Devoir de math´ ematiques n
o4 - 1` ereS
26 nov 2009 - 1H
Exercice 1 (2.5 points)
Calculerf og(x) etgof(x) en pr´ecisant pour chacune des deux fonctionsf ogetgof le domaine sur lequel elle est d´efinie.
1. f(x) = 2−x etg(x) = 2 x 2. f(x) =x−2 etg(x) =√
x
Exercice 2 (6.5 points)
On consid`ere les fonctions f etg d´efinies sur R par :
f(x) =x2−4x−3 et g(x) =x3−5x2+ 3x+ 1
1. Ecriref(x) sous la forme (x−a)2+b; en d´eduire queCf, la courbe repr´esentative def dans un rep`ere (O;−→i ,−→j ) , est l’image de la parabole P d’´equation y =x2 par une translation dont on pr´ecisera le vecteur.
2. Montrer que 4 est racine dex3−6x2+ 7x+ 4.
3. En d´eduire la factorisation dex3−6x2+ 7x+ 4.
4. R´esoudref(x)≥g(x) et interpr´eter graphiquement.
Exercice 3 (6 points)
Soit f(x) = 2x−1
x+ 2 d´efinie surR\{−2}
1. D´eterminer les r´eels aetb tels que :f(x) =a+ b x+ 2.
2. En ´ecrivantf comme compos´ee de fonctions de r´ef´erence, trouver le sens de variation def. 3. Montrer quef est major´ee par 2 sur ]−2; +∞[.
4. Montrer que Cf, la courbe repr´esentative de f admet un centre de sym´etrie I dont on pr´ecisera les coordonn´ees.
Exercice 4 (5 points)
1. Calculer (x−1)2 puis (x−1)4.
2. D´evelopper et simplifier (x−1)4−(x4−4x3+ 2x2−4x+ 1).
3. En d´eduire une factorisation dex4−4x3+ 2x2−4x+ 1.
4. R´esoudrex4−4x3+ 2x2−4x+ 1 = 0.
5. Calculer (2 +√
3)4−4(2 +√
3)3+ 2(2 +√
3)2−4(2 +√ 3) + 1.
