Vendredi 5 décembre 1997 : Devoir commun de troisième

Vendredi 5 décembre 1997 : Devoir commun de troisième

Consignes : les trois parties doivent être rédigées sur trois copies doubles différentes. A la fin des deux heures, vous les glisserez l'une dans l'autre et les rendrez au professeur. Sur ces copies, vous ne mettrez pas votre nom mais votre numéro.

L'usage du blanco est interdit ainsi que le prêt du matériel en particulier de la machine à calculer.

Toute tentative de fraude sera sévèrement sanctionnée

La présentation, l'orthographe, ainsi que la rigueur de l'écriture mathèmatique (droites, segments, longueurs ...)seront notées.

Chaque élève est tenu de rester au minimum une heure dans la salle.

Première partie : Calcul numérique

I. Ecrire A, B, C sous la forme d'une fraction irréductible.

A= − × − + 3 2

4 2

3

4 2

3

B= −  −

  3 5 1 

5 1

2

C= ×

×

5 3

3 5

73 456

458 70

II. Ecrire D, E sous la forme d'un nombre décimal.

D= × × ×

×

−

−

4 5 10 0 35 10 63 10

45 36

10

, ,

E = × −

× ⁻ 3 1 10 10

3 10

2 1

,

III. a) Factoriser : G =9x² −48x+64

en déduire une factorisation de H =9x²−48x+64−(3x−8 2)( x+5) b) Factoriser K=64−(6x−7)²

c) Développer :

L = − +( 2x 3)² −(2x+3 2)( x−3) M =(3x−5 2)( x+ −1) (5x+1 2)( x+1)

IV Résoudre : 3 2( x− +5) 7 5( x+ =1) 0 (2x−3 5)( x+2) =0

_______________________________________________________________________________________

Deuxième partie

Les deux exercices sont indépendants

I Quel est le nombre dont le double augmenté de son tiers est égal à son triple diminué de six ? (soit x ce nombre)

II. Soit ABC un triangle tel que AB = 2,1 cm BC=2,8 cm AC = 3,5 cm.

Sur la demi droite [AB) on place le point E tel que AE = 10,5 cm et sur la demi droite [CB) le point F tel que CF=12 cm.

1) Démontrez que les droites (AC) et (FB) sont parallèles.

2) Calculer la longueur du segment [EF]

3) Quelle est la nature du triangle ABC ?

4) Calculer la mesure arrondie au degré de A C B

∧

? 5) a) calculer l’aire de ABC

b) Soit H le projeté orthogonal de B sur [AC]. On appelle x la distance entre B et H

Ecrire l’aire de ABC en fonction de x ; en déduire BH.

B A

C

E F

H

Ne pas refaire le dessin

Troisième partie : Questions enchaînées

Le dessin est réalisé avec le plus grand soin en vraie grandeur, l'unité est le centimètre Vous le ferez sur une feuille simple séparée.

C est le cercle de centre O et de diamètre [AB] tel que AB = 8 cm.

C est un point du cercle C tel que B AC

∧

mesure 60°.

D est le symétrique de A par rapport à C et E est le symétrique de B par rapport à C.

La parallèle à (AC) passant par O coupe (BC) en F.

G est le point du cercle C tel que GA = 5 cm et G et C n’appartiennent pas au même demi cercle AB

∩

. 1) Quelle est la nature des triangles ABC et ABG ? Justifier.

2) Calculer AC.

3) Calculer BG

4) Quelle est la nature du quadrilatère ABDE ? Justifier.

5) Démontrer que F est le milieu de [BC] puis que (OF) est la médiatrice de [BC]

6) Démontrez que ABD est équilatéral.

Vendredi 5 décembre 1997 : Devoir commun de troisième Correction A= − × −

+ = − × = − × × = − × ×

× = − =

3 2

4 2

3

4 2

3

3 2 10

3 14

3

3 2 10 3

3

14 3 2 2 5

2 7

21 7

10 7

11 7

B= −  −

 

 = − −

 

 = − × = − = − 3 5 1

5 1 3 5 4

5 3 5 16

25 15

5 16

5 1 5

2 2

C= ×

× = ⁻₋ = =

5 3

3 5

5 3

5 3

125 9

73 456

458 70

73 70 458 456

3 2

D= × × ×

× = × × = × × × × ×

× × = × =

−

− − + + − −

4 5 10 0 35 10 −

63 10

4 5 0 35

63 10 9 5 10 7 5 10

9 7 10 25 10 0 25

45 36

10

45 36 10

1 2

, , , , 2

,

E = × −

× = −

× = × =

− −

3 1 10 10 3 10

310 10 3 10

300

3 10 1000

2

1 1

,

III. a) Factoriser : G =9x² −48x+64=(3x−8)² en déduire une factorisation de

H =9x²−48x+64−(3x−8 2)( x+ =5) (3x−8)²−(3x−8 2)( x+ =5) (3x−8)[(3x− −8) (2x+5)]=(3x−8)(x−13) b) Factoriser K=64−(6x−7)² = −[8 (6x−7)][8+(6x− = − +7] ( 6x 15 6)( x+1)

c) Développer :

L = − +( 2x 3)² −(2x+3 2)( x− =3) 4x²−12x+ −9 4x²+ = −9 12x+18=

M =(3x−5 2)( x+ −1) (5x+1 2)( x+ =1) 6x²−10x+3x− −5 10x²−2x−5x− = −1 4x²−14x−6 IV Résoudre :

3 2 5 7 5 1 0

6 15 35 7 0

41 8 0

8 41

( x ) ( x )

x x

x x

− + + =

− + + =

− =

=

La solution de l’équation est 8

41

(2x−3 5)( x+2)=0

Lorsqu’un produit de facteurs est nul alors un des facteurs est nul

2 3 0 5 2 0

3 2

2 5

x x

x x

− = + =

= = −

ou

Cette équation admet deux solutions :3

2 et -2 5

Deuxième partie :

I Quel est le nombre dont le double augmenté de son tiers est égal à son triple diminué de six ? Soit x ce nombre:

2 1

3 3 6

2 1

3 3 6

x x x

x x x

+ = −

+ − = −

− + = −

− = −

= − × −

 

 = 3

3 1

3 6

2

3 6

6 3

2 9

x x

x x

Le nombre est 9

II. Soit ABC un triangle tel que AB = 2,1 cm BC=2,8 cm AC = 3,5 cm.

Sur la demi droite [AB) on place le point E tel que AE = 10,5 cm et sur la demi droite [CB) le point F tel que CF=12 cm.

1) Démontrez que les droites (AC) et (FB) sont parallèles.

2) Calculer la longueur du segment [EF]

3) Quelle est la nature du triangle ABC ?

4) Calculer la mesure arrondie au degré de A C B

∧

? 5) a) Calculer l’aire de ABC

b) Soit H le projeté orthogonal de B sur AC. On appelle x la distance entre B et H

Ecrire l’aire de ABC en fonction de x ; en déduire BH.

B A

C

E F

H

1) Les points A, B, E sont alignés

Les points C, B, F sont alignés et dans le même ordre AB

BE BC FB

= − = =

= − = =

2 1 10 5 2 1

21 84

1 4 2 8

12 2 8 28 92

1 4 ,

, ,

, ,

donc AB BE

BC

= FB

D’après la réciproque du théorème de Thalès (AC) et (EF) sont parallèles

2) Les points A, B, E et C, B, F sont alignés (AC) et (EF) sont parallèles :

Le théorème de Thalès appliqués aux triangles ABC et FBE affirme que ;

AB BE

BC FB

AC

= = FE

D’après la question précédente : AC

FE = 1 4 3 5 1 4 , FE =

FE = 3 5 4 , × = 14 cm

3) Dans le triangle ABC : AC²=3,5²=12,25

AB²+BC²=2,1²+2,8²=4,41+7,84=12,25 donc AC²=AB²+BC²

D’après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle ABC est rectangle en B.

2) Dans le triangle ABC rectangle en B :

cos cos ,

, ,

A C B BC

AC A C B A C B

∧ ∧ ∧

= coté adjacent = = = ≈ °

hypoté nuse 2 8 donc

3 5 0 8 37

5) a) Aire (ABC)= AB BC

× = × = cm 2

2 1 2 8

2 2 94

, ,

, ²

b) Aire(ABC)=BH× AC = ×x 2

3 5 2

, 3 5

2 2 94 2 94 2

3 5 1 68

, ,

, , ,

x

x

=

= × =

BH = 1,68 cm

C est le cercle de centre O et de diamètre [AB] tel que AB = 8 cm.

C est un point du cercle C tel que B AC

∧

mesure 60°.

D est le symétrique de A par rapport à C et E est le symétrique de B par rapport à C.

La parallèle à (AC) passant par O coupe (BC) en F.

G est le point du cercle C tel que GA = 5 cm et G et C n’appartiennent pas au même demi cercle AB

∩

. 1) Quelle est la nature des triangles ABC et ABG ? Justifier.

2) Calculer AC.

3) Calculer BG

4) Quelle est la nature du quadrilatère ABDE ? Justifier.

5) Démontrer que F est le milieu de [BC] puis que (OF) est la médiatrice de [BC]

6) Démontrez que ABD est équilatéral.

A O B

C D E

F

G

1) C appartient au cercle de diamètre [AB] :

Lorsqu’un triangle ABC est inscrit dans le cercle de diamètre [AB] alors il est rectangle en C;

Donc ABC est rectangle en C

De même G appartient au cercle de diamètre [AB] donc il est rectangle en G.

2) Dans le triangle ABC rectangle en C :

cosC A B AC cos

AB

∧

= coté adjacent = ° = ×

hypoté nuse 0,5 = AC

8 AC = 8 0,5 = 4 cm

60 8

3) Dans le triangle AGB rectangle en G : AB²=AG²+GB² 8²=5²+GB² 64 - 25 = GB² GB² = 39 GB= 39cm

4) D est le symétrique de A par rapport à C donc C est le milieu de [AD]

E est le symétrique de B par rapport à C donc C est le milieu de [EB]

Lorsqu’un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu alors c’est un parallélogramme.

Donc ABDE est un parallélogramme, de plus (AD) et (BE)sont perpendiculaires Lorsqu’un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires alors c’est un losange donc ABDE est un losange.

5) Dans le triangle ABC :

O est le milieu de [AB] et (AC) et (OF) sont parallèles.

Dans un triangle la droite qui passe par le milieu d’un côté et qui est parallèle au deuxième côté passe par le milieu du troisième côté donc F est le milieu de [BC]

(OF) et (AC) sont parallèles et (AC) et (BC) sont perpendiculaires

Lorsque deux droites sont parallèles toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre donc (OF) et (CB) sont perpendiculaires.

(OF) est la perpendiculaire à [CB] qui passe par son milieu F donc (OF) et la médiatrice de [CB].

6)Le triangle ADB est un triangle isocèle car EDBA est un losange donc AB = DB donc les angles à la base ont même mesure B AD

∧

∧

= = °60 B DA

∧

=180 2°− × ° =60 180 120− = °60

Le triangle BDA a ses trois angles de même mesure donc BDA est un triangle équilatéral.

A O B C

E D

F