Séquence 4 : Statistique
Plan de la séquence :
I- Rappels :
1- Vocabulaire
2- Effectif et fréquence
II- Représentation graphique : Diagramme
III- Calculer des caractéristiques de position : 1- Moyenne
a- Moyenne simple b- Moyenne pondérée
2- Médiane
IV- Calculer une caractéristique de dispersion : Etendue
Séquence 4 : Statistique
Activité 1 P 136 du manuel I- Rappels :
I-1- Vocabulaire :
Lorsque l’on mène une enquête, on s’intéresse à une population d’individus (par exemple les élèves d’une classe) et on étudie une propriété commune à ces individus appelée un caractère (par exemple leur taille).
Un caractère peut prendre plusieurs valeurs. Il peut être :
* Quantitatif : les valeurs possible du caractère sont numérique (taille, poids, le nombre de frères et sœurs….).
* Qualitatif : les valeurs possible du caractère ne sont pas numérique (couleur des yeux, langues parlée,….).
Exemple1 : Dans le tableau ci-dessous, des données statistiques ont été représentées :
6ème 5ème 4ème 3ème Total
Demi-pensionnaires 84 85 72 37
Externes 81 65 48 68
1) Quelle est la population étudiée ?...
2) Quels sont caractères étudiés ?...
I-2- Effectif et fréquence :
Dans une série statistique, l’effectif d’une valeur est le nombre de fois où cette valeur apparait.
Le nombre d’individus de la population étudiée est appelé effectif total.
Exemple2 :
A partir de l’exemple 1 compléter le tableau ci-dessous :
Classe 6ème 5ème 4ème 3ème Total
Effectif
1) Quel est l’effectif en classe de 4ème ?...
2) Quel est l’effectif total dans ce collège ?...
Exemple 3 :
Lors d’une enquête, on a demandé aux élèves d’une classe de répondre à la question : « Quel est le nombre d’enfants dans votre famille ? » (Vous compris)
Les résultats sont regroupés dans le tableau ci-dessous : Nombre d’enfants par
famille
1 2 3 4
Effectifs 7 13 5 2
1) Quelle est la population étudiée ?...
2) Quel est le caractère étudié ?...
3) Quel est l’effectif de chaque valeur de ce caractère ?...
………..
4) L’effectif total est………..
Définition :
La fréquence d’une valeur est le quotient de son effectif par l’effectif total.Ce quotient est inférieur ou égal à 1 et est souvent exprimé en pourcentage. La somme des fréquences de toutes les valeurs est égale à 1.
Exemple 2 :
Classe 6ème 5ème 4ème 3ème Total
Effectif
Fréquences (%)
Faire les exercices : 1P140
II- Représentation graphique d’une série statistique : Pour le caractère quantitatif, on utilise :
II-1- Diagramme en bâtons (ou à barres)
Le professeur de mathématiques a relevé les notes de ses élèves au dernier contrôle :
Note 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Effectif 2 3 1 4 5 3 3 6 2 1
Représenter les données de cette série statistique avec un diagramme en bâton :
Dans un diagramme en bâtons, les hauteurs des bâtons sont proportionnelles aux effectifs de chaque catégorie.
Effectif
Note
Effectif
II-2- Histogramme et regroupement en classes :
On a mesuré la taille en centimètres des élèves d’une classe : comme les données sont nombreuses, elles ont été regroupées en classe d’amplitude 5cm
Taille en cm comprise entre :
[130 ; 135[ [135 ; 140[ [140 ; 145[ [145 ; 150[ [150 ; 155[ [155 ; 160[
Effectif 2 10 6 4 2 6
Quand les classes ont la même amplitude, la hauteur des rectangles est proportionnelle à l’effectif de la classe représentée.
Pour le caractère qualitatif, on utilise :
II-3-Diagramme en barres :
Le professeur de SVT de la classe d’Antoine a recensé la boisson consommée par chacun de ses élèves au petit-déjeuner.
Boisson Chocolat Lait Thé Jus de fruits Total
Effectif 8 4 3 7 22
On choisit des graduations régulières sur chaque axe et on pense à écrire une légende pour chaque axe.
Dans un diagramme en barres, les hauteurs des barres sont proportionnelles aux effectifs de chaque catégorie.
Effectif
Taille (cm)
[130 ; 135[
[135 ; 140[
[140 ; 145[
[145 ; 150[
[150 ; 155[
[155 ; 160[
Effectif
Boisson
Chocolat Lait Thé Jus de fruit
II-4-Diagramme circulaire :
Voici la répartition des 100 élèves de 4ème d’un collège selon leur seconde langue vivante :
Langue Allemand Espagnol Italien Anglais Total
Effectif 15 50 10 25 100
Angle (en°) 54 180 36 90 360
* On peut également construire un diagramme semi-circulaire.
La somme des mesures des angles est égale à 180°.
* On peut utiliser le diagramme circulaire pour représenter des données numériques.
Dans un diagramme circulaire, les mesures des angles sont proportionnelles aux effectifs de chaque catégorie.
Faire les exercices : 3, P140 14 P142 18P 143 28P295 indigo
III- Calculer des caractéristiques de position :
III-1- Moyenne :
III-1-a- Moyenne simple : Faire l’activité 3 P137
La moyenne d’une série statistique est égale au quotient de la somme des données de la série par l’effectif total de cette série.
𝑚𝑜𝑦𝑒𝑛𝑛𝑒 =𝑠𝑜𝑚𝑚𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑜𝑛𝑛é𝑒𝑠 𝑒𝑓𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑓 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
Exemple : Un athlète a effectué cinq sauts en longueur et a obtenu les résultats suivants (en mètres) : 7,65 7,72 7,99 7,85 7,88
Pour calculer sa moyenne, on calcule la somme de ses sauts que l’on divise par le nombre de sauts :
𝑚 =7,65+7,72+7,99+7,85+7,88
5 = 39,09
5 = 7,818, La longueur moyenne de ses sauts est de 7,818 m.
Faire l’exercice 5 P140
espanol
italien allemand
anglais
Espagnol Italien Allemand Anglais
×3,6
III-1-b- Moyenne pondérée : Faire l’activité 5 P137
La moyenne pondérée d’une série statistique est égale à la somme des produits de chaque valeur par son effectif, divisée par l’effectif total.
𝑚𝑜𝑦𝑒𝑛𝑛𝑒 𝑝𝑜𝑛𝑑é𝑟é𝑒 =𝑠𝑜𝑚𝑚𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑖𝑡𝑠 𝑑𝑒𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟𝑠 𝑝𝑎𝑟 𝑙𝑒𝑢𝑟 𝑒𝑓𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑓 𝑒𝑓𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑓 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
Exemple :
Un sondage a été réalisé auprès de 10 000 collégiens pour connaitre le nombre d’enfants présents dans leur foyer. Voici leurs réponses :
Nombre d’enfants
1 2 3 4 5 6
Nombre de familles
4525 3551 1364 413 102 45
𝑚𝑜𝑦𝑒𝑛𝑛𝑒 𝑝𝑜𝑛𝑑é𝑟é𝑒 =1×4525+2×3551+3×1364+4×413+5×102+6×45
4525+3551+1364+413+102+45 =18151
10000 =1,8151
Remarque :
* Une moyenne n’est pas nécessairement égale à l’une des valeurs de la série de la série.
* Une moyenne est toujours comprise entre la plus petite et la plus grande valeur de la série.
1< 1,8151 < 6
Faire les exercices : 8 (9,10, 11, 12) P140 et 13 P141
III-2- La médiane :
Un professeur souhaite séparer un groupe d’élèves en 2 groupes de mêmes effectifs : un groupe avec les moins bonnes notes, un groupe avec les meilleures notes.
13 garçons : 9 ; 7 ; 8 ; 10 ; 12 ; 10 ; 11 ; 9 ; 17 ; 14 ; 13 ; 15 ; 14 14 filles : 10 ; 7 ; 9 ; 18 ; 7 ; 14 ; 11 ; 12 ; 13 ; 15 ; 14 ; 13 ; 15 ; 9 Quelle démarche va-t-il mettre en œuvre ?
L’effectif total des élèves est impair (13)
Ordonner la série dans l’ordre croissant :
Les Garçons : 7 ≤ 8 ≤ 9 ≤ 9 ≤ 10 ≤ 10 ≤ 11 ≤ 12 ≤ 13 ≤ 14 ≤ 14 ≤ 15 ≤ 17
6 valeurs 6 valeurs
La médiane La médiane est égale à 11, c’est une valeur de la série
L’effectif total des filles est pair (14):
Ordonner la série dans l’ordre croissant
Filles : 7 ≤ 7 ≤ 9 ≤ 9 ≤ 10 ≤ 11 ≤ 12 ≤ 13 ≤ 13 ≤ 14 ≤ 14 ≤ 15 ≤ 15 ≤ 18
Ici la médiane est la
moyenne des deux valeurs centrales de la série ordonnée (7ème et 8ème): 12+13
2
= 12,5
Définition :
La médiane d’une série statistique est la valeur telle que :
- Au moins 50% des valeurs de la série lui soient inférieurs ou égales.
- Au moins 50% des valeurs de la série lui soient supérieurs ou égales.
Remarques :
D’une manière générale la médiane et la moyenne sont différentes
Il est impératif de ranger les valeurs par ordre croissant pour calculer la médiane.
La médiane ne dépend pas des valeurs extrêmes de la série.
IV- Calculer une caractéristique de dispersion :
Etendue d’une série statistique Définition :
L’étendue d’une série statistique est la différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur de la série.
Exemple :
On interroge les élèves d’une classe sur leur taille en cm.
Voici les résultats de l’enquête :
174 – 160 – 161 – 166 – 177 – 172 – 157 – 175 – 162 – 169 – 160 – 165 – 170 – 152 – 168 – 156 – 163 – 167 – 169 – 158 – 164 – 151 – 162 – 166 – 156 – 165 – 179
7 valeurs 7 valeurs
La médiane La médiane est égale à 12,5, ce n’est pas une valeur de la série
1) Calculer l’étendue de la série de tailles.
2) Regrouper les effectifs de cette série de tailles par classes de longueur 5 cm.
3) Calculer les fréquences de chaque classe en % arrondies à l’unité.
4) a) Calculer la moyenne de la série après avoir centré les classes.
b) Comparer le résultat précédent avec la moyenne exacte.
Faire les questions flash P 304 indigo et l’exercice 14, 15 P305 indigo
