Deuxième partie : Géométrie

Mai 1997 : Devoir commun de troisième

Consignes : les deux parties doivent être rédigées sur des copies doubles différentes. A la fin des deux heures, vous les glisserez l'une dans l'autre et les rendrez au professeur. Sur ces copies, vous ne mettrez pas vos noms mais votre numéro.

L'usage du blanco est interdit ainsi que le prêt du matériel en particulier de la machine à calculer.

Toute tentative de fraude sera sévèrement sanctionnée

La présentation, l'orthographe, ainsi que la rigueur de l'écriture mathématique (droites, segments, longueurs ...)seront notées.

Chaque élève est tenu de rester au minimum une heure dans la salle.

Première partie : Calcul numérique

I.Ecrire le plus simplement possible sans utiliser de valeurs approchées : A=(3 5+6 3 5)( −6) ; B= 20+ 45− 5 ;

C=(2+ 5)² −9 (développer) ; D= + + 11

3 11 10 11

6 11

4

(Donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible)

II.On considère l’expression : E =(2x−3)² −4 1) Factoriser E

2) Développer et réduire E 3) Calculer E pour x= 2

III La secrétaire du collège a acheté 22 timbres, les uns a 2,50F et les autres à 2,20F. Elle a payé en tout 52,90F.

Combien de timbres de chaque sorte a-t-elle achetés ? IV. Résoudre l’inéquation 3x− ≥3 6x+1

On représentera clairement l’ensemble des solutions sur un axe.

Deuxième partie : Géométrie

Exercice N°1. : Découper la figure ci-dessous et la coller sur votre feuille.

Se servir de la figure pour résoudre les questions de cette exercice.

A B

D C

2) Recopier et compléter les égalités suivantes :

AB BC BC BA

AB AD BC CA

→ → → →

→ →^{+ =} → →^{+ =}

+ = + =

3) a) Construire E image de B par la translation de vecteur AC→

b) Par quelle transformation passe-t-on du triangle DAC au triangle CBE ? (sans démonstration) Exercice N°2

Le plan est muni d'un repère orthonormal, l'unité est le centimètre.

On considère les points suivants : E(2 ; -4) F (6 ; 2) G(-2 ; 2) 1) Faire la figure que vous compléterez tout au long du problème 2) Calculer EF, GF et GE. En déduire la nature du triangle EFG.

3) Calculez les coordonnées de K milieu du segment [FG].

4) Calculez les coordonnées de H pour que EFHG soit un parallélogramme.

5) Démontrez que EFHG est un losange.

Troisième partie : Questions enchaînées

Le dessin est réalisé avec le plus grand soin en vraie grandeur, l'unité est le centimètre On considère un triangle ABC tel que AB = 5,6 cm ; BC = 4,2 cm ; AC = 7 cm

1) Faire la figure sur une feuille séparée. On complétera cette figure au fur et à mesure des questions.

2) a)Quelle est la nature de ABC ? Justifier b) Calculer la tangente de BAC

∧

. En déduire la valeur de l’angle BAC

∧

arrondie au degré le plus proche.

3) a) Calculer l’aire du triangle ABC

b) Dans le triangle ABC, la hauteur issue de B coupe (AC) en H. Exprimer l’aire du triangle ABC en fonction de BH.

c) Montrer que BH = 3,36 cm.

4) Calculer HC.

5) Placer le point D symétrique de B par rapport à H. Tracer la droite qui passe par D et qui est perpendiculaire à (BD). Cette droite coupe BC en E.

Montrez que C est milieu du segment [BE].

6) Placer le point C tel que HC→ CK→

= .

Quelle est la nature du quadrilatère BHEK ? Justifier la réponse.

7) Démontrez que DEKH est un rectangle.

Partie numérique

I.

A=(3 5+6 3 5)( − = × −6) 9 5 36=45−36=9 ;

B = 20+ 45− 5=2 5−3 5− 5= −2 5 C=(2+ 5)² − = +9 4 4 5+ − =5 9 4 5 ;

D= +

+ = +

+ = = × = × × × × ×

× × × × × = 11

3 11 10 11

6 11

4

110 30

33 30 44 24

66 24

143 30 110

24

143 30

24 110

11 13 3 2 2 2

3 2 5 11 2 5

26 25

II1) Factorisation E =(2x−3)² − =4 (2x− −3 2 2)( x− +3 2)=(2x−5 2)( x−1) 2) Développement : E =4x²−12x+ − =9 4 4x²−12x+5

3) Lorsque x = 2 alors ^{E =4}

( )

III La secrétaire du collège a acheté 22 timbres, les uns a 2,50F et les autres à 2,20F. Elle a payé en tout 52,90F.

Combien de timbres de chaque sorte a-t-elle achetés ?

Soit x le nombre de timbres à 2,50F et y le nombre de timbres à 2,20F.

x y

x y

+ = × −

+ =





22

2 5 2 2 52 90

2,5)

(

, , , Le système devient − − = −



2 5 2 5 55

2 5 2 2 52 90 , x , y

x y

, + , = , Ajoutons membre à membre −2 5, y+2 2, y= − +55 52 90,

− = −

= −− =

0 3 2 1

2 1 0 3 7

, ,

, , y y

Cherchons x x y

x y

+ =

= − = − = 22

22 22 7 15

La secrétaire a acheté 15 timbres a 2,50F et 7 timbres à 2,20

IV.

3 3 6 1

3 6 1 3

3 4

4 3

x x

x x x x

− ≥ +

− ≥ +

− ≥

≤ −

0 1

- 4 3

−∞ /////////////////////////////////////////////////// +∞

Tous les nombres inférieurs à −4

3 sont solution de l’inéquation

solution de

Deuxième partie : Géométrie

Exercice N°1. :

A B

D C

E

2) Recopier et compléter les égalités suivantes :

AB BC AC BC BA BC CD BD

AB AD AC BC CA BA

→ → → → → → → →

→ →^{+ =} → ⁺ → → →^{= + =}

+ = + =

(Relation de Chasles) (règle du parallé logramme)

3) On passe du triangle DAC au triangle CBE par la translation de vecteur AB→ Démonstration : (non demandée) AC→

=BE→

donc ACBE est un parallélogramme et AB→

=CE→ Considérons la translation de vecteur AB→

:

L’image de D est C car DC→

=AB→ L’image de A est B

L’image de C est E car AB→

=CE→ Exercice N°2

Le plan est muni d'un repère orthonormal, l'unité est le centimètre.

On considère les points suivants : E(2 ; -4) F (6 ; 2) G(-2 ; 2) 1) Faire la figure que vous compléterez tout au long du problème 2) Calculer EF, GF et GE. En déduire la nature du triangle EFG.

3) Calculez les coordonnées de K milieu du segment [FG].

4) Calculez les coordonnées de H pour que EFHG soit un parallélogramme.

5) Démontrez que EFHG est un losange.

Exercice N°2

J I y'

y

x' O x

E

F G

H

K

EF x y y

GF x x y y

EG x y y

F XE F E

G F G E

G XE G E

= + =

− + + = + + = + = =

= + =

− − + − = − + = =

= + =

− − + + = + = + = =

− −

− −

− −

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2

6 2 2 4 4 6 16 64 80 4

2 6 2 2 8 0² 64 8

2 2 2 4 4² 6² 16 64 80 4 5

EG = EF donc EGF est un triangle isocèle

4) K est le milieu de [FG] donc Kx^F +x^G y^F+y^G

 



2 ; 2 K 6 2

2

2 2 2

− +

 

;  K(2 ; 2) 5) Soit H(x ; y) le point tel que EFHG soit un parallélogramme

EF

→ =GH

→

EF x x y y EF EF

GH x x y y GH x

F E F E

H G H G

→ − − →

− + →

→ − − →

+ −

( ; ) ( ; ) ( ; )

( ; ) ( ; )

y

6 2 2 4 4 6

2 2

Lorsque deux vecteurs sont égaux alors ils ont les mêmes coordonnées donc x+2=4 et y-2 = 6

x=4-2 y = 6+2

x = 2 et y = 8

H(2 ; 8)

Le parallélogramme EFHG a deux côtés consécutifs de même mesure car EG = GF

Lorsqu’un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même mesure alors c’est un losange donc EFHG est un losange.

Troisième partie : Questions enchaînées

On considère un triangle ABC tel que AB = 5,6 cm ; BC = 4,2 cm ; AC = 7 cm 2) a)Quelle est la nature de ABC ? Justifier

b) Calculer la tangente de BAC

∧

. En déduire la valeur de l’angle BAC

∧

arrondie au degré le plus proche.

3) a) Calculer l’aire du triangle ABC

b) Dans le triangle ABC, la hauteur issue de B coupe (AC) en H. Exprimer l’aire du triangle ABC en fonction de BH.

c) Montrer que BH = 3,36 cm.

4) Calculer HC.

5) Placer le point D symétrique de B par rapport à H. Tracer la droite qui passe par D et qui est perpendiculaire à (BD). Cette droite coupe BC en E.

Montrez que C est milieu du segment [BE].

6) Placer le point C tel que HC→ CK→

= .

Quelle est la nature du quadrilatère BHEK ? Justifier la réponse.

7) Démontrez que DEKH est un rectangle.

A

B C

H D

E K

2) a) Dans le triangle ABC : AC²=49

AB²+BC²=5,6²+4,2²= 31,36 +17,64 =49 Donc AC² = AB²+BC²

D’après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle ABC est rectangle en B.

b) Dans le triangle ABC est rectangle en B.

Tan A Côté Côté

BC AB opposé adjacent

$ ,

= = = 4 2, =

5 6 3 4

donc BAC

∧

3) a) aire ABC AB BC

cm

( ) , ,

, ²

= × = × =

2

4 2 5 6

2 11 76

b) aire ABC BH AC BH

BH

( )= × = × =

2

7 2

7

2 c)

7

2 11 76

11 76 2

7 3 36 BH

BH cm

=

= × =

,

, ,

4) Calcul de HC : Dans le triangle HCB rectangle en H appliquons le théorème de Pythagore.

CB CH HB CH

CH CH

CH cm

2 2 2 2

2 2 2 2

17,64 11 2896

4 2 3 36 6

6 2 52

= + − =

= + =

= =

,3504

,3504

,

, ,

,

5) Dans le triangle BDE : D est le symétrique de B par rapport à H donc H est le milieu de [BD]

(DE) et (BD) sont perpendiculaires (HC) et (BD) sont perpendiculaires.

Lorsque deux droites sont perpendiculaires à une même troisième elles sont parallèles.

Donc (HC) et (ED) sont parallèles.

Dans un triangle, la droite que passe par le milieu d’un côté et qui est parallèle au deuxième côté passe par le milieu du troisième côté. Donc C est le milieu de [BE]

6) HC→ CK

= →

donc C est le milieu de [HK] et C est le milieu de [BE]

Lorsqu’un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu alors c’est un parallélogramme.

Donc BHEK est un parallélogramme.

7) BHEK est un parallélogramme donc (BH) et (EK) sont parallèles de plus B, H, D sont alignés donc (DH) et (EK) sont parallèles de plus (DE) et (HK) sont parallèles.

Lorsqu’un quadrilatère a ses côtés parallèles deux à deux alors c’est un parallélogramme.

Donc HDEK est un parallélogramme.

De plus (DH) et (HK) sont perpendiculaires.

Lorsqu’un parallélogramme a un angle droit alors c’est un rectangle.

Donc DEKH est un rectangle.

A

B C

H

D

E

K