Introduction aux séries divergentes

Introduction aux séries divergentes

0. Que fait la somme des entiers naturels ? 1. Histoire des séries divergentes.

2. Procédés sommatoires.

3. Théorèmes généraux.

4. Le prolongement analytique.

5. Séries asymptotiques.

Pierre-Jean Hormière ___________

« The series is divergent ; therefore we may be able to do something with it ».¹ O. Heaviside

« Ne vous inquiétez pas, ça converge ! » ²

H. Minkowski

0. Que fait la somme des entiers naturels ?

Ramanujan, lettre à Hardy, 23 février 1913

Dans un exposé très vivant sur youtube, l’excellent Benoît Rittaud rend hommage au mathématicien indien Srinivasa Ramanujan (1887-1920), et entreprend de « démontrer » l’identité trouvée par ce dernier en 1913.

C = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + …… = − 12

1 _. Multiplions en effet C par 4 et soustrayons :

4C = 4 + 8 + 12 + … −3C = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + Reste à calculer cette dernière somme.

Pour cela, recopions-la 4 fois en la décalant, et additionnons terme à terme : S = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + 9 − …

S = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + … S = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + … S = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − … 4S = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1

1Une série est divergente, donc nous pouvons faire quelque chose avec elle.

2 On raconte qu’un jour, se promenant dans la rue principale de Göttingen, Minkowski croisa un jeune homme plongé dans ses pensées. Il lui tapa gentiment sur l’épaule, et fit cette réflexion… sur quoi le jeune homme s’éloigna, rassuré… S’è non è vero, è ben trovato.

En conclusion, S = 4

1, et, en reportant C = −

121 _{. CQFD !}

Il est clair que ce résultat est paradoxal. On peut bien sûr le rejeter d’un haussement d’épaules.

Mais si l’on accepte ce que Benoît Rittaud nomme très joliment une « suspension consentie de l’incrédulité », la question n’est pas de savoir s’il est vrai ou faux, mais en quel sens peut-on le considérer comme vrai ? Car, sans le savoir, Ramanujan l’autodidacte mettait ses pas dans ceux de quelques prédécesseurs, Leibniz, Euler, Lacroix, Lagrange, Stieltjes, et ajoutait un petit caillou dans le jardin de la curieuse théorie des séries divergentes, que je vais tâcher de raconter.

1. Histoire des séries divergentes.

1.1. Les sommes infinies.

La manipulation de sommes infinies a commencé dès l’antiquité. Ainsi, le paradoxe de Zénon s’appuie sur la formule 1 +

2 1 ₊

4 1 ₊

8

1 + … = 2 pour en induire l’impossibilité du mouvement.

Reprise au XVIIème siècle par Leibniz et Newton, la théorie de séries fut systématiquement explorée au siècle suivant par Leonhard Euler (1707-1783) et ses successeurs, Lagrange, Laplace, Lacroix, etc. Sans se préoccuper de convergence ou de divergence, notions alors mal définies, mais avec un sens mathématique très sûr, ces mathématiciens obtinrent, au moyen de techniques ingénieuses mais peu rigoureuses, une foule d’identités. En voici quelques-unes.

La série S = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ... considérée par Leibniz, Jacques Bernoulli, Euler et Lacroix, est divergente au sens de Cauchy, car ses sommes partielles valent alternativement 1 et 0.

Du reste, son terme général ne tend pas vers 0. Pourtant, Leibniz lui attribue la somme ½, considérant, qu’elles valent en moyenne ½. D’ailleurs, si l’on écrit

S = 1 − ( 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ... ) = 1 − S , on a bien S = ½ .

Plus généralement, on a formellement : U = 1 + x + x² + x³ + ... = 1 + x.U , d’où U =

−x 11 _. Nous avons déjà vu ce qu’il advient si l’on fait x = −1 dans cette identité.

Si l’on fait x = 2 , il vient : 1 + 2 + 2² + 2³ + ... = −1 . Si l’on fait x = −2 , il vient : 1 − 2 + 2²− 2³ + ... = 1/3 , etc.

De même si l’on substitue x = −1 dans l’identité 1 + 2x + 3x² + ... = )² 1 ( 1

−x ^, Leibniz obtient : 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − ... = 1/4 .

On peut de même faire x = ½, − ½ , 1 ou 3 dans la formule : ln(1 + x) = x −

2

² x ₊

3 x3

− 4 x4

+ …

Comme dans les précédents exemples, on sent bien que ces différentes substitutions n’ont pas le même degré de légitimité : faire x = ½, − ½ ou 1, soit, mais faire x = 3…

La formule du binôme, trouvée par Newton en 1676, s’écrit : ( 1 + x )^a = 1 + ax + . ²

! 2

) 1

(a x

a − _{+ … +} xn

n n a a

a .

!

) 1 )...(

1

( − − + _{+ …}

Newton l’a établie par des moyens heuristiques pour |x| < 1, mais il ne l’a pas démontrée.

Si l’on fait x = −2 dans la formule 1+x = 1 + 2x ₋

8

² x ₊

16 x3

− 128 5x⁴

+ … , on obtient ± i = … Plus généralement, les « formules de Taylor » permettaient de « développer » une fonction sous la forme f(x) = f(a) +

! 1

) ( ' a

f (x – a) +

! 2

) ( '' a

f (x – a)² + … +

! )

)(

(

n a f ⁿ

(x – a)ⁿ + …

sans qu’on sache bien s’il s’agit d’un développement limité (n fixé, x tend vers a), ou d’un développement en série (n tend vers l’infini, x étant fixé, mais dans quel domaine ?). Tout cela restait alors très flou.

Euler et Lacroix observèrent sans frémir que :

∑

^+∞

=

−

0

! . ) 1 (

n

nn =

∑

^+∞

∫

=

∞

+ −

−

0( 1).0 . .

n

x n

n x e dx =

∫ ∑

^{+ +∞∞}

=

− −

0 0

. . ) (

n

x

ne dx

x = dx

x e ^x 1 .

∫

0^+∞ ₊^{− ≈ 0, 5963…}

Mais quelle valeur attribuer à ce calcul purement algébrique ? Lagrange notait quant à lui que, pour θ ∉ 2πZ :

2 1 ₊

∑

^+∞

=1

) cos(

n

nθ = 0 et

∑

^+∞

=1

) sin(

n

nθ ⁼ 2 1_cotan

θ

2 _.

Certes, si l’on fait θ = π dans la première formule, ou θ = π/2 dans la seconde, on retrouve la série de Leibniz. Mais voilà de drôles de séries convergentes : leur terme général ne tend pas vers 0 ! Et les identités suivantes ne choquaient ni Euler ni Ramanujan qui les collectionnaient avec délices :

1 + 2 + 3 + 4 + … = −

121 , 1² + 2² + 3² + 4² + … = 0 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + … =

1201 , 1⁴ + 2⁴ + 3⁴ + 4⁴ + … = 0 1⁵ + 2⁵ + 3⁵ + 4⁵ + … = −

2521 , 1⁶ + 2⁶ + 3⁶ + 4⁶ + … = 0 , etc.

1.2. Le tournant de la rigueur : Cauchy, Abel (1820-1886).

Les mathématiciens sentaient bien que certaines de ces séries posaient des problèmes :

• Reprenons la série de Leibniz S = 1 – 1 + 1 – 1 + … , qui vaut ½ . Si l’on écrit S = ( 1 – 1) + ( 1 – 1 ) + … , il vient S = 0 Si l’on écrit S = 1 + ( −1 + 1 ) + ( −1 + 1 ) + … , il vient S = 1

• La série T = 1 + 1 + 1 + … a une somme manifestement égale à +∞ . Pourtant, si l’on écrit T = 1 + (2 – 1) + (3 – 2) + (4 – 3) + …, il vient T = 0

• Posons V = 1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + 1/5 − 1/6 + ... . On sait que V = ln 2.

On a : 2V = 2 − 1 + 2/3 − 1/2 + 2/5 − 1/3 + ... = 1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + ... = V , au moyen de simplifications convenables. D’où : ln 2 = 0 …

Aussi, dès 1768, d’Alembert s’alarme du manque de rigueur de la théorie des séries :

«Pour moi, j’avoue que tous les raisonnements et les calculs fondés sur des séries qui ne sont pas convergentes ou qu’on peut supposer ne pas l’être, me paraîtront toujours très suspects ».

Dans son Cours d’Analyse algébrique de l’Ecole royale polytechnique (1821), Cauchy prend une décision radicale :

« Je me suis vu forcé d’admettre plusieurs propositions qui paraîtront un peu dures, par exemple qu’une série divergente n’a pas de somme ».

Mais celui qui dénonça le plus clairement le manque de rigueur dans la théorie des séries fut Niels Abel, dans ces deux passages :

« Les séries divergentes sont en bloc une invention diabolique, et c’est une honte que l‘on ose fonder là-dessus une démonstration quelconque. On peut, avec leur secours, établir tout ce qu’on voudra, et ce sont elles qui ont fait tant de malheurs et qui ont enfanté tant de paradoxes. Peut-on imaginer quelque chose de plus affreux que de débiter

0 = 1 − ²n _{+ 3}n− ⁴n + etc. ,

n étant un nombre entier positif ? Tout cela m'a fait lever les yeux avec une vraie consternation ; car, si l’on excepte les cas les plus simples, tels que les séries géométriques, il n’existe, dans toutes les mathématiques, presque aucune série infinie dont la somme soit déterminée rigoureusement ; en d’autres termes, ce qu’il y a de plus important en mathématiques ne repose sur aucun fondement. La plupart des résultats sont justes, il est vrai, et c’est un fait extrêmement étonnant. Je fais mes efforts pour en découvrir la raison.

C‘est un problème excessivement intéressant. — Je ne crois pas que l’on pût me proposer beaucoup d’énoncés où il entrerait des séries infinies, et dont la démonstration ne me fournit pas matière à des objections fondées. Fais-le, et je te répondrai. — La formule du binôme elle-même n’est pas encore démontrée rigoureusement. (...). Le théorème de Taylor, fondement de toutes les hautes mathématiques est tout aussi mal établi. Je n’en ai rencontré qu’une seule démonstration rigoureuse ; c’est celle de Cauchy dans son Résumé des leçons sur le Calcul infinitésimal. » (lettre à B. M. Holmboe, 16 janvier 1826)

« Si l’on fait subir au raisonnement dont on se sert en général quand il s’agit de séries infinies, un examen plus exact, on trouvera qu’il est, à tout prendre, peu satisfaisant, et que par conséquent le nombre des théorèmes, concernant les séries infinies, qui peuvent être considérés comme rigoureusement fondés, est très limité. On applique ordinairement les opérations de l’analyse aux séries infinies de la même manière que si les séries étaient finies, ce qui ne me semble pas permis sans démonstration particulière. (...)

Un autre procédé qu’on trouve fréquemment dans l’analyse, et qui assez souvent conduit à des contradictions, c’est qu’on se sert des séries divergentes pour l’évaluation des valeurs numériques des séries. Une série divergente ne peut jamais être égale à une quantité déterminée ; c’est seulement une expression jouissant de certaines propriétés qui se rapportent aux opérations auxquelles la série est soumise.

Les séries divergentes peuvent quelquefois servir avec succès de symboles pour exprimer telle ou telle proposition d'une manière abrégée ; mais on ne saurait jamais les mettre à la place de quantités déterminées. Par un tel procédé on peut démontrer tout ce qu’on veut, l’impossible aussi bien que le possible.»

(Recherches sur la série du binôme, 1826) Ainsi Cauchy et Abel lancent une « fatwa » contre les séries divergentes : elles sont chassées du vert paradis des mathématiques. Exit la plupart des formules de Leibniz, d’Euler ou de Lagrange ! Cet oukase rencontra une vive résistance, tant dans le milieu mathématique que parmi les enseignants de Polytechnique, qui ne voyaient pas l’intérêt d’un enseignement aussi rigoureux³. Dans les années suivantes, Cauchy et Abel développent la théorie des séries sur des bases rigoureuses : les formules de Taylor sont élucidées, la formule du binôme justifiée avec soin, les paradoxes de la convergence commutative ou du groupement par paquets sont expliqués. Dirichlet, Kummer, Riemann, Weierstrass poursuivent ce grand travail. La théorie des séries se développe de manière rapide et anarchique, accumulant les « critères de convergence ».

1.3. Le revirement de 1886 : Stieltjes, Poincaré, Cesàro…

Après le Cours de Cauchy et les mémoires d’Abel de 1826, plus aucun mathématicien n’osa s’intéresser aux séries divergentes, et il fallut attendre 1886 pour que le sujet revienne à l’ordre du jour, grâce à deux mémoires de Thomas Stieltjes et de Henri Poincaré. Pourquoi ce revirement ? Dans ses travaux de mécanique céleste sur le problème des trois corps, Poincaré tombe sur des séries divergentes. Or ces séries ont bien un sens, puisqu’elles représentent le mouvement des planètes ! D’autre part, on savait depuis le 18^ème siècle que certaines séries divergentes de

« somme » f(x) fournissent de meilleures approximations que des séries convergentes de même somme : ce mystère restait à expliquer. Abel lui-même en convenait !

Par la suite, l’italien Cesàro (1890), le français Borel (1895), les allemands Frobenius, Hölder, Toeplitz et Schur, les anglais Bromwich, Hardy et Littlewood, le suédois Nörlund, etc. ont développé cette théorie, qui n’a cessé d’être approfondie depuis, jusqu’aux travaux de Jean-Pierre Ramis, actuel membre de l’Académie des sciences. Ces mathématiciens ont montré qu’il était possible de donner un sens précis et cohérent à toutes les identités trouvées par Leibniz, Euler, Lagrange et Ramanujan. Mais cela impose de faire preuve d’imagination, et de généraliser la définition de la convergence des séries.

3 Résistances bien relatées dans le Bulletin de la Société des Amis de la Bibliothèque de l’X consacré à Cauchy (n°5, 1989).

Ainsi le mathématicien a une certaine liberté dans ses définitions, et de légers changements de point de vue permettent parfois de donner sens à ce qui de prime abord semble contrevenir à la rigueur. Ce phénomène est fréquent dans l’histoires des sciences : les nombres imaginaires ont été utilisés bien avant d’être complètement élucidés, le calcul symbolique de Heaviside et la mesure de Dirac ont été introduits bien avant que Schwartz n’invente les distributions.

2. Procédés sommatoires.

Rappelons qu’une série

∑

^+∞

=0 n

un désigne le couple de suites ((u_n), (U_n)) formées des termes généraux u_n et des sommes partielles U_n =

∑

= n

k

uk 0

.

Les séries forment un espace vectoriel, sous-espace vectoriel de l’espace des couples de suites.

2.1. L’idée simple de Cesàro (1890).

Comment assigner à une série, même divergente, une somme ayant des propriétés raisonnables ? En 1890, Cesàro a l’idée suivante :

Définition 1 : On dit que la série

∑

^+∞

=0 n

un converge au sens de Cesàro vers U si la suite (U_n) de ses sommes partielles converge en moyenne de Cesàro, autrement dit si la suite :

V_n = 1 1+

n ^{( U0 + U1 + ... + Un )} converge vers U. On note alors

∑

^+∞

=0 n

u n ^{= U (C). 4}

Exemples et contre-exemples : 1)

∑

^+∞

=

−

0

) 1 (

n

n = ½ (C), car la suite (1, 0, 1, 0, … ) tend vers ½ en moyenne de Cesàro.

Leibinz est enfin réhabilité ! 2) Plus généralement,

∑

^+∞

=0 n

xn =

−x

11 (C) pour |x| ≤ 1 et x ≠ 1.

3) Lagrange affirmait que 2 1 ₊

∑

^+∞

=1

) cos(

n

nθ = 0 , et que

∑

^+∞

=1

) sin(

n

nθ ⁼ 2 1_cotan

2

θ

pour θ ∉ 2πZ.

C’est faux au sens de Cauchy, mais vrai au sens de Cesàro.

[

Indication : Pour la première, montrer que U_n =

) 2 / sin(

. 2

) 2 / ) 1 2 sin((

θ θ

+

n et que V_n =

) 2 /

²(

sin . 2

) 2 /

²(

sin

θ θ

n

n

]

4) Soit f ∈ CCCC_2π(R, C) une fonction continue 2π-périodique R → C. La série de Fourier de f ne converge pas simplement vers f, mais converge vers f au sens de Cesàro. Ainsi, on peut écrire : f(θ) =

∑

^+∞

−∞

= n

n f

c )( .e^inθ = 2

)

0(f

a +

∑

^+∞

= +

1

) sin(

).

( ) cos(

).

(

n

n

n f n b f n

a

θ θ

^{(C) .}

C’est le théorème de Féjér.

5) Les séries ( 1).( 1)

0

+

∑

^+∞ −

=

n

n

n et

∑

^+∞

= −

0

! . ) 1 (

n

nn divergent au sens de Cesàro.

4 «Lorsque s_n , sans tendre vers une limite, admet une valeur moyenne s finie et déterminée, nous dirons que la série a₀ + a₁ + a₂ + ... est simplement indéterminée, et nous conviendrons de dire que s est la somme de la série» , déclare Cesàro dans un article sur la multiplication des séries, en 1890.

Toutefois, on peut affirmer que ( 1).( 1)

0

+

∑

^+∞ −

=

n

n

n =

4

1, car les sommes partielles tendent vers ¼ en moyenne de Cesàro itérée. Leibniz est à nouveau réhabilité !

2.2. Procédés sommatoires généraux.

Définition 2 : Soient K = R ou C, G un ensemble de séries

∑

^+∞

=0 n

u n à terme général dans K, et S une application : G → K. Nous écrirons

∑

^+∞

=0 n

u n = U (G) pour signifier que la série

∑

^+∞

=0 n

un est élément de G et a pour image U par S. Nous dirons que S définit sur G un procédé sommatoire si le couple (G, S) vérifie les axiomes suivants :

• Linéarité. G est un K-espace vectoriel et S est linéaire, autrement dit :

∑

^+∞

=0 n

u n ^{= U (G)} et

∑

^+∞

=0 n

v n ^{= V (G) ⇒} ( . . )

0

n n

n bv u a +

∑

^+∞

=

= a.U + b.V (G) ;

• Permanence. G contient l’espace vectoriel des séries convergentes, et S prolonge la somme habituelle, en ce sens que :

∑

^+∞

=0 n

u n ^{= U ⇒}

∑

^+∞

=0 n

u n = U (G) ; • Troncature. Si la série

∑

^+∞

=0 n

u n appartient à G, la série

∑

^+∞

= +

0 1 n

un appartient aussi à G, et

∑

^+∞

=0 n

u n ^{= U (G) ⇒}

∑

^+∞

= +

0 1 n

un = U − u0 (G) . Si

∑

^+∞

=0 n

u n = U (G), on dit que la série

∑

^+∞

=0 n

un est sommable de somme U au sens du procédé sommatoire (G, S).

Exemples :

1) Il est facile de montrer que la convergence au sens de Cesàro est bien un procédé sommatoire.

2) Supposons qu’il existe une classe G contenant la série de Leibniz-Euler

∑

^+∞

=

−

0

) 1 (

n

n, elle contient la série opposée, et

∑

^+∞

= −

0

) 1 (

n

n = U (G) ⇒

∑

^+∞

=

− + 0

) 1

1 (

n

n = U − 1 = − U (G), d’où :

∑

^+∞

=

−

0

) 1 (

n

n ⁼ 2 1 _(G).

Ainsi, si la série

∑

^+∞

=

−

0

) 1 (

n

n est sommable pour un procédé sommatoire, sa somme vaut ½ . 3) Plus généralement, si la série géométrique

∑

^+∞

=0 n

xn converge relativement à un procédé somma- toire (G, S),

∑

^+∞

=0 n

x n ^{= U (G)implique}

∑

^+∞

= + 0

1 n

xn = x.U = U − 1, donc U =

−x 1

1 _.

∑

^+∞

=0 n

x n ⁼ 1−x

1 (G) . En particulier,

∑

^+∞

=0

2

n

n = − 1 (G).

Cela suppose x ≠ 1 ; la série

∑

^+∞

=0

1

n

n’appartient à aucun G.

Exercice : Soient (F_n) et (L_n) les suites de Fibonacci et Lucas, définies resp. par :

F_n+2 = F_n+1 + F_n , F₀ = 0 , F₁ = 1 & L_n+2 = L_n+1 + L_n , L₀ = 2 , L₁ = 1.

Démontrer que, si elles convergent relativement à un procédé sommatoire (G, S), alors :

∑

^+∞

=0 n

Fn =

∑

^+∞

=0 n

Ln= − 1 (G) ;

∑

^+∞

= −

0

) 1 (

n

nFn = − 1 (G) ;

∑

^+∞

= −

0

) 1 (

n

nL n = 3 (G).

Plusieurs problèmes se posent :

1) Trouver différents procédés sommatoires (G, S) non triviaux, et les plus généraux possible, afin de « faire converger » le plus grand nombre possible de séries divergentes.

2) Etudier la compatibilité de ces différents procédés : si

∑

^+∞

=0 n

u n est sommable au sens de (G, S) et de (G’, S’), il est souhaitable qu’elle ait même somme !

3) Si la série

∑

^+∞

=0 n

u n diverge, mais vérifie

∑

^+∞

=0 n

un= U (G), les sommes partielles de la série ne tendent pas vers U. Néanmoins, et paradoxalement, certaines d’entre elles peuvent fournir de bonnes approximations de U.

2.3. Exemples de procédés sommatoires.

Problème 1 : procédé de sommation d’Abel-Cesàro.

On dit que la série

∑

^+∞

=0 n

an est sommable au sens d’Abel, et l’on note

∑

^+∞

=0 n

an = L (A), si :

∑

^+∞

=0

.

n nxn

a a un rayon de convergence ≥ 1 _{et lim}

x→1−0

∑

^+∞

=0

.

n nxn

a = L . 1) Montrer que l’on définit ainsi un procédé sommatoire.

2) Étudier la sommabilité d’Abel des séries suivantes :

∑

^+∞

= −

0

) 1 (

n

n ^, ( 1).( 1)

0

+

∑

^+∞ −

=

n

n

n ,

∑

^+∞

= −

0

) ( . ) 1 (

n

nP n ( P polynôme ) 3) Montrer que si (∀n) an ≥ 0, alors

∑

^+∞

=0 n

an = L ⇔

∑

^+∞

=0 n

an = L (A).

4) Montrer que

∑

^+∞

=0 n

a n ^{= L (C) ⇒}

∑

^+∞

=0 n

an = L (A) ( Frobenius, 1880 ).

5) Sommabilités au sens de Cesàro.

Soit

∑

^+∞

=0 n

an une série à termes complexes, (s_n) la suite de ses sommes partielles.

On définit les deux suites de suites (S(n, k)) et (A(n, k)) par :

S(n, 0) = sn S(n, k) = S(0, k−1) + S(1, k−1) + ... + S(n, k−1) (∀n ≥ 0) (∀k ≥ 1) A(n, 0) = 1 A(n, k) = A(0, k−1) + A(1, k−1) + ... + A(n, k−1) (∀n ≥ 0) (∀k ≥ 1) La série

∑

_anest dite (C_k)-sommable, et l’on note ∑_an= s (C, k) , si

(

) , (

) , (

k n A

k n

S

)

_n tend vers s.

Calculer les nombres A(n, k) , et montrer la chaîne d’implications :

∑

a_n = s (C⁰) ⇒

∑

a_n = s (C¹) ⇒ ... ⇒

∑

a_n = s (C_k) ⇒

∑

a_n = s (C_k+1) ⇒ ... ⇒

∑

a_n = s (A) 5) Euler affirme que la série 1 − 1! + 2! − 3! + … est convergente et a pour somme : − e ( γ − 1 +

! 2 . 2

1 ₋

! 3 . 3

1 _{+ … )} ≈ 0,5963 . Est-ce vrai au sens d’Abel ?

Problème 2 : ensembles réguliers de N.

A toute partie X ⊂ N on associe sa fonction caractéristique χX(n) = 1 si n ∈ X , 0 si n ∉ X.

1) On dit que X est C-régulière si

∑

^+∞

=0

) (

n X n

χ converge au sens de Cesàro, et l’on note alors : d_C(X) =

∑

^+∞

=0

) (

n X n

χ ^(C).

a) Interprétation probabiliste de cette notion ?

b) Si X est C-régulière, que dire de N*−X, et des translatées de X ? Si X et Y sont disjointes et C-régulières, que dire de X ∪ Y ?

c) Etudier la C-régularité de l’ensemble des carrés d’entiers, de l’ensemble des puissances d’entiers (noter que si m ∈ [2, n] est de la forme m = a^k, alors k ≤ log₂ n et a ≤ n), de l’ensemble des entiers dont le développement décimal ne comporte pas le chiffre 9, de l’ensemble des nombres premiers ?

2) On dit que X est A-régulière si

∑

^+∞

=0

) (

n X n

χ est sommable au sens d’Abel, et l’on note : d_A(X) =

∑

^+∞

=0

) (

n X n

χ ^(A).

Propriétés de cette notion? Liens avec la C-régularité ? Montrer que l’ensemble des entiers de la forme m² + n² est A-régulier de densité nulle.

Problème 3 : procédé de sommation de Carleman.

À la série numérique ou vectorielle

∑

^+∞

=1 n

un , on associe la série

∑

^+∞

=1 n

vn de terme général : v_n =

) 1 (1

+ n

n ^{( u1 + 2u2} + ... + n.u_n ) . 1) Montrer que si

∑

^+∞

=1 n

un converge, alors

∑

^+∞

=1 n

vn converge et a même somme : a) lorsque la série

∑

^+∞

=1 n

un est à termes positifs ; b) lorsque la série

∑

^+∞

=1 n

un est absolument convergente ; c) dans le cas général (exprimer les sommes partielles de

∑

^+∞

=1 n

vn à l’aide de celles de

∑

^+∞

=1 n

u )n . Montrer que la réciproque est fausse.

2) On dit que la série

∑

^+∞

=1 n

un est sommable au sens de Carleman si

∑

^+∞

=1 n

vn converge, et l’on note

∑

^+∞

=1 n

un = S (TC) ssi

∑

^+∞

=1 n

vn = S.

Montrer que l’on définit ainsi un procédé de sommation. Exemples ? Problème 4 : Procédé de sommation d’Euler (1755).

À la série numérique ou vectorielle

∑

^+∞

=0 n

un, on associe la série

∑

^+∞

=0 n

vn de terme général :

v_n = ₁ 2

1n+

∑

= n

k nk

C

0

.u_k ( transformation d’Euler ).

1) Montrer que si

∑

^+∞

=0 n

un converge, alors

∑

^+∞

=0 n

vn converge et a même somme : a) lorsque la série

∑

^+∞

=0 n

un est à termes positifs , ou absolument convergente ; b) dans le cas général (exprimer les sommes partielles de

∑

^+∞

=0 n

vn à l’aide de celles de

∑

^+∞

=0 n

u )n . Montrer que la réciproque est fausse.

Montrer que la transformation d’Euler définit un procédé sommatoire.

On notera que la transformation d’Euler transforme

∑

^+∞

= −

0

) 1 (

n

nan en

∑

^+∞

= −

0

) 1 (

n n

1 0

2 ⁺

∆

n na

, où ∆ ap = a_p+1 − ap est l’opérateur des différence finies.

2) Applications :

a) Montrer que : ln 2 =

∑

^+∞

=

− − 1

) 1

1 (

n

n

n ⁼

∑

^+∞

=1 .2 1

n

n n ^.

b) Montrer que :

π

4 ₌

∑

^+∞

= +

−

02 1

) 1 (

n

n

n ^{= 1 +}

∑

^+∞

=11.3.5...(2 +1) ...

3 . 2 . 1

n n

n .

c) Soit x > 0. Montrer que :

∑

^+∞

= +

−

0

) 1 (

n

n

n x ⁼

∑

^+∞

=0 + + +

1. ( 1)...( ) 2

!

n

n x x x n

n .

Ces exemples montrent que la transformation d’Euler accélère parfois la convergence de certaines séries. ⁵

Problème 5 : procédé de sommation exponentielle de Borel (1895). ⁶ On dit que la série

∑

^+∞

=0 n

an est sommable au sens de Borel, et on note

∑

^+∞

=0 n

an = L (B), si la série entière

∑

^+∞

=0

!.

n n xn

n

A a un rayon de convergence infini et si : lim_x→+∞ e^−x

∑

^+∞

=0

!.

n n xn

n

A _{= L}

, où A_n = a₀ + … + a_n . 1) Démontrer que c’est bien un procédé sommatoire.

2) Etudier la sommabilité au sens de Borel des séries :

∑

^+∞

= −

0

) 1 (

n

n,

∑

^+∞

=0 n

an et

∑

^+∞

= − +

0

) 1 .(

) 1 (

n

n n .

3) Les suites de Fibonacci et Lucas (F_n) et (L_n) sont-elles sommables au sens de Borel ? ( Réponse : non )

5 Cf. problème de Capes, 1987.

6 Cf problème Mines 1986. Pour des compléments, cf Borel, Leçons sur les séries divergentes, p. 122 etc.

3. Théorèmes généraux.

Problème

Toutes les séries ici considérées sont à termes réels ou complexes. Ce problème utilise la transformation d’Abel.

1) La suite (λn) est dite à variation bornée si

∑

^+∞

= +−

1 1 i

i λi

λ < +∞. Démontrer que les suites à variation bornée forment un sous-espace vectoriel de l’espace des suites convergentes.

L’inclusion est-elle stricte ?

2) Soit (λn) une suite à variation bornée. Montrer que, pour toute série convergente

∑

^+∞

=1 n

un, la série

∑

^+∞

=1

.

n n nu

λ converge, et qu’en notant R_n =

∑

^+∞

+

=n 1 k

uk la suite des restes, on a :

∑

^+∞

=1

.

n n nu

λ ⁼ λ1

∑

^+∞

=1 n

un +

∑

^+∞

= +−

1

1 )

(

n

n λn

λ ^.Rn et

∑

^+∞

+

= 1

.

p n

n nu

λ ⁼ λp+1 R_p +

∑

^+∞

+

= +−

1

1 )

(

p n

n

λ

n

λ

^.Rn . 3) Soit B = (b_ni) une « matrice infinie », i.e. une famille de scalaires indexée par N*×N*, vérifiant : (K1) Pour tout i , βi = lim b_ni existe ;

(K2) (∃C ≥ 0) (∀n ≥ 1)

∑

^+∞

=1 i

| b_ni − bn,i+1 | ≤ C . A la série convergente

∑

^+∞

=1 n

un, on associe la suite (t_n) définie par (∀n) tn =

∑

^+∞

=1

.

i i niu b . Montrer que la suite (t_n) converge ; quelle est sa limite ?

Cas où, pour tout i , βi = 1 ? Cas où (∃C ≥ 0) (∀n ≥ 1)

∑

^+∞

=1 i

| b_ni | ≤ C ?

Montrer que l’on peut remplacer n par un paramètre λ∈ A ⊂ E, espace métrique, λ→λ0 ∈Α. 4) Soit A = (a_ni) une « matrice infinie » au sens de 3), vérifiant :

(H1) Pour tout i , s_i =

∑

^+∞

=1 i

ani converge ; (H2) Pour tout n ,

∑

^+∞

=1 i

| a_ni − an,i+1 | converge ; (H3) (∃C ≥ 0) (∀N ≥ 1)

∑

^+∞

=1 i

| ∑

= − +

N

n

i n ni a a

1

1 , )

(

|

≤ C.

A la série

∑

^+∞

=1 n

un, on associe la série

∑

^+∞

=1 n

vn, où pour tout n, v_n =

∑

^+∞

=1

.

i i niu a . Montrer que si

∑

^+∞

=1 n

unconverge, alors

∑

^+∞

=1 n

vn converge ; que vaut sa somme ?

[On pourra se ramener à 3) et noter que (H2) découle de (H3).] Cas où tous les s_i sont égaux à 1 ? 5) Applications : exemples de procédés sommatoires.

a) Soit

∑

^+∞

=1 n

un une série convergente. Pour tout m ∈ N, on pose : t_m = u₀ +

+1 m

m _u

1 +

) 2 )(

1 (

) 1

.( +

+ − m m

m

m u₂ +

) 3 )(

2 )(

1 (

) 2 ).(

1

.( + +

+ − −

m m m

m m

m u₃ + …

Convergence et limite de (t_m) ?

b) (Carleman) Soit

∑

^+∞

=1 n

un une série convergente. Montrer que :

∑

^+∞

=1 ( +1) 1

n n n ( u₁ + 2.u₂ + … + n.u_n ) =

∑

^+∞

=1 n

un

c) (Euler) Soit

∑

^+∞

=0 n

un une série convergente. Montrer que :

∑

^+∞

=02 1

n

n

∑

= n

i i i nu C

0

. = 2

∑

^+∞

=0 n

un. d) (Abel) Soit

∑

^+∞

=0 n

an une série convergente. Montrer que lim_x→1−0

∑

^+∞

=0 n

anxⁿ =

∑

^+∞

=0 n

an. e) (Riemann) Soit

∑

^+∞

=1 n

un une série convergente. Pour tout h ≠ 0, soit U(h) =

∑

^+∞

=1 n

u (n

nh nh) sin( )² Existence et continuité de U ? Etudier lim _h→0 U(h) .

[Indication : montrer que

∫

₀^+∞

^|

_dx^{d (sin}_x²^²x)

^|

.dx converge.]

f) (Borel) Soit

∑

^+∞

=0 n

an une série convergente. Démontrer que : lim _x→+∞ exp(−x)

∑

^+∞

=

+ + +

0 1 0

! ...

n

n

n a a

a xⁿ =

∑

^+∞

=0 n

an.

Remarque : Les résultats énoncés dans les questions 2, 3 et 4 admettent des réciproques, que l’on peut déduire du théorème de Banach-Steinhaus. Mais à côté de ces procédés sommatoires géné- raux existent des procédés partiels, vérifiant la propriété de permanence pour certaines séries seulement.

4. Sommation par la méthode du prolongement analytique.

Considérons la série entière

∑

^+∞

=0 n

zn. Nous savons qu’elle converge dans le disque ouvert |z| < 1, et a pour somme

−z

11 , et qu’elle diverge ailleurs.

Faire z = −1, 2 ou −2 dans l’identité

∑

^+∞

=0 n

zn =

−z

11 est donc absurde.

Et il est de même absurde de faire x = −1, 2 ou − 2 dans l’identité 1 + 2x + 3x² + ... = )² 1 ( 1

−x Cependant, la théorie du prolongement analytique montre que ce n’est pas si absurde.

Que dit cette théorie ? Soit

∑

^+∞

=0 n

nzn

a une série entière de rayon de convergence R > 0.

Sa somme f(z) est donc définie et analytique dans le disque ouvert |z| < R.

Il arrive souvent, mais pas toujours, qu’on puisse prolonger f en une fonction analytique sur un ouvert Ω contenant strictement f. Cette fonction est alors unique, autrement dit, il existe au plus un prolongement analytique de f à Ω. On peut alors à bon droit noter encore f ce prolongement, et le plus grand ouvert Ω est alors de domaine de définition naturel de f.

Si z ∈Ω, on notera encore

∑

^+∞

=0 n

nzn

a = f(z) (PA), c’est-à-dire au sens du prolongement analytique.

Par exemple, la série

∑

^+∞

=0 n

zn, de rayon R = 1, a pour somme f(z) =

−z 11 _. Or cette fonction est définie et analytique dans l’ouvert Ω = { z ∈ C ; z ≠ 1 }.

On peut écrire, avec les conventions précédentes, des choses comme :

∑

^+∞

= −

0

) 1 (

n

n = 2

1 (PA), ou

∑

^+∞

=0

2

n n =

2 11

− ^{= − 1 (PA).}

∑

^+∞

=0 n

F n =

∑

^+∞

=0 n

Ln= − 1 (PA) ;

∑

^+∞

= −

0

) 1 (

n

nFn = − 1 (PA) ;

∑

^+∞

= −

0

) 1 (

n

nL n = 3 (PA).

Un bel exemple : la fonction zêta.

On sait que la fonction ζ est définie par ζ(x) =

∑

^+∞

=1

1

n

nx . Que penser des identités suivantes : 1 + 2 + 3 + 4 + … = −

121 , 1² + 2² + 3² + 4² + … = 0 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + … =

1201 , 1⁴ + 2⁴ + 3⁴ + 4⁴ + … = 0 1⁵ + 2⁵ + 3⁵ + 4⁵ + … = −

2521 , 1⁶ + 2⁶ + 3⁶ + 4⁶ + … = 0 , etc. ? Ces identités ont mis Abel en colère au début du XIXème siècle.

La première de ces identités fut pourtant retrouvée par Ramanujan un siècle plus tard…

En fait, ces identités font allusion au prolongement analytique de la fonction ζ à l’ouvert C − {1}:

ζ(−1) =

∑

^+∞

=1 n

n = −

121 , ζ(−2) =

∑

^+∞

=1

²

n

n = 0 , ζ(−3) =

∑

^+∞

=1 4 n

n =

1201 , ζ(−4) =

∑

^+∞

=1 4 n

n = 0 , ζ(−5) =

∑

^+∞

=1 5 n

n = −

2521 , ζ(−6) =

∑

^+∞

=1 6 6 n

n = 0 , etc.

L’entourpoule vient de ce que l’identité ζ(x) =

∑

^+∞

=1

1

n

nx n’est plus valable lorsque x ≤ 1, et qu’on fait comme si elle restait valable !

L’équation fonctionnelle de ζ s’écrit : ζ(1 − s) = _s ) 2 ( 2

π

^{cosπ2s.Γ(s).ζ(s) .}

Si l’on fait s = 2, il vient ζ(− 1) = ₂ ) 2 ( 2

π

^{cos(π).Γ(2).ζ(2) = − 121 .}

De même, ζ(−3) , ζ(−5), … renvoient aux ζ(4), ζ(6), c’est-à-dire aux nombres de Bernoulli , tandis que ζ(−2) , ζ(−4), etc. sont nuls par un argument de passage à la limite. Ainsi :

ζ(1 − 2m) = _2m ) 2 ( 2

π

^{cos(mπ).Γ(2m).ζ(2m) = (2}

π

^{2)2m(−1)m.(2m–1)!.21 ((22 ))!}

2

m π m

B_m = (−1)^m. m Bm

2 ^.

5. Séries asymptotiques.

Très portés sur le calcul numérique, les mathématiciens du XVIIIème siècle (Euler, Laplace …), observaient que la série

∑

^+∞

=0 !

n n

n

x « finit par être convergente » , tandis que la série

∑

^+∞

=0

!

n

xn

n «finit par être divergente». Qu’entendaient-ils par là ?

La série

∑

^+∞

=0 !

n n

n

x « finit par être convergente »…

Si l’on en croit les matheux sérieux, pour tout x, cette série convergerait « rapidement » vers e^x. Précisons cela : la convergence est rapide, mais à partir d’un certain rang seulement. Pour x ≤ 0, la suite (E_n(x)) oscille autour de e^x, mais elle commence par s’en éloigner, avant de s’en rapprocher à partir de n = [x]. C’est ce que montre le graphique suivant :

> with(plots) :

> E : = (n, x) -> sum(x^k/k! , k = 0 .. n) ; listplot([seq([n, E(n, −15)] , n = 1 .. 25)]) ;

Pour x ≥ 0, la suite (E_n(x)) tend en croissant vers e^x, mais, là encore, la convergence n’est rapide qu’à partir de la valeur n = [x], moment où la concavité s’infléchit et où la suite, d’abord réticente, s’abandonne à son sort :

listplot([seq([n, E(n, 10)] , n = 1 .. 20)]) ;

L’exponentielle est un bel exemple de série que Laplace nommait « d’abord divergente, puis convergente ». La convergence est rapide du point de vue du calcul asymptotique, non du point de vue du calcul numérique. Cela dit, si l’on se place de ce point de vue, et si l’on cherche à réaliser une table de valeurs de l’exponentielle, on peut se borner à calculer exp(x) pour 0 ≤ x ≤ 1.

La série

∑

^+∞

=0

!

n

xn

n « finit par être divergente »…

Les matheux disent que, pour tout x, cette série est grossièrement divergente. Pourtant, on constate que pour x ≠ 0, la suite (S_n(x)) des sommes partielles commence par tendre vers une certaine valeur, avant de s’en éloigner :

with(plots) : S := > (n, x) -> sum(k!/x^k , k = 0 .. n) ; listplot([seq([n, S(n, 10)] , n = 1 .. 22)]) ;

listplot([seq([n, S(n,−10)] , n = 1 .. 22)]) ;

Au vu de ces graphes, on voit que cette série « commence par converger », puis elle s’éloigne de sa « limite ». Il n’est pas absurde d’assigner à cette série une somme qui serait cette « limite » dont elle finit par s’écarter. Nous reviendrons là-dessus au § 5.

Problème 1 : fonction d’erreur et courbe en cloche

1) a) Montrer que exp(−t²) est intégrable sur R. On admet que son intégrale vaut

π

^.

b) Domaine de domaine de définition (réel) de la fonction F(x) =

∫

₀^{xexp(−t²).dt.}

c) Montrer que F est C^∞. Étude des variations, concavité comprise, et graphe.

2) Développement en série entière. Exprimer F(x) comme somme d’une série entière sur R.

Représenter sur un même graphe F et les premières sommes partielles de son développement en série. Qu’observe-t-on ?

3) Étude approchée et asymptotique de F .

a) Au moyen d’une intégration par parties, trouver un encadrement, et un équivalent de : R₀(x) =

∫

_x^{+∞e .−t²dt.}

b) Pour tout entier k ≥ 0, on pose R_k(x) =

∫

_x^+∞e_t^−2kt².dt; relation entre R_k(x) et R_k+1(x) ? c) En déduire que R₀(x) est compris entre deux sommes partielles consécutives de la série :

x x 2

exp(− ²)

[

1 −

² . 2

1

x ⁺ 2². ⁴ 3

x − ... + (−1)ⁿ _{n n} x n

n

2 2. !.

2 )!

2

( + ...

]

Cette série est-elle convergente ? En quel sens Laplace peut-il dire que les sommes partielles S_n(x) de cette série «commencent par converger» ? Comment déduire de ceci un procédé de calcul approché de R₀(x) ? Exemples : x = 5, x = 10. Montrer que :

(∀x ≥ n)

|

ex² _R

0(x) − Sn(x)

|

≤ _{2 1 2 1}

!.

. 2

)!

2 (

+

+ n

n n x

n _≤

. 2

4 1n+

n ^.

d) En déduire également que F admet en +∞ le développement asymptotique suivant :

2

π

_{− e}^−x²

[

x . 2

1 ₋

3 2. 2

1

x ⁺ 2³. ⁵ 3

x − ... + (−1)ⁿ _{2 1 2 1}

!.

. 2

)!

2 (

+

+ n

n n x

n + O( ₂1₃

+

x n ⁾

]

Représenter sur un même graphe F(x) et les premières sommes partielles de ce développement asymptotique.

4) Comparer les résultats des questions 2) et 3), d’un point de vue graphique, puis d’un point de vue numérique, lors du calcul approché de F(10), F(5), F(1).

Problème 2 : d’Euler à Stieltjes

On cherche une fonction F ∈ C^∞(R⁺, R) telle que : (∀n) F⁽ⁿ⁾(0) = (−1)ⁿ n!² . 1) Montrer que si F existe, elle est loin d’être unique ; est-elle dse au V(0) ? 2) On considère la série de Taylor formelle A =

∑

^+∞

=0 ) ( (0)

n

F n

! n Xⁿ

.

Montrer que A vérifie une équation différentielle linéaire d’ordre 1 que l’on indiquera.

3) Résoudre l’équation différentielle (E) x² y'(x) + ( x + 1 ) y(x) = 1 sur R*₊. 4) Montrer l’identité :