A108 - En profit ou en perte ?

A108 - En profit ou en perte ?

Soient a avec i=1,2,3,…. les résultats mensuels de la société Caquarante._i

1) Couple (12,9)

La période au cours de laquelle les affirmations du directeur financier (DF) et de l’analyste (A) restent vraies ne peut pas excéder 17 mois.

En effet à l’issue des six premiers mois, A peut dire :



1

a < 0 et trois mois plus tard le DF i

affiche :



1

a > 0 . Il en résulte i



10

a > 0. i

A l’issue d’une période de 15 mois, le DF peut dire :



4

a > 0 et A : i



7

a <0. Il en résulte i



4

a > 0. i

Enfin au bout de 18 mois le premier met en avant :



7

a > 0 et le second : i



10

a < 0. D’où i



7

a > 0. Les trois inégalités i



4

a > 0, i



7

a > 0 et i



10

a > 0 entraînent i



4

a > 0. Cette i

inégalité est incompatible avec les déclarations de l’analyste selon lesquelles tout résultat cumulé sur neuf mois glissants est négatif.

Pour D=17 mois, il existe une infinité de séquences de résultats mensuels obéissant aux affirmations de l’un et l’autre et l’on va déterminer l’une d’entre elles.

A partir des 6 inégalités ^k



k

a > 0 pour k=1,2,3,4,5,6 et des 12 inégalités i



k

a < 0 pour i

k=1,2,3,…,7,8,9, on en déduit d’une part



k

a > 0 pour k=1 à 6 et k=10 à 15 et d’autre part i



k

a < 0 pour k=7,8 et 9. Il apparaît que le terme central i a joue un rôle privilégié et on peut ₉ le retenir comme seul terme négatif de la séquence complète de 17 termes. Ainsi la séquence composée de 8 termes égaux à 1 suivis du terme central a = - 9 et à nouveau 8 termes égaux ₉ à 1 : (1,1,1,1,1,1,1,1,-9,1,1,1,1,1,1,1,1) répond aux critères mentionnés par le DF et A. Les six sommes glissantes sur 12 mois sont égales à +2 tandis que les neuf sommes glissantes sur 9 mois sont égales à –1.

2) Couple (12,x)

2-1 Pour x=2,3,4 et 6, c’est à dire pour les valeurs de x qui divisent 12, on constate qu’il n’y a pas de solution possible. En effet il y a contradiction entre l’annonce du DF d’un résultat positif sur 12 mois et celle de A. Si ce dernier a raison, quand on cumule 6 résultats bimestriels consécutifs < 0 ou 4 résultats trimestriels consécutifs < 0 ou 3 résultats quadrimestriels consécutifs < 0 ou 2 résultats semestriels consécutifs < 0, on a nécessairement des résultats sur 12 mois négatifs. A l’inverse si le DF a raison, l’une quelconque des affirmations de A est erronée.

2-2 x=5

La période D ne peut pas excéder 15 mois. En effet si D = 16, on aboutit à une contradiction. En effet des inégalités ^k



k

a >0 pour k=1,2,3,4,5 et i



k

a < 0 pour i

k=1,2,3,…,9,10,11,12, on en déduit i, a_ia_i1> 0 



1

a > 0 ce qui est incompatible avec i







6 i 5

1 i 10

1

i a a

a < 0.

Pour D=15, on trouve aisément une séquence répondant aux critères du DF et de A et dans laquelle termes positifs et négatifs alternent : -5, 6, -5, 6, -5, 6, -5, 6, -5, 6, -5, 6, -5, 6, -5.

2-3 x=7

La période D ne peut pas excéder 17 mois. En effet si D = 18, on aboutit à une contradiction. En effet des sept inégalités ^k



k

a >0 pour k=1,2,3,4,5,6,7 et des 12 i

inégalités



k

ai< 0 pour k=1,2,3,…,9,10,11,12, on en déduit i, a_ia_i1< 0 



1

a < 0 ce qui est incompatible avec la somme > 0 sur les douze i

premiers mois.

Pour D=17, en manipulant les six inégalités ^k



k

a >0 et les onze inégalités i



k

a < 0, on i

déduit aisément les signes des termes de la séquence qui alternent de la façon suivante: + - + - + + - + - + - + + - + - +. En prenant tous les termes positifs égaux à a et également les termes négatifs égaux à b, on a la double inéquation 4a + 3b < 0 et 7a + 5b > 0 qui est satisfaite, par exemple, avec a = 30 et b=-41.

2-4 x=8

La période D ne peut pas excéder 15 mois. En effet avec une période de 16 mois, on aurait deux séquences de résultats quadrimestriels positifs : mois 9+10+11+12 et mois 13+14+15+16. L’addition de ces deux séquence donnerait un résultat sur 8 mois (9 à 16) qui serait positif en contradiction avec les déclarations de A.

Comme pour le couple (12,9), on trouve très aisément une séquence de 15 termes répondant aux critères du DF et de A.Il suffit de prendre le terme central a égal à –8 et ₈ tous les autres termes égaux à 1.

2-5 x=10

La période D ne peut pas excéder 19 mois. En effet si D = 20, on aboutit à une contradiction. En effet des neuf inégalités ^k



k

a >0 pour k=1 à 9 et des onze inégalitési



k

a < i

0 pour k=1 à 11, on en déduit i, a_ia_i1> 0 



1

a > 0 ce qui est incompatible avec les déclarations de A. i

Pour D=19, on trouve aisément une séquence répondant aux critères du DF et de A et dans laquelle le terme central a vaut –10 et les autres termes sont tous égaux à 1. ₁₀

2-5 x=11

La période D ne peut pas excéder 21 mois. En effet si D = 22, on aboutit à une contradiction. En effet des onze inégalités ^k



k

a >0 pour k=1 à 11 et des douze i

inégalités^k



k

a < 0 pour k=1 à 12, on en déduit i i, a > 0, _i 



1

a > 0 ce qui est incompatible avec les déclarations de A. i

Pour D=21, on trouve aisément une séquence répondant aux critères du DF et de A et dans laquelle le terme central a vaut –21 et les autres termes sont tous égaux à 2. ₁₀

Le tableau ci-après récapitule les durées maximales ainsi que des séquences possibles pour tous les couples (12,x) ayant des solutions.

3) Généralisation avec un couple d’entiers (p,q)

L’examen détaillé des configurations possibles avec le couple (12,x) montre que D dépend du nombre de diviseurs communs à 12 et x. La longueur maximale D de la séquence est d’autant plus réduite que le diviseur commun à 12 et x est élevé comme le montre le tableau ci-après :

couple (p,q) \ i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

(12,5)

a(i) -5 6 -5 6 -5 6 -5 6 -5 6 -5 6 -5 6 -5

Somme sur 5 -3 8 -3 8 -3 8 -3 8 -3 8 -3

Somme sur 12 6 6 6 6

(12,7)

a(i) 30 -41 30 -41 30 30 -41 30 -41 30 -41 30 30 -41 30 -41 30

Somme sur 7 -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3

Somme sur 12 5 5 5 5 5 5

(12,8)

a(i) 1 1 1 1 1 1 1 -8 1 1 1 1 1 1 1

Somme sur 8 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1

Somme sur 12 3 3 3 3

(12,9)

a(i) 1 1 1 1 1 1 1 1 -9 1 1 1 1 1 1 1 1

Somme sur 9 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1

Somme sur 12 2 2 2 2 2 2

(12,10)

a(i) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 -10 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Somme sur 10 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1

Somme sur 12 1 1 1 1 1 1 1 1

(12,11)

a(i) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 -21 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

Somme sur 11 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1

Somme sur 12 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Une loi très simple apparaît dans ce tableau. Si l’on calcule le PGCD (plus grand commun diviseur) de 12 et de x, la durée D maximale de la période au cours de laquelle les

affirmations du DF et de A restent compatibles est égale à 12+x – PGCD – 1. D’une manière générale pour un couple d’entiers p et q tels que p>q et q ne divisant pas p, on aura D = p+q – PGCD(p,q) – 1.

On n’entrera pas dans le détail de la démonstration de cette formule. On retiendra son principe :

1) si p et q sont des entiers premiers entre eux, quels que soient p et q on a D = p+q-2. On démontre que D = p+q-1 est impossible. En effet, si c’était le cas, en comparant les q inégalités de la forme ^k



k

a > 0 et les p inégalités de la formei ^k



k

a < 0, on aboutirait de i

proche en proche à réduire le nombre de termes dans les inégalités et à démontrer que tous les termes a pris isolément sont positifs, ce qui serait contraire aux affirmations de _i A qui a nécessairement identifié des mois négatifs. A l’inverse pour D= p + q –2, on peut toujours trouver une séquence compatible avec les affirmations du DF et de A.

2) si p et q ont un diviseur commun g qui est leur PGCD, on démontre que D = p + q – g est impossible. Si on a D = p + q – g , on compare à nouveau les (q-g+1) inégalités de la forme ^k



k

a > 0 et les (p-g+1) inégalités de la formei ^k



k

a < 0 . Par réductions i

successives du nombre de termes dans les inégalités, on obtient des inégalités de la forme



k

k

a > 0 qui portent sur g termes et la sommation de ces dernières inégalités donnerait i

une inégalité avec q termes (q est multiple de g) telle que ^k



k

a > 0 en contradiction i

avec les affirmations de A. A l’inverse, il n’ y a plus d’impossibilité pour D = p + q – g – 1. D est toujours impair quelle que soit la parité de p et q et le terme central a_(p-q-g)/2 échappe aux inégalités qui aboutissent à une contradiction.

x D PGCD N=12+x N-PGCD-1

2 impossible 2 14

3 impossible 3 15

4 impossible 4 16

5 15 1 17 15

6 impossible 6 18

7 17 1 19 17

8 15 4 20 15

9 17 3 21 17

10 19 2 22 19

11 21 1 23 21