D10566. Bicycle orthogonal Les cercles

D10566. Bicycle orthogonal

Les cercles (C) de centre O et (C⁰) de centre O⁰ se coupent à angle droit en J et K. Soit AB un diamètre de (C) et A⁰B⁰ le diamètre de (C⁰) perpendiculaire à AB. Montrer que chacun des points A, B, A⁰, B⁰ est l’orthocentre du triangle formé par les trois autres.

Solution

(C) et (C⁰) se correspondent par une similitude de rapport r⁰/r, d’angle

±π/2, de centre J ouK.ABest transformé enA⁰B⁰ (similitude de centre K) ouB⁰A⁰ (centre J). Les angles AKB, AKA⁰, A⁰KB⁰ sont droits, d’où les alignementsAKB⁰, A⁰KB, perpendiculaires entre eux. De mêmeAA⁰J etBJ B⁰ sont des alignements perpendiculaires entre eux. Dans le triangle ABB⁰,AJ etBK sont des hauteurs, A⁰ l’orthocentre, et cela entraîne la propriété de l’énoncé, CQFD.

J.-N. Pasquay en donne une solution plus concise, s’appuyant sur la pro- priété : les extrémités d’un diamètre d’un cercle sont conjuguées par rap- port à tout cercle orthogonal au premier.

Pierre Ranvier noteIOK =α, dans le quadrilatèreIOKO⁰ dont les angles IetKsont droits, d’oùIO⁰K =π−α. EnsuiteAKO=α/2,OKO⁰ =π/2, O⁰KB⁰ =π/2−α/2, etAKB⁰ sont alignés ; par les angles droitsAKB et A⁰KB⁰,A⁰BK sont alignés ; le triangleABB⁰ admet pour hauteurBK, et aussiBI, avcA⁰ comme orthocentre.

Jean-Claude Ripoll part de cercles sécants non orthogonaux et observe que les droites AJ, AK recoupent (C⁰) selon une corde A⁰B⁰ perpendiculaire au diamètreAB, et vue deJ ouK sous un angle égal à celui des tangentes aux deux cercles enJ. Cette corde devient diamètre quand les cercles sont orthogonaux.