Hall

Travaux pratiques avancés I-II (PHQ560-660)

Professeur : Jerey Quilliam Coordonnateur : Guy Bernier

Département de physique Faculté des Sciences

Université de Sherbrooke

©Guy Bernier 2019

Table des matières

1 Introduction 3

2 Théorie 3

2.1 Coecient de Hall, 1 type de porteurs,τ constant. . . 4

2.2 Équations du mouvement (un seul type de porteur) . . . 6

2.3 Cas où les deux types de porteurs sont présents . . . 8

2.4 Magnétorésistance (deux types de porteurs etτ constant) . . . 10

2.5 Un type de porteurs,τ dépendant de l'énergie . . . 11

2.6 Comportements en température . . . 12

3 Partie expérimentale 14 3.1 Montage expérimental . . . 14

3.2 Principe de la mesure . . . 15

3.3 Manipulations. . . 15

3.3.1 Les branchements. . . 15

3.3.2 Les contacts sur l'échantillon . . . 15

3.3.3 Résistivité, eet Hall et magnétorésistance . . . 16

1 Introduction

L'histoire moderne de l'électromagnétisme débute en 1799, alors que Alessandro Volta invente la pile électrique en empilant des disques de métaux diérents alternés et séparés par des feutres imbibés d'acide. Plus tard, en 1820, Hans Christian ×rsted découvre qu'un courant électrique peut dévier l'aiguille d'une boussole. Par la suite, André-Marie Ampère proposera que tous les phénomènes magnétiques sont causés par le mouvement de charges électriques, l'électromagnétisme était né. Ampère, Faraday, Biot et Savart seront les princi- paux scientiques qui décriront les lois de l'électromagnétisme. Ces mêmes lois seront par la suite synthétisées par James Clark Maxwell sous la forme des équations bien connues.

C'est en 1879 que E. H. Hall de l'Université de John Hopkins à Baltimore rapportait les résultats d'une expérience qui lui avait permis de déterminer le signe des porteurs de charge d'un conducteur. À ce moment, il était étudiant au doctorat sous la supervision d'Henry A. Rowland. Hall s'intéressait à l'inuence d'un champ magnétique sur les porteurs de charge de courant électrique. Il a établi l'existence de porteurs de charge (négatifs) bien des années avant que JJ Thompson ne découvre l'existence de l'électron. Plusieurs applications découlent de l'Eet Hall. On pense notamment aux détecteurs de champs magnétiques, à la pince ampèremétrique, les compteurs électriques domestiques et bien d'autres.

Cette expérience se propose donc d'utiliser l'eet Hall an de caractériser un échantillon de germanium. On tentera de déterminer le signe, la concentration et la mobilité des por- teurs à partir du coecient de Hall et de la résistivité, en fonction de l'intensité du champ magnétique appliqué et de la température de l'échantillon. Cette expérience permettra aussi d'étudier un phénomène nommé magnétorésistance, qui est le changement de résistivité d'un échantillon en fonction de l'intensité du champ magnétique appliqué.

2 Théorie

La gure suivante illustre le principe de l'expérience de Hall.

F F

B B

d

(a)

x h

v

v

d

(b) Figure 1: Principe de l'eet Hall.

Un ruban conducteur est placé dans un champ d'induction magnétiqueBperpendiculaire au plan de la feuille. Le champ donne lieu à l'apparition d'une force de déviation Fqui agit vers la droite, peu importe si les porteurs de charges sont positifs ou négatifs. Il apparait alors une tension Vxy appelée tension de Hall dont le signe permet de déterminer le type des porteurs de charges. Si les porteurs sont positifs (a), le potentiel eny est plus élevé que celui en x ; si les porteurs sont négatifs (b), le potentiel en y est plus faible que celui en x.

L'expérience démontre que dans la plupart des métaux les porteurs de charges sont négatifs.

2.1 Coecient de Hall, 1 type de porteurs, τ constant

On considère des porteurs de chargeq, de densitén, et de vitesse v, soumis à un champ électrique E, on a :

J=nqv=σE (1)

oùJest la densité de courant,σest la conductivité et E le champ électrique. Si on considère un temps moyen entre les collisionsτ indépendant de la vitesse des particules, on a :

v= qE

mτ (2)

en moyenne, car les porteurs subissent l'eet du champ électrique pendant un tempsτ avant de subir une collision. On obtient donc :

σ = nq²τ

m (3)

De même, on dénit la mobilité par :

µ= |v|

|E| = |q|τ

m (4)

On peut donc écrire la densité de courant comme :

J=n|q|µE=σE (5)

Considérons un semi-conducteur inni possédant une densité de courant J selon xˆ et plongé dans un champ magnétique dirigé selonˆz. La force transverse moyenne agissant sur un porteur de charge dans la direction yˆ est donc :

FBy =−qv_xB (6)

À l'équilibre, cette force est compensée par la séparation des charges qui crée un champ électrique Ey0 :

FEy =−F_By =qEy0 =qvxB = Jx

nB =⇒ Ey0 = JxB

nq (7)

(a) x

(b)

z (L'axe z sort de la feuille)

y j

j

v_e

h B

B

e v B Ε

Ε x

z

y v e v B

θ

θ

Figure 2: Champ résultant du courant de dérive et de la force de Lorentz.

On dénit l'angle de Hall comme étant l'angle entre le champ électrique résultant et le courant :

tanθ=Ey/Ex =Bµ|q|

q =Bµ Signe(q) (8)

où la fonction Signe retourne 1 pour les trous et 1 pour les électrons.

Question 1 : Montrez queBµ est une quantité sans dimension.

Dans le reste du document, on considèrera que l'axex est selon la longueur de l'échan- tillon et l'axeyest selon sa largeur. On appliquera un champ électrique dans la directionxˆ. et un champ magnétique dans la directionˆz. Le champ de HallEH est le champ nécessaire dans la direction yˆ pour que le courant circule entièrement dans la directionxˆ. C'est donc E_y0. On dénit la constante de HallR, ou coecient de Hall comme :

R≡ E_H

JxB = E_y0 JxB = 1

nq (9)

En pratique, le temps entre les collisions n'est pas indépendant de l'énergie des particules, car la section ecace des diérents processus dépend de l'énergie. On doit donc introduire un facteur correctif r dans le coecient de Hall. Le calcul de ce facteur dans le cas de semi-conducteurs ayant des surfaces d'énergies sphériques donne^[2] :

r= τ²

hτi² (10)

Note : τ représente le temps de relaxation des porteurs qui subissent des collisions (avec les phonons, les impuretés chargées ou non, etc.).

On obtient donc l'équation suivante, qui est bonne peu importe le type de porteurs en autant qu'il n'y en ait qu'un seul :

R= r

nq (11)

Le coecient de Hall permet donc d'obtenir le signe des porteurs et leur densité. D'autre part, on peut relier cette constante aux mesures expérimentales. Si t est l'épaisseur de l'échantillon et wsa largeur, on a, si VH est la tension de Hall etI le courant :

R= E_H

JxB = V_H/w

(I/wt)B = tV_H

IB (12)

oùV_H est la tension mesurée dans la directionyˆ etI est le courant mesuré dans la direction x.ˆ

On dénit la mobilité de Hall par la relation :

µH =|R|σ (13)

D'après les relations (3), (4) et (11), on obtient donc un lien entre la mobilité de Hall et la mobilité dénie à partir de la conduction :

µ_H =|R|σ = |q|τ

m r =rµ =⇒ µ_H =rµ (14)

Question 2 : Quelles sont les unités de la constante de Hall R dans le système M.K.S. ? Question 3 : Supposons un échantillon de Germanium de type-n d'un largeur de 1 cm et d'une épaisseur de 1 mm. Quelle sera la constante de Hall (MKS et CGS) si n= 3×10¹⁴cm⁻³? Si l'induction magnétique est B = 2× 10³ Gauss et que le courant utilisé est de 1.5 mA, quelle sera la tension de Hall ?

2.2 Équations du mouvement (un seul type de porteur)

Pour traiter le cas où plusieurs types de porteurs sont présents, il faut traiter les équations du mouvement. On commencera par le cas où il n'y a qu'un seul type de porteur. Les équations sont :

˙

vx= _m^qEx−ωvy

˙

vy = _m^qEy+ωvx (15)

oùω ≡ ^−qB_m est la fréquence cyclotron = ^eB_m si les porteurs sont des électrons .

Question 4 : Dessiner le mouvement d'un électron dans un semi-conducteur en pré- sence d'un champ électrique dans la direction xˆ et d'un champ magné- tique dans la direction zˆ dans le cas particulier où l'électron ne subit aucune collision. Quel sera l'eet des collisions ?

Ces deux équations couplées se découplent dans le plan complexe. Pour les résoudre, nous poserons queZ =v_x+iv_y = ˙z etz=x+iy . On additionne ifois la deuxième équation à la première :

Z˙−iωZ= q

m(E_x+iE_y) (16)

La solution à cette équation est bien connue, et on obtient : Z =Z0e^iωt− q

m(Ex+iEy)(1−e^iωt)

iω (17)

On peut intégrer cette équation an d'obtenir le déplacement d'une particule chargée dans des champs électrique et magnétique croisés. On considère un champ magnétique dans la direction ˆz, un champ électrique dans la direction xˆ, une Z₀ et un temps de relaxation inni. Alors, en intégrant l'équation précédente et en prenant les parties réelles et imaginaires pour extraire la trajectoire, on obtient :

x(t) =

Z_0x+E_x Bz

cos (ωt)

ω (18)

y(t) =

Z0y+Ex

B_z

sin (ωt) ω −Ex

B_zt (19)

On constate que le résultat d'une telle conguration est un déplacement global de la particule dans la direction des y négatifs et que le mouvement du porteur est une cycloïde.

La conduction dans la direction desxproviendra du fait que les porteurs auront des vitesses dans toutes les directions et qu'ils subiront des collisions.

Dans la densité de courant, c'est la vitesse moyenne des particules qui entre en jeu. On doit donc calculer cette moyenne. On considère une particule qui a fait une collision au tempst= 0, et dont la vitesse à ce temps est nulle. La probabilité de collision est constante dans le temps et proportionnelle à la densité de particules n'ayant pas subit de collisions au tempst. Le nombre de collisions dans un tempsdt est donc :

dn=− n

τ(v)dt (20)

On verra que τ(v)est le temps moyen entre les collisions. Cette équation donne un nombre de collisions :

n(t) =n0e^−t/τ (21)

La probabilité qu'une particule n'ait pas subit de collisions au temps test donc : n(t)

n₀ =e^−t/τ (22)

Si on calcule la moyenne det à partir de cette probabilité, on obtient : t¯= 1

τ ˆ∞

0

te^−t/τ =τ (23)

ce qui montre que la quantitéτ est le temps moyen entre 2 collisions. Pour calculer la vitesse moyenne des particules, on utilise donc cette distribution de probabilité :

Z¯ = 1 τ

ˆ∞

0

Ze^−t/τdt= q

m(E_x+iE_y) τ

1−iωτ o`uZ¯₀ = 0 (24) On peut maintenant obtenir les densités de courant via l'équation (1) :

J_x =nq¯v_x=nqRe[Z] = nq² m

τ Ex

1 +ω²τ² − ωτ²Ey

1 +ω²τ²

(25)

J_y =nq¯v_y =nqIm[Z] = nq² m

τ E_y

1 +ω²τ² + ωτ²E_x 1 +ω²τ²

(26) Comme à l'équilibre, le courant dans la direction yˆ doit être nul, on obtient :

tanθ= Ey

Ex

=−ωτ = qBτ

m =Bµ·Signe(q) (27) On obtient donc les mêmes résultats que précédemment. Cependant, cela permet de traiter le cas où les deux types de porteurs sont présents.

2.3 Cas où les deux types de porteurs sont présents On pose :

A_i ≡ niq_i² m_i

τi

1 +ω²_iτ_i² = σi

1 +σ_i²B²R²_i et D_i ≡ niq_i² m_i

ωiτ_i²

1 +ω_i²τ_i² = −σ²_iBRi

1 +σ²_iB²R²_i (28) où l'on a utilisé les équations (3), (14) et la dénition de la fréquence cyclotron pour obtenir les derniers membres des égalités. Alors, les équations (25) et (26) s'écrivent :

J_x=A₁E_x−D₁E_y (29) Jy =A1Ey+D1Ex (30) Si on a deux types de porteurs, alors ces équations deviendront tout simplement :

J_x = (A₁+A₂)E_x−(D₁+D₂)E_y (31) Jy = (A1+A2)Ey+ (D1+D2)Ex (32) Si on pose Jy = 0, on a :

E_x = −(A1+A2)

D₁+D₂ E_y (33)

On obtient donc, selon la dénition (9) : BR= Ey

J_x = Ey

(A₁+A₂)E_x−(D₁+D₂)E_y = −(D1+D2)

(A₁+A₂)²+ (D₁+D₂)² (34) En considérant les valeurs des diérents paramètres A etD données ci-dessus, on obtient, après quelques manipulations algébriques :

R= R1σ²₁ 1 +σ₂²B²R₂²

+R2σ₂² 1 +σ²₁B²R²₁

(σ₁+σ₂)²+σ²₁σ₂²B²(R₁+R₂)² (35) R.G. Chambers¹ a été le premier à obtenir cette équation. Il a été montré qu'elle demeure valide même si le temps de relaxation dépend de l'énergie des porteurs. Lorsque les porteurs sont des électrons et des trous, on utilise les équations (5) et (9) pour ces particules : R1= ⁻¹_ne,R2= _pe¹ ,σ1=neµe,σ2 =peµh et on poseb≡µe/µh pour obtenir :

R= 1 e

p−nb²

+b²µ²_hB²(p−n)

(p+nb)²+b²µ²_hB²(p−n)² (36) Cette équation n'est cependant exacte que lorsque τ est constant. Deux faits intéressants ressortent de cette équation. D'abord,R = 0lorsque :

p

n = b² 1 +µ²_hB²

1 +b²µ²_hB² (37)

On voit que cette valeur change en fonction du champ magnétique. Pour le germanium, la littérature^[2] donne : bµ_h= 0.39T⁻¹. La variation du rapport p/ndevient donc importante uniquement lorsque le champ magnétique est de l'ordre de 1 tesla. L'autre fait intéressant est que le coecient de Hall à haut champ tend vers une valeur indépendante de B :

B→∞lim R= 1

e(p−n) (38)

Lorsque le champ magnétique est faible, l'équation (36) devient : R₀= 1

e

p−nb²

(p+nb)² (39)

De plus, dans un semi-conducteur intrinsèque, on a, par dénition,p=n, ce qui donne : R_i=− 1

eni

b−1 b+ 1 = 1

eni

µ_h−µ_e

(µh+µe) (40)

1. Proceedings of Physical Society A (1952), 65, 903.

2.4 Magnétorésistance (deux types de porteurs et τ constant) La conductivité est donnée, en utilisant les expressions (31) et (33), par :

σ=J_x/E_x= (A1+A2)²+ (D1+D2)²

(A₁+A₂) (41)

En utilisant (34) et le résultat (35), on obtient : σ = −(D₁+D₂)

BR(A1+A2) = R₁σ₁² 1 +σ²₂B²R²₂

+R₂σ²₂ 1 +σ₁²B²R²₁ σ₁ 1 +σ²₂B²R²₂

+σ₂ 1 +σ₁²B²R²₁ 1

R (42) donc avec (35) il vient :

σ= (σ₁+σ₂)²+σ²₁σ²₂B²(R₁+R₂)²

(σ₁+σ₂) +B²σ₁σ₂ σ₁R₁²+σ₂R²₂ (43) Si on poseσ0≡σ1+σ2, la conductivité à champ nul, et qu'on développe en supposant que le champ magnétique est faible, on obtient :

σ= σ₀+σ₁²σ₂²B²(R₁+R₂)² σ₀

!

× 1− σ₁σ₂B² σ₁R²₁+σ₂R²₂ σ₀ +...

!

(44) On dénit maintenant la conductivité et la résistivité :

σ =σ₀+ ∆σ (45)

ρ=ρ0+ ∆ρ (46)

ρ= 1

σ (47)

Donc :

∆ρ ρ₀ = 1

ρ₀ 1

σ₀+ ∆σ −ρ0

= hσ0

σ −1 i

= −∆σ

σ

≈ −∆σ

σ₀ (48)

Pour la dernière égalité, on a supposé que la variation de conductivité est très petite et donc queσ ≈σ0.

− ∆σ

σ0B² = ∆ρ

ρ0B² = −σ₁²σ₂²(R1+R2)²

σ₀² +σ1σ2 σ1R²₁+σ2R₂²

σ0 (49)

En utilisant les mêmes dénitions utilisées pour montrer l'équation (36), on obtient :

− ∆σ

σ0B² = npµ_eµ_h(µ_e+µ_h)²

(nµe+pµ_h)² = npbµ²_h(1 +b)²

(nb+p)² (50)

On note que dans la région intrinsèque (p=n=n_i) :

−∆σ

σ₀ =µ_eµ_hB² (51)

On peut introduire le coecient de Hall à faible champ (équation (39)) et obtenir :

−∆σ σ0

= ∆ρ ρ0

= npb(1 +b)²

(p−nb²)² B²R²₀µ²_he²(p+nb)² (52) Donc :

−∆σ σ0

= ∆ρ ρ0

=ξR²₀σ²₀B² (53) où :

ξ≡ npb(1 +b)²

(p−nb²)² (54)

est le coecient de magnétorésistance transverse. Comme il vaut zéro sin= 0ou p= 0, on constate que ce type de semi-conducteur doit contenir les 2 types de porteurs pour qu'il y ait de la magnétorésistance.

2.5 Un type de porteurs, τ dépendant de l'énergie

Pour traiter ce type de situation, on reprend les équations dérivées précédemment pour la densité de courant (25) et (26). On suppose queω²τ² 1et on développe les dénominateurs en série. On verra que cette approximation est valide pour une certaine gamme de champs magnétiques. On s'intéresse aux eets quadratiques en B dans la magnétorésistance. On conserve donc uniquement les termes en ω² au maximum. On suppose que les énergies des particules donnant des temps de collision supérieurs ne contribuent que très peu au phénomène. Le développement des équations donne donc, en gardant jusqu'à l'ordre 2 en fréquence cyclotron :

J_x ≈ nq² m

τ E_x 1−ω²τ²+...

−ωτ²E_y 1−ω²τ²+...

= nq² m

τ E_x−ωτ²E_y−ω²τ³E_x+...

(55)

Jy ≈ nq² m

τ Ey 1−ω²τ²+...

−ωτ²Ex 1−ω²τ²+...

= nq² m

τ Ey−ωτ²Ex+...

(56) Comme le temps inter-collisions dépend de l'énergie, il faut maintenant faire la moyenne de ces temps. On désignera cette moyenne par les crochets en chevron. En faisant cette moyenne (voir [2]) et en posant J_y = 0, on obtient :

Ey =−ω τ²

E_x

hτi (57)

En remplaçant dans l'expression pourJx, on a : J_x = nq²

m E_x

"

hτi+ω² τ²2

hτi −ω² τ³

#

(58)

Si on dénit :

σ0≡ nq²

m hτi (59)

on obtient :

σ= Jx

Ex

=σ0

"

1 +ω² τ²2

hτi² − ω² τ³ hτi

#

(60) Avec les dénitions données précédemment, on obtient :

−∆σ σ0

= ∆ρ ρ0

= q²B² m²

τ³

hτi − τ²2

hτi² (61)

En introduisant le coecient de Hall à faible champ (11), la dénition du coecient r (10), et la conductivité à champ nul (59), on obtient :

−∆σ σ0

= ∆ρ ρ0

=B²R²₀σ²₀

"

τ³ hτi hτ²i² −1

#

=ξB²R²₀σ₀² (62) où on a dénit le coecient de magnétorésistance :

ξ ≡ τ³

hτi

hτ²i² −1 (63)

2.6 Comportements en température

Un changement de température de l'échantillon provoquera un changement des concen- trations de porteurs et de leur mobilité, ce qui modiera évidemment les propriétés de l'échantillon, comme sa conductivité. Les densités de porteurs sont trouvées simplement en intégrant la densité d'état multipliée par la fonction de distribution de Fermi-Dirac sur la bande de valence pour les trous, et sur la bande de conduction pour les électrons. On obtient², en faisant l'hypothèse que k_BT est beaucoup plus petit que la diérence entre l'énergie de Fermi et les énergies du haut de la bande de valence et du bas de la bande de conduction :

n= ˆ∞

Ec

D_e(ε)f_e(ε)dε= 2

m_ek_BT 2π~²

e

(µ−Ec)

kB T (64)

p=

Ev

ˆ

−∞

D_h(ε)f_h(ε)dε= 2

m_hk_BT 2π~²

e

(Ev−µ)

kB T (65)

où µ, E_c etE_v sont respectivement le potentiel chimique, l'énergie du bas de la bande de conduction et l'énergie du haut de la bande de valence. Si on multiplie ces deux dernières équations, on obtient la relation suivante :

np= 4 kBT

2π~² 3

(memh)^3/2e

−Eg

kB T (66)

2. Pour les détails, consultez Physique de l'état solide, de C. Kittel, p.197

où E_g est l'énergie du gap entre les deux bandes, soit E_g = E_c−E_v. À partir de cette équation, on peut obtenir la valeur du produit np pour une température si on la connait pour une autre température. En eet, on peut écrire :

np(T2) np(T₁) = T₂³

T₁³e

Eg kB

1 T1−_T¹

2

(67) Pour obtenir cette équation, on fait l'hypothèse que les masses eectives changent peu en fonction de la température et donc que la structure de bande change peu (ce qui est tout à fait raisonnable).

Dans un semi-conducteur intrinsèque, comme le passage d'un électron dans la bande de conduction libère un trou dans la bande de valence, la concentration des deux porteurs est la même, et on a :

ni=pi= 2 k_BT

2π~² 3/2

(memh)^3/4e⁻

Eg

2kB T (68)

On a vu, à l'équation (4) que la mobilité est proportionnelle au temps de relaxation. Lorsque le temps de relaxation est dépendant de l'énergie des porteurs, on a plutôt :

µ= |q| hτi

m (69)

où la moyenne sur les temps entre collisions doit être calculée. Le résultat donne :

µ∝AT^α (70)

où A etαsont deux constantes. Cependant, comme la moyenne sur les temps entre collisions dépend du type de diusion qu'on considère, ceci n'est strictement vrai que lorsqu'un seul type de diusion est présent dans le système. Lorsque plusieurs types de diusion sont présents, le problème se complique et il faut combiner les mobilités. L'exposant de la loi de puissance de la mobilité donne de l'information sur les types de collisions qui se produisent à l'intérieur de l'échantillon. En eet, cet exposant est relié à la dépendance en énergie du temps de relaxation³ τ = aE^−s. L'exposant s est diérent selon le type de collisions considéré, par exemple les collisions sur les impuretés, sur les phonons, sur le réseau, etc..

Lorsque les porteurs sont des trous et des électrons, la conductivité résultante est la somme des conductivités associées à ces deux types de porteurs. On a donc :

σ= (neµe+peµ_h) (71)

Lorsque le semi-conducteur est intrinsèque, la principale dépendance en température de la conductivité sera donc l'exponentielle présente à l'équation (68). On aura donc :

ρ∝e

Eg

2kB T (72)

3. Smith, Semiconductors, p. 114

De plus, si le semi-conducteur est intrinsèque, on peut trouver la concentration de porteurs avec l'équation (68), puis en déduire les mobilités des trous et des électrons. En eet, en combinant les équations (40) et (71), on obtient :

µ_h= 1 2ρ

1 n_ie+Ri

(73)

µ_h= 1 2ρ

1 n_ie−R_i

(74)

3 Partie expérimentale

3.1 Montage expérimental

La gure suivante montre une vue d'ensemble du montage expérimental utilisé :

pompe mécanique

inverseur scanner

échantillon

cryostat

aimant

voltmètre V voltmètre V source de

courant contrôleur de température

alimentation aimantpour

R H

+

Figure 3: Montage expérimental Le support où se trouve l'échantillon est présenté ci-dessous :

a _f

e d

b

c

diode

barreau de germanium

support en cuivre

élément chauffant

Figure 4: Support d'échantillon.

L'échantillon de Ge est collé à l'aide de graisse sur un support de cuivre. Ce dernier est xé à l'extrémité du doigt froid du cryostat. Une résistance chauante est insérée dans le porte échantillon et est branchée à un contrôleur de température. Celui-ci mesure la tension

de coude d'une diode au Si calibrée, elle aussi insérée dans le porte échantillon. Un courant constant est injecté à l'échantillon en utilisant les contacts a et b. La tension de résistivité est mesurée aux contacts c-d alors que la tension de Hall apparait aux bornes e-f.

3.2 Principe de la mesure

On fait circuler un courant constant à l'intérieur de l'échantillon à l'aide d'une source de courant (voir les spécications de la source). On stabilise d'abord la température en utilisant le contrôleur de température, puis on mesure, à l'aide des multimètres, la tension de résistivité et la tension de Hall. Le champ magnétique est calculé à l'aide du courant injecté dans les bobines. On eectue ces mêmes mesures en présence du champ magnétique (dans les deux polarités) de même qu'en son absence. C'est le scanneur qui envoie à l'inverseur de champ le bit qui permet de basculer d'une polarité à l'autre sans avoir à débrancher manuellement les amenées de courant de l'électroaimant.

3.3 Manipulations 3.3.1 Les branchements

Avec l'aide du moniteur, retirer la tête du cryostat de façon à avoir accès au porte échantillon et examinez-le attentivement. Vérier la continuité des contacts entre les ls du support et ceux situés à l'extrémité du connecteur de sortie. Insérer doucement le cryostat dans l'entrefer et le placer dans la bonne orientation.

Relier les amenées de courant (a-b) à la source de courant (par le biais des bornes AUX du panneau de contrôle).

Relier les ls c et d permettant de mesurer VR aux bornes identiées CANAL 1.

Utiliser le multimètre Keithley 175 (échelle de 20 V) pour la lecture de ce canal.

Relier les ls e et f permettant de mesurer V_H aux bornes identiées CANAL 2.

Utiliser le multimètre Keithley 2000 (échelle automatique) pour la lecture de ce canal.

Faire circuler un courant de 1 mA dans l'échantillon et vérier (en appliquant un champ magnétique) que les valeurs des tensions obtenues pour les 2 canaux de mesure sont cohérentes.

Note : Ne jamais dépasser 20 A pour alimenter l'électroaimant.

3.3.2 Les contacts sur l'échantillon

À la température ambiante et avecB = 0, mesurer VRvs I (0.1<I<1 mA) dans les deux polarités en utilisant les quatre contacts (a, b, c et d).

Refaire cette mesure mais en utilisant seulement deux contacts (a et b). Injecter le courant par a-b et relevez la tension de résistivité aussi sur a-b. Discuter de la diérence des résultats obtenus avec les deux méthodes.

Évaluer le désalignement des contacts de Hall ?

3.3.3 Résistivité, eet Hall et magnétorésistance

Vérier si la tension de Hall (moyenne pour les deux directions de B) varie linéaire- ment avec le champ magnétique à T =100 K et T =300 K.

Obtener la variation (en unités M.K.S.A.) en température deρet deR_H(100 K<T<400 K), en utilisant les paramètres suivants : (a) I^bobines= 15 A I´echantillon= 1 mA

(b) Ibobines= 5 A I´echantillon= 1 mA Tracer un graphique deRH vs T. Quel est le signe des porteurs ?

Estimer la concentration et la mobilité des trous à basse température (on suppo- sera qu'à basse température la contribution des électrons au coecient de Hall est négligeable).

Avons-nous accès à la mobilité des électrons et des trous sur toute la gamme de température ?

Tracer un graphique deln(ρ)vs1000/T. Identiez les régions intrinsèque et extrin- sèque. Sachant que dans la région intrinsèque ρ ∝ ¹_σ ∝ exp _E

g

2kBT

, déterminer la valeur deE_g du germanium.

Dans la région extrinsèque de la conductivité, on peut supposer qu'à partir de 100K, tous les accepteurs sont ionisés, alors comme :

σ(100<T <300)≈peµ_h

et que p est supposé constant, on peut déterminer comment la mobilité des trous varie avec la température. Faire un graphique de µ_hvs T et trouver la valeur du coecientα de l'expression suivante :

µ∝Cte × T^α

Déterminer le comportement de la mobilité de Hall des trous (100 K<T <300 K) à l'aide de l'équation (13). Pour ce faire, tracer un graphique deµ_Hvs T et déterminer la valeur du coecient β de l'expression suivante :

µ_H =Cte × T^β+cte

Sachant que pour le germaniumα≈ −2, expliquez pourquoiα6=β.

Pour T =100 K et T =300 K, tracer un graphique du logarithme de la magnétorésis- tancelog₁₀

∆ρ ρ0

en fonction du logarithme du champ magnétique (variez le courant dans la bobine de 0 à 20 amp.). Comparer vos résultats avec la théorie. Utiliser le fait queBµ_H =ωτ pour tenter d'expliquer les écarts avec les prédictions théoriques.

Pour cela, tracez les courbes deωτ vs B .

Références

[1] Kittel C. Introduction to Solid state physics. John Wiley & Sons, 1986.

[2] Smith R.A. Semiconductors. Cambridge University Press, 1959.