 

− + = ⇔ ⇔ ⇔ = =

= =

 

1 1

2 2

lnx lne ou lnx e x e ou x e

⇔ = = ⇔ = = car ln réalise une bijection de

]

^0;+∞

[

^{sur ℝ.}

donc

1 2

2 1

2

2 2

y e y e

M C D ou

x e

x e

=  =

 

∈ ⇔ 

 =  =

∩

, d’où deux points d’intersection.

b) Avec le logiciel Sine qua non, que tout le monde a pris la peine de télécharger (n’est-ce pas ?!), j’ai tracé la courbe de la fonction et la famille de droites D_αavec un paramètre variant de –4 à 4 (le pas étant de 0,25). Entraînez-vous à faire de même !!!!!!!!!!!!!! (voir activité distribuée pour l’épreuve pratique). Ainsi, je peux conjecturer l’hypothèse suivante :

siα <1, 75, il n’y a pas de point d’intersection (droites bleues) siα =1, 75, il y a un seul point d’intersection (droite violette) siα >1, 75, il y a deux points d’intersection (droites noires)

Démonstration :

Soit M (x ; y), ^{x∈ +∞}

]

^0;

[

^.

( ) 2 (2(ln )² 3ln( ) 2) 4(ln )² 6 ln 4 0

y x y x y x

M C D

y f x x x x x x x

α

α α α

α α

= = =

  

∈ ⇔ ⇔ ⇔

= = − + − + − =

  

∩

Résolvons 4(ln )² 6 lnx − x+ − =4 α 0.

4 ² 6 4 0

4(ln )² 6 ln 4 0

ln

X X

x x

X x

α ^{ − + − =}α

− + − = ⇔

=



Résolvons alors dans ℝl’équation d’inconnue X suivante : 4 ² 6X − X + − =4 α 0.

36 4 4 (4 )

28 16

α α

∆ = − × × −

= − + 0 7

α 4

∆ = ⇔ = , 7

0 α 4

∆ > ⇔ > , 7

0 α 4

∆ < ⇔ <

Travaillons alors par disjonction de cas :

7

siα < 4 l’équation 4 ² 6X − X + − =4 α 0 n’a pas de solution et par suite, il n’y a pas de point d’intersection.

7

siα =4 l’équation 4 ² 6X − X + − =4 α 0 a une unique solution 6 3

2 4 4

X = ie X =

× , d’où

3 4

3 4

*

7 7

4 4

ln 34 ln

y x y e

M C D

x x e car réalise une bijection de sur

α

+

 =  =

 

∈ ⇔ ⇔

 =  =

 

 ℝ ℝ

∩

et par suite, il y a

un unique point d’intersection.

7

siα >4 l’équation 4 ² 6X − X + − =4 α 0 a deux solutions

1 2

6 28 16 6 28 16

8 8

X = − − + α et X = + − + α à

savoir ₁ 3 2 7 4 ₂ 3 2 7 4

4 4

X = − − + α et X = + − + α

1 2

1 2

1 2

7 7

7 7

4 4

4 4

ln ln

X X

X X

y e y e

y x y x

M C D ou ou

x X x X x e x e

α

 

 =  = = =

   

∈ ⇔  ⇔ 

 =  =  =  =

   

∩

et par suite, il y a deux

points d’intersection.