Chapitre 9
Suites num´ eriques
9.1 Notion de suite
Une suite num´erique est une succession de nombres r´eels, chacun ´etant un terme de la suite. On num´erote les termes, ce qui revient `a faire correspondre `a des entiers naturels des nombres r´eels.
Rang du terme 1 2 3 4
↓ ↓ ↓ ↓
Terme 3 9 27 81
D´efinition 1
Une suite num´erique est une fonction de N(ou une partie deN) vers R.
U : N→R n7−→Un
L’image de l’entier npar la suite U se note Un au lieu de U(n). Un se lit«U indice n». On dit que Un est le terme de rangn. la suite U se note aussi (Un).
Remarques
• Si on d´efinit la suite (Un), Le terme suivantUn estUn+1, le terme pr´ec´edantUn estUn−1
9.2 Sens de variation
D´efinition 2 Soit(Un) une suite num´erique on dit que :
• la suite (Un)est croissante lorsque pour toutn∈N, Un+1≥Un;
• la suite (Un)est d´ecroissante lorsque pour toutn∈N, Un+1≤Un;
• la suite (Un)est stationnaire ou constante lorsque pour toutn∈N, Un+1=Un.
On d´efinit de mˆeme une suite croissante, d´ecroissante ou stationnaire `a partir d’un certain rang n0 en utilisant les in´egalit´es suivantes :
pour tout entier naturelntel que n≥n0 on aUn+1≥Un; pour tout entier naturelntel que n≥n0 on aUn+1≤Un; pour tout entier naturelntel que n≥n0 on aUn+1=Un. Remarque : il existe des suites ni croissantes ni d´ecroissantes.
La suiteU d´efinie pour toutn∈NparUn = (−1)n. On aU0= 1 ;U1=−1 ;U2= 1 etU3=−1.
Le signe de la diff´erenceUn+1−Un n’est pas constant donc la suiteU n’est ni croissante ni d´ecroissante.
M´ethodes : Pour ´etudier le sens de variation d’une suite (Un) on pourra :
• ´etudier le signe de la diff´erenceUn+1−Un;
• lorsque pour tout n∈ N (ou `a partir d’un certain rangn0) Un est non-nul et de signe constant on peut comparer le rapport Un+1
Un
` a 1 ;
• si pour toutn∈N on aUn=f(n) avecf une fonction d´efinie sur [0; +∞[, lorsquef est une fonction monotone la suite U et la fonctionf ont la mˆeme monotonie.
9.3 Suites arithm´ etiques
9.3.1 Notion de suite arithm´ etique
D´efinition 3
•Lorsqu’on obtient chaque terme d’une suite en ajoutant au terme pr´ec´edent toujours le mˆeme r´eel, appel´e raison, la suite est une suite arithm´etique.
•U est une suite arithm´etique de raisonr, signifie que pour toutn∈N(ou une partie deN), on a : Un+1=Un+r.
La relation entreUn+1 etUn est appel´ee relation de r´ecurrence.
Exemples
• 5 ; 8 ; 11 ; 14 est une suite arithm´etique de quatre termes, de premier terme 5 et de raison 3.
• 12 ; 10,5 ; 9 ; 7,5 ; 6 est une suite arithm´etique de cinq termes, de premier terme 12 et de raison -1,5.
M´ethode : Pour d´emontrer qu’une suite est arithm´etique il faut montrer que pour toutn∈Nla diff´erence Un+1−Un
est un r´eelrconstant.
Les suites (Un) suivantes sont-elles arithm´etiques ? a)Un= 3n+ 1 b)Un=n2+ 1
a) Les trois premiers termes sontU0= 1 ;U1= 4 ;U2= 7 ;U3= 11.
Pour toutn∈Non aUn = 3n+ 1 etUn+1= 3(n+ 1) + 1 = 3n+ 3 + 1 = 3n+ 4 d’o`uUn+1−Un= 3n+ 4−(3n+ 1) = 3.
La suite (Un) est une suite arithm´etique de premier termeU0= 1 et de raison 3.
b) Les trois premiers termes sontU0= 1 ;U1= 2 ;U2= 5.
La diff´erenceUn+1−Un n’est pas constante en effet,U1−U0= 1 etU2−U1= 3.
La suite (Un) n’est donc pas une suite arithm´etique.
9.3.2 Calcul du terme de rang n
Consid´erons la suite arithm´etiqueude premier termeu1= 5 et de raison de −3.
u2=u1+r= 5−3 = 2
u3=u2+r= (u1+r) +r=u1+ 2r= 2−3 =−1 u4=u3+r= (u1+ 2r) +r=u1+ 3r=−1−2 =−3
Th´eor`eme 1 Le terme de rang nd’une suite arithm´etiqueU de premier terme U1 et de raisonrest :
Un=U1+ (n−1)r Si le premier terme estU0 alors le terme de rang nest :Un =U0+nr.
Exemple : soit la suite arithm´etique de premier termeU1= 12 et de raison 3.
Le terme de rang 50U50=U1+ (50−1)×r= 12 + 49×3 = 159.
9.3.3 Somme des n premiers termes
Th´eor`eme 2 La somme des n premiers termes d’une suite arithm´etique U de premier termeU1 est :
Sn=U1+U2. . .+Un−1+Un= n(U1+Un) 2 Exemple : soit la suite arithm´etique de premier termeU1= 1 et de raison 2.
Sn =U1+U2. . .+Un−1+Un= 1 + 3 + 5. . .+ (2n−1) = (1 + 2n−1)(n)
2 =n2
S1= 1 ;S2= 1 + 3 = 4 ;S3= 1 + 3 + 5 = 9 ;S4= 1 + 3 + 5 + 7 = 16 ; Justification :
9.4 Suites g´ eom´ etriques
9.4.1 Notion de suite g´ eom´ etrique
D´efinition 4
• Lorsqu’on obtient chaque terme d’une suite en multipliant le terme pr´ec´edent par le mˆeme r´eel, appel´e raison, la suite est une suite g´eom´etrique.
•SiU est une suite g´eom´etrique de raison q, pour toutn∈N(ou d’une partie deN). on a :Un+1=qUn
Exemples :
1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; est une suite g´eom´etrique de cinq termes de premier terme 1 et de raison 2.
Les int´erˆets compos´es : un capital de 5000 est plac´e au taux annuel de 4,5 %. On a donc : C0= 5000
C1= 5000 + 5000×0,045 = 5000×1,045 = 5225 C2=C1×1,045 = 5355,625
M´ethode :Pour d´emontrer qu’une suite est g´eom´etrique il faut :
•s’assurer que pour toutn∈NUn6= 0
•montrer que pour toutn∈Nle rapport Un+1
Un
est un r´eelqconstant.
9.4.2 Calcul du terme de rang n
SoitU une suite g´eom´etrique de premier termeU1et de raisonq. On a :U2=q×U1;U3=q×U2=q×q×U1=q2U1; U4=q×U3=q×q2U1=q3U1. On admet que pour tout entiernnon nul, on a :Un =qn−1U1.
Th´eor`eme 3 Le terme de rang nd’une suite g´eom´etrique U de premier terme U1 et de raison qest :Un=qn−1U1. si le premier terme estU0 alors le terme de rang n estUn=qnU0.
Exemple : SoitU une suite g´eom´etrique de premier terme 100 et de raison 3.U10= 39×100 = 1968300
9.4.3 Somme des n premiers termes
Th´eor`eme 4 Cas particulier
La somme des npremiers termes d’une suite g´eom´etrique U de premier terme 1et de raisonq6= 1est : Sn = 1 +q+q2. . .+qn−1= 1−qn
1−q Dans le cas g´en´eralU1 n’est pas forc´ement ´egal `a 1. On a donc
Sn=U1+U2+. . .+Un=U1+qU1+q2U1. . .+qn−1U1=U1(1 +q+q2. . .+qn−1) d’o`u
Th´eor`eme 5 Cas g´en´eral
La somme des npremiers termes d’une suite g´eom´etrique U de premier terme U1 et de raisonq6= 1est : Sn=U1+U2+. . .+Un=U1×1−qn
1−q
9.5 Convergence d’une suite
On consid`ere un r´eell et une suite num´erique (Un), et on s’inter´eresse au comportement de la suite en +∞.
D´efinition 5 Dire que la suite num´erique (Un) converge vers le r´eel l signifie que tout intervalle ouvert contenant l contient tous les termes de la suite `a partir d’un certain rang.
On dit alors que l est la limite de la suite(Un)et on note lim
n→+∞Un=l.
Remarques :
La limite d’une suite num´erique convergente est unique.
Si une suite ne converge pas elle est dite divergente.
Si la suiteU de la formeUn=f(n) avecf une fonction d´efinie sur un intervalle de la forme [a; +∞[, les th´eor`emes sur les limites des fonctions en +∞s’appliquent.
Exemple : La suite (Un) d´efinie parUn=(−1)n
n ,n∈N∗, converge vers 0.
Tout intervalle ouvert ]a;b[aet b∈R∗ aveca < b, contenant 0 contient tous les termes de la suite (Un). `a partir du rang n0=E(max( 1
|a|, 1
|b|)) + 1 ouEd´esigne la fonction partie enti`ere.
Th´eor`eme 6 Op´erations et limites
(Un)est une suite convergente vers le r´eel aet (Vn) est une suite convergente vers le r´eelb.
•La suite(Wn), d´efinie parWn =Un+Vn, converge vers le r´eel a+b.
•La suite(Tn), d´efinie parTn=Un×Vn, converge vers le r´eel a×b.
•Si de plus(Vn)est une suite qui converge vers le r´eelb6= 0telle que pour toutn∈N, Vn6= 0, alors la suite(Qn)d´efinie parQn= Un
Vn
converge vers le r´eel a b.
Exemple : La suite (Un) d´efinie pour toutn ∈ N∗ par Un = 2 + 4
√n, converge vers 2. En effet lim
n→+∞
√4
n = 0 donc d’apr`es le th´eor`eme sur la limite d’une somme, lim
n→+∞Un= 2.
Th´eor`eme 7 d’encadremment dit «des gendarmes»
Soient trois suites (Un), (Vn)et(Wn) telles qu’il existe d’un certain rangp∈N tel que pour tout entier naturel n≥pon ait Wn≤Un≤Vn.
Si (Vn)et(Wn)convergent vers le mˆeme r´eell, alors (Un)converge vers l.
Justification : SoitI un intervalle ouvert contenantl. La suite (Wn) converge versl.
Il existe donc un rangn0a partir duquel tous les termes` Wn ∈I.
De mˆeme pour la suite (Vn) il existe un rangn1 `a partir duquel tous les termesVn∈I.
On a donc pour n tel que N ≥ max(n0, n1, p) tous les Vn et tous les termes Wn sont dans l’intervalle I , or pour tout n≥N ≥pon aWn ≤Un≤Vn d’o`u `a partir du rangN tous les termesUn ∈I.
D’apr`es la d´efinition de la convergence d’une suite on peut dire que (Un) converge versl.
Th´eor`eme 8 Limite d’une suite g´eom´etrique
Soit(Un)une suite g´eom´etrique de raison qet de premier terme 1, pour tout n∈N Un =qn.
•Si−1< q <1alors lim
n→+∞qn= 0
•Siq= 1alors lim
n→+∞qn= 1
•Siq >1alors lim
n→+∞qn= +∞on dit alors que la suite diverge vers+∞
