1. On détermine le flux de Ð → B à travers les N spires, en orientant la surface d’après la règle du tire bouchon à partir du sens proposé de l’intensité :
Φ = N. ∯
spireB
0Ð u →
x⋅ dS. Ð u →
y′= N. ∯
spireB
0.cosθ.dS = B
0.cosθ.4.a
2On en déduit par la loi de Faraday la fem d’induction e
ind= − dΦ
dt = + N. θ.B ˙
0.4.a
2.sinθ Ce qui donne, en modélisant les phénomènes d’induction par un générateur de fem e
ind: i
ind= N. θ.B ˙
0.4.a
2R 2. Pour un élément Ð →
dl du contour : Ð →
df = i
indÐ → dl ∧ Ð B →
Le moment de cette force élémentaire, projeté selon Oz s’écrit alors : d Ð M → ⋅ Ð u →
z= [ Ð→ OP ∧ ( i
indÐ dl → ∧ Ð B → )] Ð u →
zOn doit séparer le calcul pour les 4 segments, mais on peut rapidement s’apercevoir que les forces de Laplace exercées sur les segments CD et EA n’ont pas d’effet sur la rotation du cadre. Leur moment projeté sur l’axe de rotation est donc nul.
On s’intéresse au segment AC :
d Ð M → ⋅ Ð u →
z= [ Ð→ OP ∧ ( i
inddz Ð e →
z∧ B
0Ð e →
y)] Ð u →
z[(− a. Ð e →
x′+ z. Ð e →
z) ∧ (− i
ind.B
0.dz. Ð e →
x] Ð u →
zComme Ð e →
x′∧ Ð e →
x= − sinθ Ð e →
z, on obtient M
∆(AC)= − N.a.i.B
0.sinθ
La force de Laplace s’exerçant sur le segment DE est opposée à celle s’exerçant sur le segment AC . Il s’agit donc d’un couple de forces. On montre facilement que M
∆(DE)= M
∆(AC)Le moment des actions de Laplace est donc : M = − 2. N
2. θ.sin ˙
2θ.B
02.4.a
4R
3. On applique alors le TMC au cadre. Les actions de moment non nul sont celles des forces de Laplace ainsi que celles du couple de torsion : J
∆ω ˙ = − C.θ − 2. N
2. θ.sin ˙
2θ.B
02.4.a
4R On obtient donc ¨ θ + N
2. θ.sin ˙
2θ.B
02.8.a
4R.J
δ+ C
J
δ.θ = 0 4.
1 import numpy a s np
2 import m a t p l o t l i b . p y p l o t a s p l t
3
4 #V a r i a b l e s g l o b a l e s
5 tau =.1
6 w_0=6.14
7
8 ####### P r e m i e r e methode ##########
9 d e f systeme ( S ) :
10 T=np . z e r o s ( ( 2 ) )
11 T[ 0 ] = S [ 1 ] # d ( t h e t a ) / dt
12 T[1]=−( S [ 1 ] ∗ ( np . s i n ( S [ 0 ] ) ) ∗ ∗ 2 ) / tau−w_0∗∗2∗ S [ 0 ] #d ^ 2( t h e t a ) / dt ^2 d e d u i t de l ’ED.
13 r e t u r n T
14
15 d e f Euler_1 ( S_0 , t i , t f ,N) :
16 t=np . l i n s p a c e ( t i , t f ,N) # On c r e e l e t a b l e a u d e s i n s t a n t s
17 t h e t a=np . z e r o s ( (N) ) # On c r e e l e t a b l e a u p e r m e t t a n t d ’ e n r e g i s t r e r l e s v a l e u r s de t h e t a
18 t h e t a [ 0 ] = S_0 [ 0 ] # C o n d i t i o n i n i t i a l e pour t h e t a
19 pas=t [ 1 ]−t [ 0 ] # On p o u r r a i t e g a l e m e n t e c r i r e pas =( t f−t i ) / (N−1)
20 S=S_0 # Tableau S ( t h e t a , d t h e t a / dt ) a l ’ i n s t a n t i n i t i a l
21 f o r n i n r a n g e( 1 ,N) : # On a d e j a S_0
22 S=S+pas ∗ systeme ( S ) # R e l a t i o n de r e c u r r e n c e e n t r e S_i e t S_( i +1)
23 t h e t a [ n]=S [ 0 ] # on p l a c e dans l e t a b l e a u l a v a l e u r t h e t a _ i
24 r e t u r n ( t , t h e t a )
25 ####### Fin de l a p r e m i e r e methode ##########
26 27 28
29 ####### Seconde methode ##########
30 d e f Euler_2 ( S_0 , t i , t f ,N) :
31 t=np . l i n s p a c e ( t i , t f ,N) # On c r e e l e t a b l e a u d e s i n s t a n t s
32 t h e t a=np . z e r o s ( (N) ) # On c r e e l e t a b l e a u p e r m e t t a n t d ’ e n r e g i s t r e r l e s v a l e u r s de t h e t a
33 t h e t a [ 0 ] = S_0 [ 0 ] # C o n d i t i o n i n i t i a l e pour t h e t a
34 pas=t [ 1 ]−t [ 0 ] # On p o u r r a i t e g a l e m e n t e c r i r e pas =( t f−t i ) / (N−1)
35 t h e t a [ 1 ] = t h e t a [ 0 ] + pas ∗S_0 [ 1 ] # c a r theta_ ( i +1)=t h e t a _ i+pas . ( d t h e t a / dt )
36 f o r i i n r a n g e( 0 ,N−2) : # On a d e j a l e s deux p r e m i e r e s v a l e u r s de t h e t a
37 t h e t a [ i +2]=2∗ t h e t a [ i +1]−t h e t a [ i ]−pas ∗ ∗ 2 ∗ (w_0∗∗2∗ t h e t a [ i ] + ( ( np . s i n ( t h e t a [ i ] ) ) ∗ ∗ 2 ∗ ( t h e t a [ i +1]−
t h e t a [ i ] ) / pas ) / tau )
38 r e t u r n ( t , t h e t a )
39 ####### Fin de l a s e c o n d e methode ##########
40 41
42 #E x e c u t i o n d e s deux methodes
43 S_0=np . a r r a y ( [ . 2 , 0 ] )
44 t_1 , theta_1=Euler_1 ( S_0 , 0 , 1 0 , 1 0 0 0 0 0 )
45 t_2 , theta_2=Euler_2 ( S_0 , 0 , 1 0 , 1 0 0 0 0 0 )
46 p l t . p l o t ( t_1 , theta_1 )
47 p l t . p l o t ( t_2 , theta_2 )
