PHYSIQUE C ELLULEBILINGUE

PHYSIQUE

Niveau : L3

Année scolaire 2017-2018

Traducteur : Dr. Bounseng BOUNTHONG

Mobile : 02029822860 Email : [email protected]

Chapitre III : Ondes mécaniques 2 Leçon 6 : Ondes mécaniques . . . . 2 Leçon 7 : Propriétés des Ondes . . . . 10 Leçon 8 : Interférences des ondes mécaniques . . . . 17

Leçon 6 : Ondes mécaniques

1. Notation onlulatoire

On peut distinguer le phénomène onlulatoire en deux catégories :

La première catégorie est onde mécanique. On appelle onde mécanique le phénomène de propagation d’une perturbation dans un milieu élastique. Elle transporte de l’énergie sans transporter de matière. Les ondes mé- caniques sont par exemples : les ondes à la surface de l’eau (l’eau est le milieu de propagation voir la figure ci-contre), les ondes sonores (l’air est le milieu de pro- pagation), les ondes sur la corde (la corde est le milieu de propagation).

Une perturbation est une modification locale et temporaire des propriétés d’un milieu.

Les phénomènes ondulatoires de la deuxième catégorie ne nécessitent pas de mi- lieu matériel pour se propager. Elles diffèrent donc des ondes précédentes dans le sens où elles ne correspondent pas aux perturbations d’un système matériel : ondes lumineuses, ondes radio et ondes électromagnétiques. Elles peuvent se propager dans le vide.

2. Phénomène de propagation d’onde dans un milieu élastique

Lorsqu’il y a un changement de l’état d’équilibre dans un milieu élastique par une perturbation, les particules du milieu élastique sont cohésion et donc, elles vibrent progressivement. Pendant la vibration, une particule du milieu élastique se transmet son énergie à l’autre et lorsqu’une particule a reçu l’énergie, elle vibre et tranmet d’énergie à l’autre et ainsi de suite. La vibration progressivement des particules est appelée propagation d’onde, la figure suivante montre des différentes propagation d’onde.

Le phénomène de propagation d’une onde est un transfert d’énergie d’une par- ticule à l’autre. Tous les particules sont vibrées autour sa position d’équilibre, elles ne se déplacent pas selon la propagation.

3. Différentes types d’onde

3.1. Ondes mécaniques progressives transversales Expérience :Propagation d’une perturba-

tion le long d’une corde : Secouons verti- calement l’origine O d’une corde tendue horizontalement

Observations : La perturbation se pro- page le long de la corde, d’une extrémité à l’autre, sans transport de matière.

Interprétation :

- On dit qu’une onde mécanique a été transmise le long de la corde ;

- Le milieu de propagation est la corde. On dit qu’il s’agit d’un milieu à une dimension ou milieu unidimensionnel ;

- Ce milieu est élastique parce qu’il retrouve son état initial après avoir été temporairement déformé ;

- La direction de propagation de l’onde est celle de la corde ;

- Le point M du milieu se déplace perpendiculairement à la corde avant de retrouver son état d’équilibre. On dit que l’onde est transversale.

Définition :Une onde transversale est une onde qui se propage perpendicu- lairement au déplacement du milieu. Elle est formée de crêtes et de creux 3.2. Ondes mécaniques progressives longitudinales

Expérience : Propagation d’une perturbation le long d’un ressort : Pinçons quelques spires d’un ressort tendu horizontalement

Observations : La perturbation se propage le long du ressort, d’une extré- mité à l’autre sans transport de matière.

Interprétation :

- Une onde mécanique a été transmise le long du ressort ; - Le milieu de propagation est unidimensionnel ;

- La direction de propagation de l’onde est celle du ressort ;

- Une spire du ressort se déplace parallèlement à l’axe du ressort avant de revenir à sa position d’équilibre. On dit que l’onde est longitudinale.

Définition : Une onde longitudinale est une onde qui se propage parallèle- ment au déplacement du milieu. Elle est formée de zones de compression et de zones de dilatation

4. Onde à la surface de l’eau

Lorsque l’eau est perturbé, il crée une vague à la surface de l’eau, si la surface de l’eau est perturbé sur un point, l’onde se propage de la forme d’un cercle dans tous des sens. Si on perturbe par un objet long et rectiligne, le sens de propagation d’onde est longitudinale. L’onde produit par une parturbation est

une seule vague (onde), l’onde produit par la perturbation continue est une onde progressive.

Ligne d’onde et surface d’onde

Propagation bidimensionnelle : On appelle ligne d’onde une ligne du milieu de propagation sur laquelle tous les points vibrent en phase.

Propagation tridimensionnelle : on appelle surface d’onde une surface du milieu de propagation sur laquelle tous les points vibrent en phase.

La figure suivante nous montre de quelques expériences sur l’onde à la surface de l’eau

Étudions maintenant, le mouvement et les particules des ondes à la surface de l’eau en utilisant une source voir la figure ci-dessous. Lorsqu’on vibre la source, la source produit une onde à la surface de l’eau voir la figure à droite ci-dessous.

On constate qu’une onde crée par la source, se déplace d’un point maximum A et descend à un point minimum B et remonte à un point maximum A’. On dit qu’une onde se déplace à une période. La crête se déplace à une longueur d’onde λ (le mouvement de A à A’ ou de B à B’).

Lorsqu’une onde a été crée, les particules de l’eau ou les molécules d’eau se dé- placent vers le haut jusqu’au point de maximum puis descendent jusq’au point de minimum puis remontent et ainsi de suite, le mouvement est périodique. Le sens du mouvement des particules d’eau est perpendiculaire au sens de propaga- tion d’onde. Donc, le déplacement d’onde à la surface d’eau est le déplacement d’une onde transversale.

5. Les caractéristiques d’une onde

5.1. Crête : La crête est la position où le déplacement est maximum 5.2. Creux :Le creux est la position où le déplacement est minimum

5.3. Amplitude : L’amplitude d’une onde (A) correspond à la distance maxi- male parcourue par une particule du milieu par rapport à sa position d’équi- libre. Plus l’énergie transportée par une onde est grande, plus l’amplitude est grande.

Dans le cas d’une onde transversale, l’amplitude correspond à la hauteur maximale de la crête ou à la profondeur maximale du creux

5.4. Longueur d’onde : La longueur d’onde (λ) est la distance entre deux points de l’onde séparés par un cycle complet. Un cycle complet est la distance minimale entre deux points semblables (deux points qui exécutent la même sorte de mouvement) voir la figure ci-dessus à gauche.

5.5. Fréquence : La fréquence (f) est le nombre de cycles par unité de temps.

Pour mesurer la fréquence d’une onde, on compte le nombre d’ondes com- plètes (cycles) qui se forment en un point donné durant une seconde. L’unité de mesure de la fréquence est le hertz (Hz). Une onde qui effectue un cycle par seconde a une fréquence de 1 Hz.

5.6. Période :La période (T) d’une onde est la durée d’un seul cycle. Cette gran- deur se mesure en secondes (s). Elle est l’inverse de la fréquence, f. Voir la figure ci-dessus à droite

T = 1 f 6. Vitesse d’une onde :

Dans un même milieu, la vitesse de propagation d’onde mécanique est constante.

La vitesse (v) d’une onde est la distance parcourue par la perturbation par unité de temps

v= λ

T =λ f

Oùvest la vitesse d’onde, l’unité de mesure de la vitesse est le mètre par seconde (m/s).

f est la fréquence, l’unité est le Hertz (Hz)

λ est la longueur d’onde, l’unité est le mètre (m)

Exemple Une élève fait une expérience en touchant sur la surface de l’eau ré- gulierement de deux fois par seconde. La première onde arrive au bord en face de 12 m au but de 12 secondes. Déterminer la longueur d’onde de la surface de l’eau.

Solution :En appliquant la relationv=λ f et v= s

t ⇔λ f = s

t ⇒λ = s f t

= 12 2(12)

=0.5 m 7. Équation d’onde

7.1. Équation du déplacement d’une onde progressive sinusoïdale Supposons qu’une onde se déplace sur

une corde dans la direction de (ox), l’onde se déplace avec une vitesse⃗vet si on prend l’origine du temps est en O. À l’instant t =0, l’onde a une amplitude A et de lon- gueur d’onde λ voir la figure (a). À l’ins- tantt, l’équation de déplacement de la vi- bration d’onde est :

y=Asinθ

Si la distance entre deux positions d’onde est λ alors la différente de phase est 2π et si cette distance estxalors la différente de phase est de 2π_λ^x.

Donc, si à l’instantt =0 le déplacement yest à la positionx alors y=Asin 2πx

λ

À l’instantt, sa distance parcourue est vt voir la figure (b) et si on prend O^′ comme point de référence et remplacexparx^′, on peut reécrire l’équation de déplacementypar

y=Asin 2πx^′ λ

On constate quex=x^′+vt ⇒x^′ =x−vt voir figure (b). On a y=Asin2π

λ (x−vt) ou y=Asin 2π(x λ −vt

λ) Orv= ^λ_T ou _λ^v = _T¹. Donc,

y=Asin 2π(x λ − t

T)

Dans le cas où l’onde se propage dans le sens de−x, avec la même procedure que précédante, on a l’équation :

y=Asin 2π(x λ + t

T)

7.2. Phase d’une onde progressive sinusoïdale En générale, l’onde se propage d’une phase de plus grande à une phase de plus petite.

Si la distance entre deux positions est un entier de λ, alors la phase entre deux po- sitions est différente de nombre pair de π c’est-à-dire les deux positions sont en phases. ∆x = nλ avec n = 0,1,2,···, le déphasage est :

∆φ =φ²−φ¹

= 2π λ ∆x

=2π(nλ λ )

=2nπ

Si la distance entre deux positions est un-demi entier deλ : ^λ₂, ³₂λ, ···, alors la phase entre deux poinsitions est différente de nombre impair de π. C’est- à-dire les deux positions sont en phase. On a :

∆x= (n+1

2)λ; n=0,1,2,···

Le déphasage est

∆φ =φ²−φ¹

= 2π λ ∆x

= 2π

λ (n+1 2)λ

= (2n+1)π

En appliquant la relationλ =vT et∆x=v∆t, on obient

∆φ =2π∆t T

où∆φ est le déphasage entre deux positions des surfaces d’onde en phase ou de phase différente. ∆t =t₂−t₁ est la durée du déplacement de l’onde entre deux positions. ^∆_T^t est le nombre d’onde.

Exemple : Soit une équation sur la corde : y =10 sinπ(0.5x+20t) [cm].

Déterminer :

a) l’amplitude, la vitesse et la longueur d’onde ; b) la vitesse maximale de propagation.

Solution :

a) L’équation générale du déplacement d’une onde sur la corde est : y=Asin 2π(x

λ + t T)

=Asin(2π

λ x+2π T t) On a

- l’amplitude :A=10 cm ;

- la longueur d’onde : ²_λ^πx=0.5πx⇒λ =4 cm ; - la période : ²_T^πt =20πt ⇒T =0.1 s ;

- la vitesse d’onde : v= ^λ_T = _0.1⁴ =40 cm/s

b) la vitesse maximale de propagation. En utilisant la relation v_max=ωA

= 2π T A

= 2π 0.1(10)

=628 cm/s

Exercices

1. Qu’est-ce qu’une onde mécanique ? Il existe de combien de type une onde mé- canique ?

2. Expliquer le phénomène de propagation d’onde dans un milieu élastique.

3. Comment une onde mécanique se déplace d’un point à l’autre ? une onde se déplace d’un point à l’autre par

□le déplacement □la fréquence □ la longueur d’onde □ l’énergie 4. Qu’appelle-t-on la distance entre deux crêtes ou deux creux d’un cycle ?

□la fréquence □la longueur d’onde □ la vitesse □le déplacement

5. Parmis les ondes suivantes, lesquelles qui utilisent un milieu pour se propager ? a) Ondes radio b) Ondes sonores c) ondes à la surface de l’eau

□a), b) et c) □seulement a) □ b) et c) □aucune réponse est bonne

6. Une onde transversale transfert une énergie de l’est à l’ouest. Les particules du milieu se déplacent dans quels sens ?

□seulement de l’est vers l’ouest □dans 2 sens : vers l’est et vers l’ouest

□seulement du nord au sud □dans 2 sens : vers du nord et vers du sud

7. La figure ci-contre est une trajectoire de propagation d’une onde dans un intervalle de temps, quelle est sa longueur d’onde ?

□de A à B □de B à D □de A à G □de C à G

8. Une extrémité d’un ressort est fixé au mur et place dans un plan horizontal, puis on pince l’autre extrémité et on constate que pendant 10 secondes, il y a 20 ondes de longueurs d’onde de 0.2 m. Calculer la fréquence et la vitesse de l’onde.

9. Une source vibre à une fréquence de 150 tours par seconde et de longueur d’onde de 10 cm. Si cette onde se propage à une distance parcourue de 180 m. Quelle est sa durée pour se déplacer ?

10. Une source vibre à une fréquence de 10 Hz, produit une onde de 10 cm de longueur entre la première et la cinquième crête. Déterminer

a) les nombres d’onde qui passent un point du milieu durant 10 secondes b) la période d’une particule du milieu

c) la vitesse d’onde

11. Secouons verticalement une corde, elle produit une onde 0.5 seconde plus tard. Calculer la vitesse de propagation d’onde

12. Un homme lance une pierre sur la surface de l’eau, puis 3 vagues se propagent.

Si la position de toucher la pierre sur la surface de l’eau est de 10 m par rapport au bord, la première vague mise 5 seconde pour arriver au bord, la deuxième mise 5.5 secondes et la troisième mise 6 secondes respectivement. Déterminer la longueur d’onde de la vague.

13. Soit une équation d’onde sur la corde : y = 12 cos(0.005πx+628πt), x et y exprime en centimètre (cm), t est en seconde (s). Déterminer l’amplitude, la fréquence et la longueur d’onde.

14. Soity=0.5 sin 2π(_0.01^t −^x₂)une équation du déplacement d’onde ;xetyexprime en mètre (m),t est en seconde (s). Déterminer l’amplitude, la longueur d’onde, la période, la fréquence et la vitesse d’onde.

15. Soity=2 sin(5πx+10πt)[cm], une équation d’onde sur la corde. Déterminer a) le déplacement maximal, la vitesse et la longueur d’onde

b) la vitesse maximale de la vibration d’onde.

Leçon 7 : Propriétés des Ondes

1. Superposition des ondes mécaniques

Étudions une superposition des ondes en plaçant un ressort sur une table, puis étirer les extrémités du ressort à environ 2-3 m de long. Secouons verticalement une fois vers le haut les deux extrémités dans le même sens figure 7.1 a) puis dans le sens contraire figure 7.1 b). Observer les propriétés de perturbation d’onde dans les deux cas.

FIGURE7.1 – Vibration d’un ressort

Le résultat d’expérience dans le premier cas, on constate que, quand deux par- ticules du milieu se déplacent en phase et se raprochent. Soit un point M se trouvant simultanément sur le passage de deux ondes : la perturbation résultant en ce point correspond à la « somme » des deux perturbations. Après le croi- sement, les deux perturbations continuent sans être modifiée voir la figure 7.2 a).

FIGURE7.2 – Superposition de deux ondes

Le résultat d’expérience dans le deuxième cas, on constate que, quand deux par- ticules du milieu se déplacent en opposition de phase et se raproche. Quand elles se rencontrent et elles se superposent avec le déplacement plus petite que le déplacement individuel, on dit que les deux ondes sont déstructives. Après le croisement, les deux perturbations continuent sans être modifiée voir la figure 7.2 b).

Dans les deux cas, lorsque deux ondes mécaniques se rapprochent dans la même directions et se croissent dans un point du milieu. Les ondes se superposent à ce point, appelé la superpositions d’onde.

Principe de superposition d’onde : Lorsque deux ondes mécaniques se rap- prochent dans la même direction, au point de rencontre le déplacement résultant

est égal à la somme des déplacements de deux ondes. Après le croisement, elles reprendent sa nature du mouvement.

Exemple 1 :Soient deux ondes mécaniques se déplacent dans le sens contraires à la même vitesse de 1 cm/s (voir la figure ci-après). Quand les deux ondes se rencontrent-elles ? Et quelle est le déplacement résultant maximal ?

Solution

Lorsque deux ondes se croissent le déplacement maxi- male est 2 cm, donc, s=2 cm.

s=vt ⇒t = s v

= 2 1

=2s Le déplacement résultant est maximal si

A_max=A₁+A₂

=1+1=2cm 2. Réflexion d’onde

2.1. Réflexion par une extrémité fixe

Étudions une réflexion d’onde, en utilisant une corde environ 5 mètres de long, tendue horizon- talement et fixé une extrémité au poteau. Se- couons l’autre extrémité, une onde se propage vers le point fixe. Observons la propagation de cette onde.

Résultat d’expérience : Lorsqu’on secoue une extrémité de la corde, la corde produit une onde et elle se propage vers le point fixe. On consi- dère deux cas suivants :

1) Une partie d’énergie de propagation d’onde est réfléchie avec une phase opposée de la phase incidente, ce phénomène est appeléphénomène de réflexion. Onde se propage d’une source est appelée onde incidente et onde produit après rencontre avec un obstacle est appeléeonde réfléchie.

2) Une partie d’énergie de propagation d’onde après rencontre à l’obstacle (poteau), elle transmet au poteau et elle crée une vibration au poteau.

2.2. Réflexion par une extrémité libre

Reprendons l’expérience précédente mais avec une extrémité de la corde libre.

Résultat d’expérience : Lorsqu’une onde se pro- page sur la corde jusqu’à l’extrémité, la dernière particule d’onde incidente ne rencontre pas la première particule du poteau parce que la corde n’est fixée au poteau. Donc, l’onde réfléchie a la même phase que l’onde incidente.

L’autres propriétés de la réflexion d’onde vibrant sur la corde est la vitesse de réflexion est égale à la vitesse d’incidente. La longueur d’onde réfléchie est égale à la longueur d’onde incidente mais le déplacement de réflexion est plus petite que le déplacement d’onde incidente.

Exemple 2 : Deux ondes vivrant sur la corde à l’extrémité libre se déplacent à une vitesse de 2 cm/s. Quand la corde sera une droite ? si sa longueur d’onde est de 2 cm.

Solution : Onde vibrant sur la corde de l’ex- trémité libre, la phase est inchangée, ondes se superposent. Donc, la distance parcourue est 2cm.

t = s v = 2

2 =1s

Exemple 3 : Une corde en vibrant, observons sur une morceau de 3 m, onde vibrant sur la corde voir figure a) ci-après, après 2 secondes onde devient figure b). Déterminer sa vitesse minimale.

Solution La vitesse d’onde est minimale lorsque la distance parcourue est minimale, selon le changement de figure a) à b) la dis- tance parcourue minimale est 1 m voir la fi- gure ci-après

v= s t = 1

2 =0.5m/s Donc, la vitesse d’onde minimale est 0.5 m/s.

2.3. Réflextion d’onde à la surface de l’eau

1) Si on place un obstacle fixe (ou une surface plane) avec un angle θ¹ par rapport à une onde incidente. Puis on perturbe l’eau par une tige, pour créer une onde plane (onde longitudinanle) figure 7.3 (à gauche). Obser- vons la propagation d’onde voir la figure ci-dessous. Répétons l’expé- rience avec différent angleθ¹.

FIGURE7.3 – Réflexion d’onde à la surface de l’eau (obstacle plane)

2) Si la source est une onde circulaire propressive et se propage à une sur- face plane. Observons la propagation d’onde voir la figure 7.3 (à droite)

3) Si l’obstacle est un arc, la réflexion est encore avalable dans le principe de ré- flexion. La réflexion d’une onde circulaire est une doite et si onde est une onde longi- tudinale, se propage parallèlement à l’axe de l’obstacle arc, l’onde réfléchie est une onde circulaire dont son sens de propa- gation est passé par le centre de l’arc (le

foyer F de l’obstacle arc) voir la figure 7.4 ^FIGURE 7.4 – Réflexion d’onde à la surface de l’eau (obstacle courbure)

On peut résumer le pricipe de réflexion d’onde suivant :

Lorsqu’une onde est réfléchie l’angle d’incidente est égal à l’angle de ré- flexion et les deux angles sont dans le même plan. La réflexion d’onde à la surface de l’eau est considère comme l’extrémité libre, donc, l’onde ré- fléchie a une phase inchangée. Soientθ¹ l’angle d’incidente et θ²l’angle de réflexion

θ1 =θ2

Lorsqu’une onde arrive sur l’obstacle fixe (ou une surface plane), puis change le sens vers le milieu initiale. Ce phénomène est appelé phé- nomène de réflexion d’onde. Donc, onde arrive à la surface plane (ou obstacle fixe) est appelée onde incidente; onde part de la surface plane (ou obstacle fixe) est appeléeonde réfléchie.

3. Réfraction d’onde

Étude une réfraction d’onde à la surface de l’eau par l’expérience suivante : 1) Plaçons une plaque de verre sur un réservoir (cuve à onde) dont le verre

sépare l’eau en eau profonde et eau peu profonde.

2) Perturbons par une tige, onde se propage d’eau profonde vers l’eau peu pro- fonde. Observons la propagation d’onde après touche la ligne de séparation.

3) Répétons l’expérience en plaçant la plaque de verre avec différente angle par rapport à onde incidente.

FIGURE7.5 – Réfraction d’onde dans les différents milieux

Résultat d’expérience : Lorsqu’une onde se propage d’un milieu à l’autre, quand la propagation d’onde passe à la ligne de séparation entre deux milieux, onde est réfractée à cause de la vitesse de deux milieux est différentes et aussi pour la

longueur d’onde mais la fréquences reste la même. Le changement de la vitesse et la longueur d’onde entraine à modifier la direction de propagation est appelé : réfraction d’onde.

Soient θ¹ l’angle entre une onde incidente et la ligne perpendiculaire à la ligne de séparation entre deux milieux, cet angle est appelé : angle d’incidente. Et θ² l’angle entre une onde réfractée et la ligne perpendiculaire à la droite de séparation des deux milieux, cet angle est appelé :angle de réfractévoir la figure 7.5 (à droite). Et Soient v₁ la vitesse d’onde du premier milieu (milieu 1) et v₂ la vitesse d’onde du deuxième milieu (milieu 2), on a la relation entre angle incidente, angle réfléchi, vitesse et longueur d’onde :

sinθ¹= CB

AB = λ1

AB (7.1)

sinθ²= AD

AB = λ²

AB (7.2)

Divise l’équation (7.1) par (7.2), on obtient : sinθ1

sinθ² = λ1

λ² = v₁/f₁ v₂/f₂ comme f₁ = f₂, on reécrit l’équation précédente par :

sinθ¹

sinθ² = λ¹ λ² = v₁

v₂

Où λ¹ et λ² sont les longueurs d’onde respectivement du milieu 1 et du milieu 2. La dernière relation est bien connue sous le nom « loi de Descartes » .

Remarque :Dans le cas de la réfraction d’onde

- Si une onde se propage de l’eau profonde vers l’eau peu profonde : v₁>v₂, sinθ1 > sinθ2 et θ1 >θ2; θ2 reste donc toujours inférieur à 90^◦, la valeur maximale de θ¹. Autrement dit,il y a toujours une onde réfractée;

- Si une onde se propage de l’eau peu profonde vers l’eau profonde : v₁<v₂, sinθ¹ <sinθ², et θ¹ <θ². Or θ² ne peut dépasser 90^◦, valeur pour laquelle θ¹ = θ^l (θ^l angle limite), donné par sinθ^l = ^v_v¹

2. Si θ¹ > θ^l, l’expérience montre qu’il y a alors réflexion totale de l’onde sur la surface de sépara- tion des deux milieux.

Exemple 4 : Une vague se propage de l’eau de peu profonde à l’eau profonde avec une vitesse de 1m/s, si la longueur d’onde de deux milieux est repective- ment 0.5 m et 1 m. Déterminer la vitesse et la fréquence de l’eau profonde.

Solution :

- La vitesse d’onde dans l’eau profonde est :

λ¹ λ² = v₁

v₂ ⇒v₂ = v₁λ² λ¹ = 1

0.5 =2m/s - La fréquence d’eau profonde est

v₂=λ2f₂ ⇒ f₂ = v₂ λ² = 2

1 =2Hz

Exercices

1. Quelles sont des propriétés d’onde mécaniques ?

2. Expliquer la réflexion d’onde longtitudinale et d’onde circulaire lorsqu’une vague se propage et touche à l’obstacle fixe.

3. Qulle est la phase de réflexion d’une onde vibrant sur la corde de l’extrémité fixe et libre ?

4. Lorsqu’une onde à la surface de l’eau se propage de l’eau profonde vers l’eau peu profonde. Quelle est parmi les expressions suivantes soit vraie ?

a) la vitesse d’onde de l’eau profonde est plus petite que la vitesse de l’eau peu profonde ;

b) la vitesse d’onde de l’eau profonde est plus grande que la vitesse de l’eau peu profonde ;

c) la fréquence d’onde de l’eau profonde est plus grande que la fréquence de l’eau peu profonde ;

d) la fréquence d’onde de l’eau profonde est plus petite que la fréquence de l’eau peu profonde.

5. Lorsqu’une onde à la surface de l’eau se propage de milieu 1 vers milieu 2 avec la vitesse d’onde augmente. Quelle est la bonne réponse pour l’onde du milieu 2

a) la fréquance augmente b) la fréquence diminue

c) la longueur d’onde augmente d) la longueur d’onde diminue

6. Dans une étude de la réfraction d’une onde à la surface de l’eau, lorsqu’une vague se propage de l’eau profonde vers l’eau peu profonde. Quelle est le chan- gement de la longueur d’onde, la vitesse et la fréquence ?

a) la longueur d’onde et la vitesse diminue mais la fréquence reste constante b) la longueur d’onde et la vitesse augmente, la fréquence reste constante c) la longueur d’onde diminue, la fréquence augmente mais la vitesse reste

constante

d) la longueur d’onde et la fréquence diminue mais la vitesse reste constante 7. Observez bien la figure suivante, en complétante les informations suivantes :

1) La longueur d’onde est ...

2) Le déplacement d’onde est ...

8. Une vague se propage d’un milieu d’eau profonde vers d’eau peu profonde. La direction d’onde incidente est parallèle à l’obstacle fixe, il existe deux éléments identiques à l’obstacle. Quels sont ces deux éléments ?

a) la fréquence et la longueur d’onde b) la longueur d’onde et la vitesse d’onde

c) la vitesse d’onde et la direction de propagation d’onde

d) la fréquence et la direction de propagation d’onde

9. Une onde vibrant sur la corde se déplace à une vitesse de 20 cm/s, à une fréquence de 5 tours par seconde. Quand un point M situe à 1 m de l’onde atteint-il maximum ?

10. Une onde longitudinale de longueur d’onde 2 cm, de fréquence 3 Hz se propage du milieu 1 au milieu 2. La surface d’onde transmise ré- fracte avec un angle de 16^◦ de direction ini- tiale voir la figure ci-contre. Quelle est la vi- tesse d’onde dans le milieu 2 ?

11. Une source vibre à une fréquence de 20 tours par secondes et la distance de première cête à la cinquième crête est de 20 cm. Déterminer la vitesse de cette vague.

Leçon 8 : Interférences des ondes mécaniques

1. Interférences des ondes mécaniques

Pour étudier l’interférence des ondes, on uti- lise deux vibreurs sur un cuve à onde, ondes circulaires ont été crées par deux sources. Ces deux ondes sont identiques (elles ont la même fréquence et la même phase), observons la ren- contre des ondes sur l’écran voir la figure 8.1.

La combinaison de deux ondes créent par deux sources distingues est appelée l’interférence d’onde. Lorsque les deux ondes arrivent en un point (M) en phase, l’amplitude de la résultante est alors maximale en M : il y a interférence constructive. Lorsque les deux ondes arrivent en M en opposition de phase, l’amplitude de la résultante est alors minimale en M : il y ainter-

férence destructive. FIGURE 8.1 – Interférence d’onde à la surface de l’eau

Deux ondes de même amplitude se propagent en sens contraire. L’onde résul- tante, lorsqu’elle ne se propage pas : on dit qu’elle est stationnaire.

La figure 8.2 est l’interférence des ondes à la surface de l’eau de sources S₁ etS₂ et elle crée une onde stationnaire. Le point d’interférence destructive (ou le point qui a l’amplitude 0) est appelé la nœude, et la droite qui passe les nœudes est appelée ligne de nœude. Le point d’interférence constructive (ou le point qui a l’ampli- tude maximale) est appeléventre (ou an- tinœude), et la droite qui passe par les an-

tinœudes est appelée linge d’antinœude. ^FIGURE 8.2 – Interférence de deux ondes circulaires

On utilise le symbole#pour la nœude (le point d’interférence de deux crêtes), pour la ventre (point d’interférence de deux creux) et G# pour l’interférence entre la crête et le creux. A₀ est la ligne centrale (ou la ligne d’antinœude milieu), A_n, n=1,2, ...est la ligne d’antinœude à gauche et à droite.

N₁est la première ligne de nœude aprèsA₀voir la figure 8.3. La relation entre la distance d’un point aux deux sources.

Pour la ventre (antinœude) :

|S₁P−S₂P|=nλ, où n=0,1,2, .... Le pointP est sur lan^ième ligne de la ventre (An).

Pour le nœude :|S₁Q−S₂Q|= (n−¹₂)λ _FIGURE 8.3 – Relation entre ligne de nœude et antinœude

Considérons deux sources S₁ et S₂. Le point M situé à d₁ de S₁ et d₂ de S₂ a res- pectivement pour élongation comme si les sources vibraient seules. La grandeur notée δ =d₂−d₁ est appelée différence de marche des ondes au point M. Si δ = 0, M est sur la médiatrice du segment [S₁S₂]. Le point M appartient à la ligne d’antinœude si δ =nλ, M appartient à la ligne de nœude siδ = (n−¹₂)λ Exemple : Considérons deux sources

S₁ et S₂ voir la figure ci-après. Déter- minerndes points P₁, P₂, P₃, Q₁, Q₂ et Q₃ sur la ligne d’antinœude et de nœude.

Solution : Pour le point P sur la ligne d’antinœude en appliquant la relation :|S₁P−S₂P|=nλ

PourP₁, |S₁P₁−S₂P₁|=|5λ−5λ|=nλ ⇒n=0. Donc,P₁ est l’intersection de deux creux, c’est l’interférence constructive sur la ligne centraleA₀.

PourP₂, |S₁P₂−S₂P₂|=|5λ−4λ|=1λ ⇒n=1. Donc,P₂ est l’intersection de deux creux, c’est l’interférence constructive sur la ligne d’antinœude A₁.

PourP₃,|S₁P₃−S₂P₃|=|1.5λ−3.5λ|=2λ ⇒n=2. Donc,P₃est l’intersection de deux crêtes, c’est l’interférence constructive sur la ligne d’antinœudeA₂. Pour le pointQsur la ligne de nœude en appliquant la relation :

|S₁Q−S₂Q|= (n−¹₂)λ

PourQ₁, |S₁Q₁−S₂Q₁|=|4.5λ−5λ|=0.5λ ⇒n=1. Donc,Q₁est l’intersec- tion de crête et de creux, c’est l’interférence destructive sur la ligne de nœude N₁.

PourQ₂, |S₁Q₂−S₂Q₂|=|1.5λ−4λ|=2.5λ ⇒n=3. Donc,Q₂est l’intersec- tion de crête et de creux, c’est l’interférence destructive sur la ligne de nœude N₃.

PourQ₃, |S₁Q₃−S₂Q₃|=|4λ−2.5λ|=1.5λ ⇒n=2. Donc,Q₃est l’intersec- tion de de crête et de creux, c’est l’interférence destructive sur la ligne de nœude N₂.

2. Diffractions des ondes mécaniques

Étudions la diffraction par l’expérience suivante :

Expérience 1) Plaçons un obstacle parallèle à un vibreur sur un cuve à onde voir la figure 8.4 1) ci-dessous, puis perturber le vibreur pour créer les ondes progressives, elles se propagent et rencontrent avec l’obstacle.

Expérience 2) Plaçons deux obstacles avec une fente plus grande que sa lon- gueur d’onde voir la figure 8.4 2)

FIGURE8.4 – Expérience de diffraction d’onde

Expérience 3)Plaçons deux obstacles avec une fente plus petite que sa longueur d’onde voir la figure 8.4 3).

Résultats d’expérience : Lorsqu’une onde se propage et rencontre avec l’obs- tacle, une partie d’onde est réfléchie, une autre partie est diffractée vers dernière de l’obstacle, ce phénomène est appeléphénomène de diffraction d’onde.

La diffraction d’onde, elle dépend de la distancedde la fente. Dans le cas où l’onde se propage et passe par une fente (ou slit) de distance plus grande (ou plus petite) que sa longueur d’onde, on considère que la fente comme une source circulaire. Si l’onde se propage et passe à deux fentes de l’obstacle, et on considère que les deux fentes comme deux sources circulaires, les ondes diffractées peuvent s’interférer.

Ce phénomène est expliqué par le principe d’Huy- gens :

En 1678, HUYGENS a fait l’hypothèse suivante : lorsqu’une source ponctuelle S émet une onde, tout se passe comme si chaque point de la surface d’onde se comportait comme une source ponctuelle secon- daire émettant des ondes circulaires (sphériques).

Ces ondes secondaires interfèrent entre elles et la nouvelle surface d’onde est l’enveloppe des les sur-

faces d’onde secondaires. ^FIGURE8.5 – Diffraction d’onde

3. Ondes stationnaires

3.1. Étude d’une onde stationnaire

1) Utilise une corde ou un fil de long en- viron 1.5 m tendue avec un vibreur et l’autre avec une antenne ;

2) Branche la machine de vibreur, la ma- chine sera vibrer et créer une onde progressive sur la corde et se propage

vers l’antenne ; ^FIGURE 8.6 – Expérience sur onde stationnaire

3) Modifie la fréquence pour que la corde vibre avec une amplitude maxi- male ou avec nœudes et antinœudes. Observons la production la ventre (ou fuseau) et note chaque cas.

Le résultat d’étude nous montre que lorsqu’une onde incidente se propage et rencontre à l’antenne et elle réfléchie. L’onde réfléchie interfère avec l’autre onde incidente, elle crée une onde stationnaire. Le point vibrant est l’interfé- rence constructive, point stationnaire est l’interférence destructive.

3.2. Équation d’interférence d’onde stationnaire

Soient deux ondes de mêmes amplitudes, de même fréquences et de même vitesses.

Lorsque ces deux ondes voyagent en sens contraires, l’interférence de ces ondes est une onde stationnaire.

FIGURE8.7 – Interférence d’onde

Équation d’onde sinusoïdale

Lorsque deux ondes se croissent en un point :

- onde se propage dans le sens −x:y₁=Asin 2π(_λ^x +_T^t ) - onde se propage dans le sens x:y₂ =Asin 2π(_λ^x −_T^t ) L’onde résultante selon l’axexd’équation :

y=y₁+y₂ =A [

sin 2π(x λ + t

T) +sin 2π(x λ − t

T) ]

=A [

2 sin 2π (x

λ +_T^t +_λ^x −_T^t 2

)

×cos 2π (x

λ +_T^t −_λ^x +_T^t 2

)]

=2Asin 2π x

λ cos 2π t T

=2Asin2πx

λ cos 2πf t

La dernière équation est l’équation d’onde stationnaire. Comme ω = 2πf, soit k= ²_λ^π, on peut reécrire l’équation précédente par :

y=2Asin(kx)cosωt (8.1)

Chaque point vibre (oscille) en fonction de sinus avec l’amplitude diffé- rence : A^′ =|2Asin(kx)|

- L’amplitude est maximale si sin(kx) =1 signifie que :kx=^π₂, ³₂^π, ⁵₂^π,···, donc,x= ^λ₄, ³₄^λ, ⁵₄^λ, ···. À la position x=±(n+¹₂)^λ₂, n=0, 1, 2, ···

l’onde se vibre à l’amplitude maximale.

- L’amplitude minimale si sinkx=0 signifie que :kx=0, π, 2π, 3π, ···, donc,x=0, ^λ₂, λ, ³₂^λ, 2λ, ···. À la position x=±n^λ₂, n=0, 1, 2, ···

l’onde ne vibre pas parce que l’amplitude est nulle. Ces points sont ap- pelésnœudes des ondes stationnaires. Nœudes des ondes stationnaires sont les interférences destructives (les points O, B, D, F sur la figure 8.7 ). Deux nœudes à côtés forment unfuseaude longueur ^λ₂. Donc, les ren- flements sont appelés ventre et les extrémités nœuds (les points A, C, E,... sur la figure 8.7), la distance entre deux ventres à côtés est ^λ₂ et la distance entre les ventres et les nœudes de vibrations est ^λ₄.

Équation d’onde cosinus

Même procedure que précédente, lorsque deux ondes se propagent et se croissent en un point :

- onde se propage dans le sens −x:y₁=Acos 2π(_λ^x +_T^t ) - onde se propage dans le sens x:y₂ =Acos 2π(_λ^x −_T^t )

- l’onde résultante selon l’axe xd’équation : y=y₁+y₂ =A

[

cos 2π(x λ + t

T) +cos 2π(x λ − t

T) ]

=A [

2 cos 2π ( x

λ +_T^t +_λ^x −_T^t 2

)

×cos 2π (x

λ +_T^t −_λ^x +_T^t 2

)]

=2Acos 2π x

λ cos 2π t T

=2Acos2πx

λ cos 2πf t 3.3. Longueur d’onde

Selon l’étude l’onde vibrant sur la corde. Si on modifie la fréquence pour que la corde vibre à un fuseau, 2 fuseaux, 3 fuseaux, ... respectivement.

FIGURE8.8 – La relation entre la longueur d’une corde et la longueur d’onde

Dans le premier cas (voir figure 8.8 a)) où onde vibre à un fuseau, la relation entre la longueur de la corde et la longueur d’onde estl= ^λ₂. Lorsqu’on aug- mente la fréquence pour la corde crée une onde stationnaire de deux fuseaux et de trois fuseaux (figure 8.8 b) et c)) la longueur d’onde est l = ²₂^λ = λ; l = ³₂^λ respectivement. Dans le cas général, si il y a n fuseaux sur la corde, on a :

λ = 2l

n, n=1, 2, 3, ··· (8.2)

3.4. Fréquence d’onde

Dans le cas des ondes stationnaires, la fréquence de l’oscillateur est corres- pond à la fréquence de la corde vibrant dont il y a une réflexion totale cette fréquence est calculée par :

f_n= v

λ = nv

2l (8.3)

oùn est le nombre du fuseau (ou le nombre de la ventre). Sin=1, la vibra- tion a une fréquence minimale, on dit que la fréquence de base. Pour n≥2 correspond à f₂, f₃, ··· et soit v la vitesse sur la corde, si la vitesse sur la corde estv=

√T

µ, on a :

f = n 2l

√ T

µ (8.4)

où T est la tension de la corde ou du fil exprimé en (N), µ est la masse linéique d’une corde représente sa masse par unité de longueur (kg/m) :µ =

m l .

3.5. Nombre de nœude des ondes stationnaires dans le cas où les extrémités libres

Dans ce cas à les extrémités d’une corde ou d’un fil cylindrique sont les positions du ventre voir la figure suivante

FIGURE8.9 – Ondes stationnaires dans le cas où les extrémités libres

Le nombre de fuseau est :

l−λ/4 λ/2 = 2l

λ −1

2 (8.5)

Les ondes stationnaires peuvent observer sur l’interférences des ondes vi- brants sur la corde, des ondes à la surface de l’eau, ...

Exercices

1. Dans quel cas peut-on utilise le principe d’Huygen pour expliquer le phénomène des ondes mécaniques ?

2. L’interférence et la diffraction d’onde peuvent-elles réaliser simultanémment ? et pourquoi ?

3. Qu’est-ce qu’une onde stationnaire ? donnez tous les relations d’onde station- naire.

4. Soient deux source S₁ et S₂ voir la figure ci-contre et un pointP tels queS₁P=9 cm, S₂P=7 cm.

a) le pointP est-il sur la nœude ou l’antinœude ?

b) déterminer la différence de marche |S₁P−S₂P| en fonction de la longueur d’onde.

c) déterminer la longueur d’onde

5. Soient deux source S₁ etS₂ voir la figure ci-contre, la dis- tance entre deux sources est 6 cm, chaque source crée une onde de longueur d’onde de 1 cm. Soit un pointM tel que S₁M = 12 cm et S₂M = 8 cm. Les points M et S₂ sont- ils sur la ligne de nœude ou d’antinœude ? et dans quelle ligne ?

6. Soient deux sources, chaque source crée une onde de longueur d’onde de 3 cm.

Considérons un point distance de deux sources respectivement 18 cm et 21 cm.

Ce point se situe sur la nœude ou l’antinœude ?

7. Deux sources S₁ et S₂ émmettent une longueur d’onde de 4 m. Considérons un point P tel que S₁P =121 m et S₂P= 75 m. Le point P est-il sur la nœude ou l’antinœude ?

8. Une corde de long 6 m vibrant à une fréquence de 260 Hz. On costate qu’il existe 8 fuseaux sur la corde. Déterminer la vitesse d’onde.

9. Une corde de long 5 m vibrant à une fréquence de 200 Hz. Elle crée une onde transversale de longueur d’onde de 30 cm se propage sur la corde. Quelle est la vitesse d’onde sur la corde ? si la tension de la corde est de 1.5 N, quelle est la masse de la corde ?

10. Une onde stationnaire sur la corde a une distance entre la nœude et la ventre à côté est de 4 cm. Si l’onde se propage à une vitesse de 10 cm/s. Déterminer sa fréquence.

11. Un fil de long de 2 m tendue à deux extrémités sur deux poteaux. Puis per- turbons, une onde stationnaire de fréquence de 500 tours par seconde se vibre.

Quelle est la vitesse d’onde sur le fil ?

12. Soit une équation d’onde sur la corde :y=5 cos(0.05πx+628πt).yetxexprime en mètre (m) ett est en seconde (s). Déterminer

a) l’amplitude de propagation d’onde b) la fréquence

c) la longueur d’onde

13. Une équation d’onde est donnée par :y=1.5 sin 2π(_0.01^t −^x₂). yetxexprime en mètre (m) ett est en seconde (s). Déterminer

a) l’amplitude de propagation d’onde

b) la longueur d’onde, la période et la fréquence c) la vitesse d’onde