I160- À la recherche du triangle
Puce a choisi les coordonnées de trois sommets d’un triangle situé à l’intérieur d’un cercle (C) dont le centre est à l’origine et le rayon est égal à 10 cm. L’objectif de Zig est de localiser ce triangle de manière précise. Pour ce faire, il donne successivement à Puce les coordonnées (xᵢ,yᵢ) de points Mᵢ situés dans le plan (i.e. pas nécessairement à l’intérieur du cercle (C)) et pour chacun d’eux Puce donne la distance qui le sépare du sommet du triangle le plus proche non encore localisé. Quand la distance annoncée par Puce est nulle, le point M correspondant devient un sommet localisé. Zig dispose d’une règle et d’un compas pour faciliter ses
recherches. Démontrer que Zig est toujours en mesure de localiser exactement le triangle choisi par Puce en 15 requêtes ou moins.
Pour les plus courageux : il s’agit de localiser n points distincts à l’intérieur du cercle (C).
Démontrer que l’on peut toujours les localiser en un nombre fini N de requêtes et déterminer le plus petit N possible en fonction de n.
Solution par Patrick Gordon
S'il n'y avait qu'un sommet à localiser, il suffirait de 3 requêtes.
En effet, après la première, Zig sait que le sommet cherché se trouve sur le cercle de centre M1 et de rayon d1 (distance annoncée par Puce). Avec deux requêtes, Zig dispose de deux cercles, qui se coupent en deux points. Mais, ayant connaissance du premier cercle et sachant que le sommet cherché est situé à l’intérieur d’un cercle (C) donné, il peut choisir le second centre de manière que, quel que soit le rayon annoncé par Puce, les deux cercles n'aient qu'un point commun à l’intérieur d’un cercle (C)1. Ce point est donc "le bon". Zig placera sa
troisième requête en ce point; Puce répondra d=0.
S'il n'y avait que deux sommets à localiser, il suffirait au plus de 5 requêtes pour localiser le premier.
En théorie, il faudrait 5 cercles (donc plus de 5 requêtes) car il y a, en effet, nécessairement alors un des sommets touché par 3 des 5 cercles et, à ce sommet correspondrait un point triple, en principe unique.
Les choses sont toutefois plus simples au plan du nombre de cercles et plus compliquées dans le détail.
Il peut se faire, en effet, que, au bout de trois requêtes, apparaisse un point triple "parasite", c’est-à-dire ne correspondant pas à un sommet cherché. En effet, soient A et B ces sommets et supposons que les deux premiers cercles passent respectivement par A et B et se coupent en un point P à l’intérieur du cercle (C). Si le troisième cercle passe par P, il passe aussi
nécessairement par A ou B, disons A. Zig verra alors sur son épure : un point triple (P) et un point double (A). Il placera sa quatrième requête sur P. Puce répondra d ≠ 0 et Zig saura alors que le premier sommet cherché est A, ce que confirmera sa cinquième requête.
Le cas le plus fréquent toutefois est celui où le troisième cercle ne passe que par A ou B, disons A. Zig verra alors deux points doubles. En deux requêtes au plus, il saura quel est "le bon".
1 Il fera de même pour tous ses points de requête. Il lui suffira, par exemple, de les placer tous sur une même droite extérieure au cercle (C).
Enfin, revenons en arrière pour envisager le cas où les deux premiers cercles passent par un même sommet, disons A. À ce stade, Zig ne saura distinguer ce cas des précédents. Au troisième cercle toutefois, il verra apparaître soit un point triple (et il se fera confirmer pour la forme que ce point est un sommet), soit deux points doubles (et en une ou deux requêtes, dont celle de confirmation, il saura quel est "le bon").
Ainsi, en traçant 3 cercles et moyennant 2 requêtes de confirmation au plus, Zig aura localisé le premier sommet.
Une fois ce premier sommet localisé, Zig peut l'effacer, ainsi que les 2 ou 3 cercles qui passent par lui. Aux cercles restants (0 ou 1), qui passent nécessairement par le second sommet, il suffit d'ajouter respectivement 3 ou 2 cercles pour être ramené à la localisation d'un seul sommet. En reprenant les nombres de requêtes des différents cas envisagés ci-dessus et les nombres de cercles restants après effacement, on voit qu'au total il suffit de 7 requêtes au plus pour localiser deux sommets.
Dans le cas de trois sommets, Zig peut commencer par placer deux requêtes et tracer deux cercles2 puis demander si leur point d'intersection est un sommet.
Si oui, il a identifié le premier sommet en 3 requêtes et s'en tirera donc au total en 10 requêtes.
Si non, il saura que ce premier point d'intersection est "parasite". Il place alors une nouvelle requête et trace un troisième cercle. Il en est à 4 requêtes. Les trois cercles se coupent en 3 points dont un "parasite", soit deux nouveaux points d'intersection qui se présentent à lui.
En une ou deux requêtes il peut :
soit avoir identifié le premier sommet; il en est alors à 5 ou 6 requêtes mais il garde un cercle pour la suite et s'en tire donc au total avec 5 + (7 – 1) = 11 ou 6 + (7 – 1) = 12 requêtes;
soit avoir fait chou blanc, mais il a alors, en 6 requêtes, identifié 3 points "parasites".
Dans ce dernier cas, au prix d'une 7ème requête, il trace un quatrième cercle. Ce dernier coupe nécessairement l'un des trois premiers en un sommet. Mais il doit choisir entre 3 nouveaux points (les 6 points d'intersection des 4 cercles, moins les 3 "parasites").
En 3 requêtes au plus, il aura identifié le premier sommet. Il lui restera 2 cercles sur les 4 pour la suite, qui ne demandera donc que 5 requêtes au plus (et non 7). Au total dans ce cas il aura utilisé au plus 7 + 3 +5 = 15 requêtes.
Il est possible qu'il existe des stratégies qui permettent de localiser les 3 sommets à tout coup en un maximum de requêtes inférieur à 15 mais l'énoncé demande seulement de démontrer que Zig est toujours en mesure de localiser exactement le triangle choisi par Puce en 15 requêtes ou moins. Ce que nous avons fait.
2 en prenant toujours la même précaution que ci-dessus
