SYMÉTRIES APPROXIMATIVES ET CLASSIFICATION DES PARTICULES

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Submitted on 1 Jan 1966

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SYMÉTRIES APPROXIMATIVES ET

CLASSIFICATION DES PARTICULES

B. Diu

To cite this version:

JOURNAL DE PHYSIQUE Colloque C 4 , supplément au nB 11-12, Tome 27, Nov.-Déc. 1966, page C 4

-

23

SYMÉTRIE

s

APPROXIMATIVES ET CLAS SIFICATION DES PARTICULES

B. DIU (*)

CERN, Genève

Résumé.

-

Le but de ce rapport est de donner un aperçu des succès et difficultés rencontrés dans l'application à la Physique des Hautes Energies de la notion de symétrie approximative, l'accent étant porté sur la classification des particules qui en résulte. Après un bref rappel de quel- ques idées fondamentales simples, une étude plus spécifique est entreprise pour la (( voie octuple ))

de SU(3), puis pour SU (6) et le modèle des quarks ».

Abstract.

-

The aim of this report is to outline the achievements and difficulties encountered in applying the notion of approximate symmetry to High Energy Physics, the interest being mainly focused on the resulting classification of particles. After some simple fundamental ideas have been briefly recalled, a more specific study of the SU (3) (( eightfold way », and then of SU (6) and

the (( quark » model, is undertaken.

1. Quelques idées générales.

A. Introduction.

-

Même si l'on s'en tient au domaine subnucléaire qui nous intéresse ici, le nombre des particules connues est considérable. Il est loin le temps où l'on pouvait espérer expliquer l'univers à

partir de l'électron, du proton et du photon ! Et tout porte à croire que la liste de ces particules (que l'on qualifie encore quelquefois d'élémentaires, mais seu- lement par routine et avec des restrictions mentales de plus en plus sévères) est loin d'être close : chaque mois, on pourrait presque dire chaque semaine, de nouvelles

<( bosses » viennent grossir les rangs des candidats à

ce titre, dans l'espoir de figurer un jour sur le « Bottin mondain >) que rédigent et mettent périodiquement à

jour des experts dans le critère des X 2 et les écarts

types. Evidemment, toutes ces <( bosses » ne parvien-

nent pas à la consécration, car la loi féroce des sta- tistiques guette les plus chétives. II n'en reste pas moins que le nombre de celles qui ont résisté victorieusement aux épreuves et aux recoupements augmente de façon régulière et obstinée.

Cette accumulation de résultats expérimentaux présente deux aspects contradictoires. D'une part, elle pose, avec de plus en plus d'acuité et d'urgence, le problème de leur classification systématique, sans parler évidemment de celui d'une explication cohérente et complète, but ultime mais apparemment plus loin- tain de nos efforts. D'autre part, elle peut faciliter considérablement les recherches : les régularités sous- (*) Adresse actuelle : Laboratoire de Physique Théorique des Hautes Energies, Bâtiment 211, 91, Orsay (France).

jacentes ressortent plus aisément d'un grand nombre de données ; de plus, les divers schémas que l'on peut imaginer sont sans cesse mis à l'épreuve par l'afflux de nouveaux faits.

Une première simplification est venue de la décou- verte de l'isospin et de sa conservation par les interac- tions fortes. Les efforts ont ensuite porté sur la recher- che de symétries plus vastes, mais aussi plus appro- ximatives. L'outil mathématique utilisé dans la dis- cussion de telles symétries est bien sûr la Théorie des Groupes. C'est ainsi que, après diverses tentatives infructueuses, sont apparus dans le jargon des physi- ciens les termes SU(3), et plus récemment SU(6), avec ou sans indice, 5(12), SL(6, C), etc

...,

voilés d'un certain mystère pour ceux que la Théorie des Groupes n'avait pas encore touchés de sa grâce, auréolés de la gloire toute fraîche de succès prometteurs, mais aussi, malheureusement, un peu déformés lorsqu'ils appa- raissaient sur certains placards publicitaires dont le gigantisme était calculé pour être vu de loin, de Stock- holm par exemple.

Le but de cet exposé ne peut être une description détaillée des techniques de la Théorie des Groupes, non plus qu'une discussion exhaustive des succès et difficultés des schémas basés sur SU(3) et SU(6). Il existe à ce sujet d'excellents rapports, cours et livres [l-31. Le souci sera plutôt de présenter, de façon aussi simple que possible, les idées générales et quelques points importants relatifs à ce que l'on appelle la

(( voie octuple » et le (( modèle des quarks », l'accent

étant délibérément porté sur leurs conséquences quant

à la classification des particules.

Mais peut-être convient-il auparavant de se poser les deux questions suivantes.

B. Qu'est-ce qu'une symétrie approximative ? -

Le concept de symétrie (exacte) est maintenant devenu classique. On sait par exemple que, en Mécanique Quantique non-relativiste, les niveaux d'énergie d'un système possédant la symétrie sphérique sont affectés d'un moment angulaire total J bien déterminé.

Plus précisément, la symétrie sphérique du système a pour conséquence l'invariance du Hamiltonien H par rotation dans l'espace à trois dimensions ordinaire. Le groupe des rotations est, comme ceux dont il sera question plus loin, un groupe continu, en ce sens qu'il est possible d'y définir la notion de transforma- tions voisines (ceci est bien sûr trop vague pour pou- voir constituer une définition mathématique). En particulier, en considérant les rotations infinitésimales, c'est-à-dire différant infiniment peu de l'identité, on est amené à introduire les générateurs infinitésimaux, qui, pour le groupe des rotations, ne sont rien d'autre que les trois opérateurs de moment cinétique J,, J,, et J,. La conservation du moment cinétique, c'est- à-dire la relation

[H, JI = O ( 1 )

est alors l'expression mathématique de la symétrie sphérique du système.

En ce qui concerne la classification des états propres de H, les conséquences d'une telle situation sont essen- tiellement les suivantes :

1) on peut choisir, pour représenter ces états, un système de fonctions propres de J2 [valeurs propres J ( J

+

1)] et J, [valeurs propres ml, où

est ce que l'on appelle l'opérateur de Casimir du groupe SU(2).

2) l'énergie de ces états (qui dépend en général de J ) est indépendante de m, ce qui entraîne leur groupement en niveaux de moment angulaire J , (2 J

+

1) fois dégénérés.

Traduisant en termes de Théorie des groupes, on dit que chaque niveau d'énergie correspond à une représentation irréductible (sauf cas de dégénéres- cence accidentelle) du groupe des rotations ; cette représentation irréductible est caractérisée par la valeur propre J ( J

+

1) de l'opérateur de Casimir (2), et ses différents membres sont les (2 J

+

1) fonctions d'onde dégénérées, que permettent de distinguer les valeurs propres m de J,.

Supposons maintenant que nous appliquions à un tel système un champ magnétique relativement peu

intense orienté suivant l'axe Oz. La symétrie sphérique est brisée, et les niveaux se subdivisent en sous-niveaux Zeeman. 11 n'en reste pas moins que la classification précédente garde son intérêt tant que la séparation de ces sous-niveaux est suffisamment faible. Nous nous trouvons dans une situation de symétrie appro- ximative.

Autrement dit, la façon la plus simple de se repré- senter une symétrie approximative est d'envisager que le hamiltonien (ou le lagrangien) décrivant le système étudié peut se mettre sous la forme

H = Ho

+

Hl (3)

où Ho est invariant dans les transformations du groupe

(c'est-à-dire commute avec les générateurs infinitési- maux correspondants), et où H l , qui ne possède pas cette propriété, est (( petit )) devant Ho (c'est-à-dire

ne perturbe que faiblement les niveaux de Ho). Un autre exemple bien connu, et plus proche de nos préoccupations présentes, est celui de l'isospin.

Ho correspond alors aux interactions fortes, et Hl décrit les interactions électromagnétiques et faibles. Sous l'effet de cette symétrie approximative, les hadrons, ou particules à interactions fortes, se groupent en multiplets d'isospin presque dégénérés ; bien qu'on n'ait pas encore été capable de calculer les différences de masse entre membres d'un même multiplet (même leur signe reste souvent mystérieux [4]), on les attribue essentiellement aux interactions électromagnétiques, ce que suggère d'ailleurs leur ordre de grandeur.

Cette façon simple de considérer une symétrie approximative n'est pas la seule, ni forcément la plus efficace. En particulier, d'intéressants dévelop- pements ont suivi une idée récente de Gell-Mann à

ce sujet [5], dont C. Bouchiat parlera certainement dans un prochain exposé.

C. Que peut-on attendre d'une symétrie appro-

ximative ?

-

Le rôle d'une symétrie, exacte ou approximative, ne se limite pas à fournir une base pour la classification des particules. Bien que ce soit cet aspect de la question qui nous occupe principale- ment ici, il importe de garder présents à l'esprit ses liens étroits avec d'autres points de vue tont aussi importants.

SYMÉTRIES APPROXIMATIVES ET CLASSIFICATION DES PARTICULES C 4 - 2 5

(l'isospin du deutéron D est nul, ainsi que celui de la particule a, alors que le méson R fait partied'un triplet),

et l'on est habitué aux manipulations de coefficients de Clebsch-Gordan qui fournissent des rapports de sections efficaces (production du N*, en particulier) ou des inégalités triangulaires. La vérification expé- rimentale de ces prédictions a toujours donné des résultats positifs, la violation étant de l'ordre de quel- ques pour cent, c'est-à-dire compatible avec une origine électromagnétique. Peut-être convient-il d'insister sur ce fait que, pour établir la conservation de l'isospin, on ne s'est pas contenté d'examiner la classification des particules.

Simplement en considérant le spectre des masses connues, on comprend qu'une symétrie plus large que celle de l'isospin sera forcément beaucoup moins bien vérifiée : la dégénérescence des supermultiplets correspondants ne pourra être que très grossièrement approchée.

Pourtant, comme se plait à le souligner Lipkin [6], une symétrie approximative peut être beaucoup plus riche d'enseignements qu'une symétrie exacte. En effet, la façon dont la symétrie est violée, l'intensité de cette violation dans telle ou telle situation et les règles qu'elle peut suivre sont susceptibles de nous faire progresser dans la connaissance des différentes interac- tions, beaucoup plus que l'étude d'une symétrie exacte. Dans ces conditions, les vérifications expérimentales d'une symétrie approximative prennent une dimension nouvelle : il ne s'agit pas uniquement de s'assurer que la violation est faible, mais aussi d'explorer son comportement.

Dans cet ordre d'idées, l'un des rôles les plus impor- tants d'une symétrie approximative est de permettre une classification des interactions non-invariantes selon leurs propriétés de transformation. Si la conser- vation de l'isospin par les interactions fortes ne peut pas nous apprendre grand chose sur ces dernières, elle fournit d'intéressants développements, par exem- ple, dans le domaine des interactions faibles : règles A I =

3,

hypothèse du courant vectoriel conservé, etc

...

Précisons un peu cette notion de propriétés de transformation d'opérateurs tels que Hl [formule (3)].

Pour fixer les idées, nous allons considérer le groupe d'isospin.

Pour ce qui est des états, on connaît leur compor- tement sous l'action des trois générateurs infinitésimaux (nous les prendrons ici sous leur forme canonique :

13, et I* = Il k i12) :

On sait de plus que, quand une transformation des, états est décrite par un opérateur unitaire U :

la transformation correspondante des opérateurs se: fait par

Pour trouver comment agissent les générateurs infinitésimaux, il suffit de choisir :

On voit alors que, pour appliquer l j à un opérateur O, il faut prendre le commutateur

L'équivalent, pour des opérateurs, des équations (5). se trouve donc facilement : un ensemble de (2 1

+

1). opérateurs O;"(m = - 1, - I

+

1,

...,

I ) se trans-

forme suivant la représentation irréductible carac-- térisée par I si

LI3,

(311

=

J'?&?

[ I + , O;"] = J l ( 1 i- 1)

-

m(m

+

1) O;"" (10). En particulier, on vérifie immédiatement que les- opérateurs

sont les trois composantes d'un opérateur isovecto-. riel, c'est-à-dire se transformant suivant la repré- sentation I = 1 (qui est appelée représentation régu- lière ou adjointe).

Comment peut-on s'assurer qu'un opérateur donné- isolément se tranforme comme un membre d'une certaine représentation du groupe ? S'il s'agissait d'un état

1

iC/

>, on lui appliquerait I 2 = 1;

+

12

+

13

et I3 ; si

on conclut que

1

$ > se transforme comme le membre: (m) de la représentation (1) (*).

Pour un opérateur O, on arrivera à une conclusion analogue si

t

CI3, (37 = m~ (13)

puisque l'application des générateurs infinitésimaux se fait à l'aide de commutateurs [voir formule (9)]. Par exemple, quand on dit que le photon est en partie un isosinglet et en partie un isotriplet, cela signifie que le champ électromagnétique peut être considéré comme la somme de deux termes, dont l'un commute avec les 3 composantes de l'isospin et l'autre vérifie les équations (13) avec I = 1 et m = 0. Après ces quelques rappels d'idées générales très simples, nous allons maintenant pouvoir entrer dans le vif du sujet.

II. La << voie octuple n et SU(3).

A. Présentation de la « voie octuple B. - Dans le schéma de Gell-Mann-Nishijima, la conservation de l'isospin et de l'hypercharge par les interactions fortes entraîne le groupement des particules en mul- tiplets caractérisés par les nombres quantiques I et Y,

les différents membres d'un même multiplet se dis- tinguant par la valeur propre de I,.

Pendant plusieurs années après la découverte de ce schéma, les efforts pour le généraliser sont restés vains. Pourtant, à côté de l'échec des symétries dites globale [7] et restreinte [SI, le modèle symétrique de Sakata [9] avait attiré l'attention sur SU(3) ; mais, alors que les mésons paraissaient pouvoir entrer sans peine dans ce modèle, les baryons refusaient de s'y plier.

Si la (( voie octuple », proposée ensuite par Gell-

Mann et Ne'eman [IO] et basée sur le même groupe SU(3), ne s'est pas heurtée aux mêmes difficultés, c'est à cause d'une propriété maintenant bien connue, e t qui d'ailleurs possède son analogue dans SU(2), le groupe d'isospin ou des rotations ordinaires. La règle de composition des moments angulaires nous a en effet rendu familière l'existence de deux catégories de spins ou d'isospins : le couplage de deux spins entiers ne peut pas donner un spin (( demi-entier ».

Autrement dit, sauf à trouver des raisons plus profon- des, on pourrait très bien s'accommoder d'un monde où n'existeraient que des spins, ou des isospins, entiers. En ce qui concerne SU(3), il existe aussi une classe de représentations, dites à « trialité » nulle, qui se comportent comme les spins entiers : en réduisant les produits de telles représentations (cette réduction est l'équivalent du couplage des moments angulaires), on n'obtient que des représentations de même type.

Contrairement au modèle symétrique de Sakata, qui groupait p, n et A en un triplet correspondant à

la représentation fondamentale

3

du groupe (*) (de trialité non-nulle), la « voie octuple )) n'utilise, du

moins pour les particules connues jusqu'à présent, que

- des représentations de trialité nulle (**) :

1,

8, i0,

IO,

27, etc

...

C'est ce qui explique la différence entre ces deux théories.

Les générateurs infinitésimaux de SU(3) sont au nombre de 8 (c'est pourquoi la représentation régulière, analogue de la représentation vectorielle I = 1 de SU(2), est ici

8).

Deux d'entre eux commutent, et peuvent donc être diagonalisés simultanément : ils correspondent à l'hypercharge Y et à la troisième composante de l'isospin I,. Evidemment, Y commute aussi avec les deux autres composantes de 1, ce qui permet de décomposer un supermultiplet de SU(3) en multiplets d'isospin et d'hypercharge bien définis. De même, au lieu d'un seul opérateur de Casimir I 2

[cf., formule (2)], il en existe deux pour SU(3) (l'un du deuxième degré comme 12 et l'autre du troisième dans les générateurs infinitésimaux), dont les valeurs propres suffisent à déterminer une représentation.

Mentionnons enfin rapidement deux propriétés de SU(3) qui n'ont pas leur équivalent dans le groupe des rotations :

a) quand un ensemble de particules forme un multiplet d'isospin, leurs antiparticules se transfor- ment suivant la même représentation irréductible de SU(2). Ceci n'est pas le cas pour SU(3) : la représen- tation conjuguée, ou contragrédiente, d'une repré- sentation quelconque, bien qu'ayant même dimension, ne lui est pas en général équivalente. Par exemple, @ se compose d'un quadruplet

(r

= +) d'hypercharge

+

1, d'un triplet (1 = 1) d'hypercharge 0, d'un doublet (1 = +) d'hypercharge - 1 et d'un singulet (1 = 0) d'hypercharge

-

2. Par suite de cette asymétrie entre valeurs positives et négatives de Y, il est évi- demment impossible que les antiparticules correspon- dantes prennent place dans un cadre identique; elles seront classées dans la représentation

07

dont la décomposition diffère de la précédente par le signe de l'hypercharge caractérisant chaque multiplet. Toutefois, les représentations 8, et 64, par exemple, sont inchangées par conjugaison.

(*) Bien qu'en principe cela ne suffise pas à la déterminer, l'usage s'est établi de désigner une représentation irréductible de SU(3) par sa dimension N, la représentation conjuguée (voir plus bas) étant alors notée N. Aucune confusion n'est possible pour les représentations couramment utilisées.

(**) On dit que le groupe utilisé est, non pas SU(3) lui-même, mais SU(3)/Z3, de la même façon que le groupe des rotations à

SYMÉTRIES APPROXIMATIVES ET CLASSIFICATION DES PARTICULES C 4 - 2 7 b) dans le couplage de deux moments angulaires

quelconques, on n'obtient jamais plus d'une fois un spin total donné. Dans SU(3), au contraire, la même représentation peut intervenir plusieurs fois dans la réduction d'un produit tensoriel. Un exemple main- tenant bien connu est le suivant

où les deux représentations désignées par 8, et 8, sont équivalentes, mais peuvent être distinguées p i Ï leur comportement quand on intervertit l'ordre des deux octets du premier membre (8, est symétrique dans cet échange, 8, antisymétrique);

des mésons pseudoscalaires (Fig. 2). De même, les neuf mésons vectoriels (JP = 1-) connus éntrent facilement dans un octet et un singulet (voir plus loin la question du mélange o

-

cp).

-1 O 1 1 3

B. Application à la classification des particules. -

L'action des générateurs de SU(3) sur un état physique FIG. 2.

n'affecte que ses nombres quantiques dits internes (isospin 1, hypercharge Y) et laisse invariantes ses propriétés spatio-temporelles (spin J, parité P). Par conséquent, tous les membres d'un même supermulti- plet de SU(3), reliés entre eux par les transformations de ce groupe, auront les mêmes caractéristiques spa- tiales JP. Naturellement, le nombre baryonique aussi commute avec les opérateurs de SU(3), et baryons et mésons ne seront pas mélangés. En plus, on ne peut classer ensemble des mésons d'étrangeté nulle, qui coïncident avec leur antiparticule (*), que s'ils corres- pondent à la même valeur propre (+ 1 ) de l'opérateur

C représentant la conjugaison de charge.

Les premiers succès de la voie octuple » ont été enregistrés dans ce domaine de la classification des particules : l'exemple le plus fameux reste bien sûr la prédiction du baryon O-. Voyons maintenant, dans ses grandes lignes, la situation actuelle.

1) SUPERMULTIPLETS RAISONNABLEMENT BIEN ÉTABLIS.

Pas de changement en ce qui concerne l'octet B des baryons de propriétés JP = $+ (Fig. 1) et celui

(*) A proprement parler, l'antiparticule d'un n+ est un n-. Mais le multiplet d'isospin z, constitué de n-, no et n+, est globalement invariant dans l'opération de conjugaison de charge.

En ce qui concerne le décuplet A des baryons ayant JP = %+ (Fig. 3), seule la mesure du spin du

a-,

qui n'est certainement pas pour demain, serait éven- tuellement capable d'y apporter un bouleversement radical, qui se répercuterait d'ailleurs vraisemblable- ment sur l'ensemble du schéma ; nous verrons bientôt pourquoi on peut raisonnablement penser que cette mesure donnera JP = %+, mais on n'est évidemment pas à l'abri d'une surprise.

A ces supermultiplets on peut ajouter les suivants, qui ne sont pas totalement certains, mais paraissent avoir de grandes chances d'atteindre bientôt à la consécration définitive.

Il s'agit d'abord de deux singulets : l'un, baryonique, serait constitué par le Y : (1 405 MeV), dont les

nombres quantiques (JP =

2 - )

semblent se confirmer ;

l'autre, mésonique, contiendrait un neuvième méson pseudoscalaire, le y' ou X0 (958 MeV), qui n'est pas

Viennent enfin les mésons tensoriels (J' = 2+), dans un octet et un singulet : f 0 (1 250 MeV),

f'

(1500 MeV), A, (1 290 MeV) et K* (1 405 MeV). Il reste encore à ce sujet un certain nombre de points à éclaircir, notamment en ce qui concerne le A,, qui pourrait se séparer en deux résonances distinctes ; toutefois, l'existence de ce cc nonet » de mésons tensoriels ne sera vraisemblablement pas remise en question.

2) FORMULE DE MASSE [Il]. - Si, malgré l'incer-

titude qui demeure au sujet de ses propriétés spatiales, on considère la prédiction du 52- comme un grand succès de la voie octuple, c'est en partie à cause de l'étrangeté inhabituelle de ce baryon ( S = - 3), mais surtout à cause de la précision remarquable avec laquelle sa masse avait été prévue à partir de celles du N* (1 238 MeV), du Y : (1 385 MeV) et du

Z* (1 530 MeV). La formule de masse de Gell-Mann- Okubo, que nous allons maintenant discuter, a donc joué un rôle essentiel dans cette prédiction.

a) Hypothèse fonclamentale et formule générale. -

La formule de masse de Gell-Mann-Okubo est, pour l'instant du moins, basée sur une hypothèse supplé- mentaire : on postule que la partie Hl du hamiltonien qui viole l'invariance par SU(3) se transforme comme un membre de la représentation

8.

Si on néglige les interactions électromagnétiques et faibles, Hl décrit des interactions (( semi-fortes 11, qui conservent l'hy-

percharge et l'isospin ; il est donc caractérisé par les nombres quantiques Y = 0, I = O, et l'hypothèse précédente en fait le (( centre )) d'un octet.

Pour calculer les différences de masse entre membres d'un même supermultiplet, on va traiter H l comme une perturbation du Hamiltonien «très fort )) qui

conserve SU(3), et commencer bien sûr par considérer le terme du premier ordre.

On part donc d'un état N fois dégénéré, où N est la dimension du supermultiplet étudié. H l , commutant avec Y et 1, sera diagonal quand les N fonctions d'onde de base choisies seront fonctions propres des opé- rateurs Y,

Z2

et I, (nous les noterons

1

N ; Y, 1, I, >).

Au premier ordre en H l , la masse du membre (Y, 1,13) du supermultiplet

fl

sera donc donnée par

oii

M N

est la masse non-perturbée.

On peut alors utiliser une sorte de Théorème de Wigner-Eckart généralisé à SU(3) [12]. Pour com- prendre ce qui se passe de façon simple, il suffit de se rappeler que, en physique atomique par exemple,

les éléments de matrice d'un opérateur vectoriel quelconque dans un état de moment angulaire total J sont proportionnels à ceux de J lui-même (déjh dans le modèle vectoriel de l'atome, on considère que tous les vecteurs précessent autour de J , ce qui annule, en valeur moyenne, leur composante perpendiculaire à

cet axe, et ne laisse que leur projection sur J). Comme cela a déjà été indiqué plus haut, l'équivalent, pour SU(3), de la représentation vectorielle est la représen- tation régulière 8 .

Cependant, apparaît avec SU(3) une complication supplémentaire, liée à la remarque b) du paragra- phe 11 A.

Du point de vue des propriétés de transformation, l'élément de matrice figurant dans la formule (15) peut se calculer en multipliant la représentation

N

par

8

(puisque H , se comporte comme un octet) et en cherchant dans la réduction de ce produit la représentation initiale N, qui est la seule à pouvoir donner un scalaire par multiplication avec (le bra

< N ; Y, 1, I3 ( fait évidemment partie de la représen- tation

-).

Une façon de procéder équivalente consiste

à multiplier par N et à projeter ce produit sur 8 A part le cas trivial de N = 1, on sait déjà que les éléments de matrice des générateurs infinitésimaux

A, dans la représentation

fl

se transforment suivant la représentation régulière

8 (ils sont l'analogue des

éléments de matrice de J dans un état de moment

angulaire déterminé). Le produit

&f

x

N

contiendra donc 8 au moins une fois (si N # 1).

Dans le cas où il ne le contient qu'une fcis, les élé- ments de matrice de Hl [formule (15)] seront propor- tionnels à ceux de I'hypercharge Y, qui est le généra- teur correspondant aux nombres quantiques de H l

si un seul

8

apparaît dans x

3

Mais

8

peut figurer deux fois dans la réduction du produit x N . Dans ce cas, il faut ajouter un

terme supplémentaire au deuxième membre de l'égalité

(16), et on peut montrer [Il], [12]

Naturellement, l'expression (17) est tout à fait générale, et se réduit à la forme (16) quand celle-ci est valable. D'après la façon dont ils apparaissent, il est clair que les coefficients a, et b, dépendent a

priori de la représentation étudiée.

SYMÉTRIES APPROXIMATIVES ET CLASSIFICATION DES PARTICULES C 4 - 2 9

différentes et la formule (17) ne contient que trois paramètres ; leur élimination conduit à la relation bien connue

qui est vérifiée par les valeurs expérimentales des masses. De plus, les paramètres a , et b, sont petits devant M ,

a, = +(mN - m,)

=

- 190 MeV

b, = +(m,

-

m,) E 40 MeV (19) M , = mn

=

1115 MeV

ce qui semble justifier a posteriori l'utilisation de la théorie des perturbations au premier ordre, et indi- quer une violation de la symétrie d'environ 10

%.

Pour le décuplet A , la formule (16) est valable.

Elle conduit à la célèbre (c règle des intervalles égaux ))

Ici aussi, l'accord avec l'expérience est excellent, et la valeur commune de ces différences de masse

( N 145 MeV) est de l'ordre de 10

%

des masses elles- mêmes.

L'application de la formule de masse aux super- multiplets mésoniques pose au contraire un certain nombre de problèmes.

Remarquons tout d'abord que, comme particule et antiparticule font ici partie du même supermuItiplet, il faut que a, soit nul, puisqu'elles ont même masse.

Mais, comme on n'a jusqu'à présent identifié que des octets (et singulets) mésoniques, la formule (17) est valable et on peut avoir a, = O sans que les différences de masse prédites s'annulent.

Ceci posé, ni l'octet des pseudoscalaires, ni ceux des mésons vectoriels et tensoriels ne vérifient l'équivalent de la relation (18), qui s'écrit par exemple pour les pseudoscalaires

De plus, il est évident que les différences de masse entre K, y et 71 sont du même ordre de grandeur que

les masses elles-mêmes ; il semble donc à première vue que la violation de SU(3) ne puisse pas être consi- dérée comme petite dans-ce cas.

Cependant, un certain nombre d'arguments, la plupart du temps très plausibles, ont été donnés pour expliquer ces difficultés et, éventuellement, les sur- monter.

En premier lieu, il n'est pas évident que ce soit à

la masse moyenne du supermultiplet qu'il faille compa- rer les différences de masse pour avoir une idée de

l'ordre de grandeur de la violation. Par exemple, si les mésons pseudoscalaires sont des états liés BB, c'est en termes d'énergies de liaison, et non de masses, qu'il faut raisonner, auquel cas la violation de SU(3) apparaît de nouveau faible.

Ensuite, la relation (21) est mieux vérifiée (quoique pas aussi bien que pour les baryons) si on y remplace les différentes masses par leur carré. Diverses justifi- cations ont été proposées pour ce remplacement, mais aucune n'est vraiment convaincante. L'une des plus séduisantes [13] consiste à supposer que, dans la limite où SU(3) deviendrait une symétrie exacte, les mésons pseudoscalaires auraient une masse nulle ;

on est alors naturellement conduit à utiliser les carrés de leurs masses quand on étudie le terme qui brise la symétrie.

Pour les mésons vectoriels et tensoriels, on invoque généralement le mélange de représentations, par exemple le cc mélange o - cp » [14].

Il existe en effet 9 mésons vectoriels, qui forment un octet (K*, p, cpO et K*) et un singulet (o,) dans la limite de la symétrie exacte. Si les masses non pertur- bées de oo et cp, (respectivement M l et M8) sont

voisines, c'est-à-dire si leur différence est du même ordre que les séparations que peut produire H l , ou

inférieure, ces deux particules, qui ont les mêmes nombres quantiques, vont être couplées par la per- turbation. Autrement dit, les masses des particules physiques et cp seront les valeurs propres de la matrice 2 x 2

comme dans le cas de perturbation d'un niveau dégé- néré (remarquer que

<

oo

1

Hl

1

oo ) = O, à cause du fait que 8 x

1

ne contient évidemment pas

1).

L'élément (1, 1) de cette matrice peut être calculé, dans l'hypothèse où Hl se transforme comme le centre

d'un octet, à partir des masses du K* et du p, par une formule analogue à (21). Il reste alors deux paramètres pour ajuster les valeurs propres de A aux masses expérimentales du o et du cp. Ces particules physiques sont évidemment des mélanges de o0 et cp,

> = cos 0

1

cpO >

+

sin 0

1

oo >

I o > = -sinO1cpo > + c o s O 1 o o > (23)

et on trouve

cos 6

=

0,77 (24)

de mélange est ici nettement plus faible, le singulet et l'octet paraissant plus éloignés avant l'introduction de la perturbation).

L'inconvénient d'un tel argument est bien sûr que, comme on a autant de paramètres que de données expérimentales, il est impossible de le vérifier. Les recoupements que l'on peut imaginer, en particulier ceux qui s'adressent aux désintégrations des mésons vectoriels, sont trop imprécis pour convaincre les sceptiques.

3) MULTIPLETS INCERTAINS OU INCOMPLETS.

-

Un grand nombre de particules connues sont encore dans une situation peu claire par rapport à SU(3). Il n'est pas question de discuter ici en détail tous les cas, mais seulement de mentionner un certain nombre de points.

Les baryons de propriétés spatiales JP =

3-

ont posé dès le début, et continuent de poser, un problème délicat. On connaît au moins deux particules, le

N:

(1 5 18 MeV) et le Y: (1 520 MeV), pour lesquelles les nombres quantiques

3-

sont bien établis. La parité du Yi_* (1 650 MeV) est encore le sujet de contro- verses entre expérimentateurs ; si elle s'avérait positive, il faudrait envisager l'existence, à côté du décuplet A , d'un autre supermultiplet de baryons 3 + ,

ce qui poserait la question d'un mélange de représen- tations (il y a moins de 270 MeV de différence entre le Yi_* appartenant à A et celui-ci) et remettrait donc en cause la règle des intervalles égaux. Même dans le cas où le Y: (1 650 MeV) se verrait attribuer les propriétés

4-,

il semble difficile de construire un octet en le groupant avec le

N:

(1 518 MeV) et le

Y: (1 520 MeV), puisque la formule de masse prédit

alors une résonance 6* de mêmes propriétés spatiales aux environs de 1 600 MeV, résonance qui n'a pas été trouvée expérimentalement. Certains [15] pensent plutôt que le Y: (1 520 MeV) serait essentiellement un singulet, ce qui lèverait la restriction concernant la masse du ,Y*, mais impliquerait l'existence d'un autre Y:, ayant aussi JP =

9-.

De même, il est impossible à l'heure actuelle de dire s'il existe un octet de mésons scalaires (JP = 0'). En effet, le rc (730 MeV), qui semblait indiquer la présence d'un tel octet, a des propriétés assez bizarres et a été récemment l'objet d'attaques visant à le faire disparaître de la liste des résonances [i6]. De toutes façons, les autres membres de cet octet éventuel parais- sent peu disposés à se montrer, ce qui est d'ailleurs compréhensible étant donné l'absence de barrière centrifuge dans leur désintégration en deux pseudosca- laires.

Plus généralement, il est évident que, dans l'esprit de la voie octuple, toute particule d'isospin ou d'hy- percharge non-nuls doit commencer » un super- multiplet autre qu'un singulet et exige donc des partenaires de mêmes propriétés spatiales qu'elle. Le nombre de « vides », dans cette classification basée sur SU(3), est par conséquent énorme : par exemple, on a déjà identifié plus d'une douzaine de résonances

N*,

qui supposent l'existence d'autant d'octets (pour celles d'isospin +) ou de décuplets (quand I = Q), sans qu'on puisse évidemment exclure des multiplets de dimension plus grande.

D'ailleurs, la question ne se limite pas à essayer de remplir ces cases vides. Il faut aussi s'assurer que, ce fai- sant, on ne va pas bouleverser les multiplets qualifiés plus haut de (( raisonnablement bien établis ». Par

exemple, nous venons de voir que, si le Y: (1 650 MeV) a une parité positive, il peut créer des ennuis en ce qui concerne le décuplet A . De même, l'existence

d'une résonance N* de mêmes nombres quantiques que le Nucléon et de masse voisine de 1 480 MeV semble se confirmer ; va-t-on être obligé de reconsidérer l'appli- cation de la formule de masse à l'octet des baryons

f

+,

et d'admettre la possibilité d'un mélange, au moins pour certains de ses membres ?

Toutes les difficultés sont donc loin d'être résolues, et les quelques adversaires irréductibles de la voie octuple peuvent conserver l'espoir de voir cette théorie finalement infirmée par l'expérience. Il n'en reste pas moins que, à la lumière des succès obtenus en relation avec les particules les plus légères et donc les mieux connues, cette éventualité parait peu probable.

C. Discussion de quelques points annexes. -

1) AUTRES VÉRIFICATIONS EXPÉRIMENTALES DE L'INVA- RIANCE APPROXIMATIVE PAR SU(3). - NOUS avons

souligné plus haut l'intérêt que pourraient avoir de telles vérifications pour nous éclairer sur la façon dont SU(3) est violé. Malheureusement, il est difficile d'imaginer des critères simples et définitifs.

On aimerait, en particulier, trouver des réactions interdites par SU(3) pour pouvoir mesurer en quel- que sorte directement la violation de la symétrie, mais il y en a fort peu [6] et elles font toutes intervenir des multiplets qui ne sont pas encore identifiés sans ambiguïté. Une exception est peut-être constituée par les désintégrations radiatives [17] :

i

Y,* (1385 MeV) +

X

+

y

(25) 8" (1530 MeV) + 6

+

y

En considérant en effet ce que l'on appelle le

SYMÉTRIES APPROXIMATIVES ET CLASSIFICATION DES PARTICULES C 4 - 3 k

les interactions électromagnétiques, on voit immédiate- ment que les transitions (25) entre particules chargées négativement sont interdites par SU(3), alors que

sont permises (ceci bien sûr si Y: et 8" appartiennent

à un décuplet et C et 8 à un octet). Par conséquent, une mesure des rapports de taux de désintégration :

donnerait une idée assez précise sur l'importance de la violation de SU(3).

Les relations que prédit SU(3) entre sections effi- caces ou entre largeurs de particules instables sont difficiles à vérifier avec précision, en particulier à cause des différences de masses importantes entre membres d'un même multiplet : on doit par exemple comparer des réactions qui ont des seuils différents, et on ne sait par conséquent pas à quelles valeurs de l'énergie et du moment transféré cette comparaison doit se faire. Même lorsqu'on choisit un critère de compa- raison raisonnable [19], les résultats sont assez ambigus.

2) PROBLÈMES DYNAMIQUES. - La théorie des groupes à elle seule ne peut pas mener à une compré- hension complète des interactions à haute énergie. En particulier, pour ce qui nous occupe ici, elle ne peut pas répondre à des questions du genre : quels multiplets existent, avec quelles propriétés spatiales, et à quelle place dans l'échelle des énergies ? La réponse

à de telles questions ne peut être obtenue que dans une étude de la dynamique des interactions fortes. Bien que cette étude soit à l'heure actuelle très incomplète et sujette à caution, il s'en dégage quelques idées générales dont certaines peuvent avoir leur importance dans la question de la classification des particules en supermultiplets.

Considérons par exemple le deutéron. Du point de vue de SU(3), il doit appartenir à un supermultiplet qui possède un membre de nombres quantiques Y = 2 , I = O, et qui de plus apparaisse dans la réduc- tion du produit tensoriel

8

x 8, puisque le deutéron est essentiellement formé de deux nucléons. La seule représentation qui possède ces propriétés est

o.

Si l'on s'en tient à la théorie des groupes, on est donc amené à prévoir l'existence de trois autres particules, de nombre baryonique 2 et de spin 1 comme ledeuté-

ron, pour compléter le multiplet [20] : en particulier, celui-ci comporte un état de nombres quantiques

Y = l , Z = 4,liéà ANetZN.

Voyons maintenant quelles peuvent être les conclu- sions d'une étude dynamique de ces particules. Il semble raisonnable de considérer le deutéron comme un état lié créé par les forces attractives qui agissent entre un proton et un neutron. Dans la limite de la symétrie exacte, l'état

combinaison linéaire de

1

AN > et

1

Z N >, est soumis à des forces égales aux précédentes. Mais, en réalité, la masse du Z est de 80 MeV supérieure à

celle du A. Etant donné que l'énergie de liaison du deutéron est faible devant ces 80 MeV, et que, de plus, on a affaire à un état lié dans l'onde S, il semble

que l'état Z N doive avoir peu d'influence. C'est effec- tivement'ce que l'on trouve si on développe un modèle basé sur des potentiels équivalents [21]. Mais on s'a- perçoit alors que, si ) AN > est seul, les forces cor- respondantes sont nettement insuffisantes pour pro- duire un état lié analogue au deutéron, ou même une résonance AN.

Autrement dit, ces considérations dynamiques semblent indiquer une ct disparition )) de l'état lié

1

; Y = l , d =

4

> quand on passe de la limite où la symétrie est exacte à la réalité, où elle est seulement approximative. On est donc amené à se poser la question, cruciale pour la classification des particules :

les supermultiplets unitaires doivent-ils forcément être complets ? Mais, si la réponse à cette question est non, comme le suggéreraient les arguments précédents, il est difficile de continuer à traiter la violation de

SU(3) comme une simple perturbation.

Le même genre de problème se pose de façon presque constante quand on essaie de comprendre dynamiquement l'existence ou la non-existence de tel ou tel supermultiplet [22]. Un autre exemple, toujours dans le système NN, est constitué par l'onde ' S 0 de la diffusion pp (1 = 1) : on sait que cette onde ne comporte pas d'état lié, mais la longueur de diffusion y est très grande, ce qui indique que cet état lié « est très près d'exister ». Faut-il alors compter cet état anti-lié, comme on dit, dans la liste des particules, et admettre que certains de ses partenaires (il figurerait dans la représentation 27) pourraient ne pas partager sa cc malchance » et apparaître effectivement comme des particules réelles ?

tenté, quand on s'intéresse aux questions de dynami- que, d'attaquer même les succès les plus frappants de SU(3) [22]. Par exemple, considérer le N: (1 238 MeV) comme une résonance nN et essayer de l'expliquer par les forces correspondantes n'entraînera certai- nement pas une levée de boucliers, mais sera au contraire regardé comme tout à fait raisonnable. Pourtant [23], dans SU(3), l'état 1 =

3

de n N est une combinaison linéaire de membres de

a

et de @:

Par conséquent, s'il est possible d'expliquer le N* à

partir de nN seul, on le trouvera à cheval 1) sur les représentations

a

et

2

(en proportions égales) et on ne comprendra plus sa classification dans seul. Pour arriver à le placer dans a , il semble nécessaire .que l'état K Z joue un rôle essentiel dans sa production.

En effet :

e t il faut une importante contribution de K 2 pour "empêcher la résonance d'apparaître dans

3

et la reporter dans

a.

Mais comment est-il possible que KZ; dont le seuil est environ 450 MeV au-dessus de la masse du N*, ait sur lui une influence du même ordre que celle de

zN

? En d'autres termes, si des forces d'un ordre de grandeur raisonnable peuvent produire dans nN une résonance 160 MeV au-dessus d u seuil, il faudrait dans K 2 une attraction considé-

rable pour créer une énergie de liaison de 450 MeV. Il reste donc encore, dans cette théorie de la voie octuple, de nombreux points obscurs et des difficnltés. Mais il pourrait difficilement en être autrement quand notre compréhension des phénomènes à haute énergie .est si fragmentaire et fragile. La croyance, maintenant pratiquement générale, dans la validité de la voie octupfe ne vient pas de vérifications précises et inat-

pris isolément n'est pas toujours très convaincant, mais dont l'ensemble est assez impressionnant : à la classification des particules, dont nous avons parlé ici, s'ajoutent en particulier des considérations sur les interactions électromagnétiques et faibles qui permettent difficilement de douter de l'utilité de SU(3). III. SU(6) et le modèle des quarks.

A. Pourquoi aller plus loin que SU(3) ?

-

1) QUELQUES FAITS QUI POURRAIENT ÊTRE DES INDI- CES. -Même après une revue aussi rapide que la pré- cédente des succès, difficultés et incertitudes liés à une classification des particules dans la voie octuple, on peut légitimement se poser la question : pourquoi a-t-on cherché à aller plus loin, c'est-à-dire à englober SU(3) dans un groupe plus vaste qui décrirait aussi une symétrie approximative du monde subnucléaire ?

Ce qui motivait principalement le passage du groupe d'isospin SU(2) à la voie octuple, c'était l'existence de i'hypercharge, nombre quantique additif extérieur à SU(2). Au contraire, on ne peut invoquer ici aucune loi de conservation indépendante de SU(3), sauf celle du nombre baryonique qui semble plus profonde.

De plus, il est évident qu'un groupe plus large conte- nant SU(3) ne peut correspondre qu'à une symétrie au moins aussi fortement violée. Par conséquent, les difficultés d'interprétation de cette violation seront au moins aussi importantes que pour SU(3).

Pourtant, il n'est pas nécessaire d'invoquer la légitime curiosité des théoriciens pour expliquer les recherches tendant à « élargir » la voie octuple. Un certain nombre de faits assez frappants apparaissent, dans SU(3), comme fortuits, et être autant de manifestations d'une symétrie supérieure.

Il y a bien sûr d'abord le mélange w

-

9 dont il a été question plus haut, et plus généralement les compor- tements très différents de o et de cp en ce qui concerne la production et la désintégration : le cp se forme en effet beaucoup moins fréquemment que le o lors de collisions nN, et il se désintègre surtout en KK, refusant l'espace de phase plus favorable que lui proposent les états à 3 z.

Mais il est aussi remarquable de constater que la séparation des masses moyennes du décuplet A et de l'octet B de baryons est d'environ 340 MeV seulement, c'est-à-dire inférieure aux différences de masse extrê- mes m,

-

mN ( E 380 MeV) et m, - mN* (= 435 MeV). De plus, les valeurs de a, et b, tirées de l'application

SYMÉTRIES APPROXIMATIVES ET CLASSIFICATION DES PARTICULES C 4 - 3 3

ne diffère de 145 MeV que de 10

%

environ : or, si on prend la même formule (17) pour décrire les masses des membres du décuplet A , c'est -(alo

+

+

blo) qui donne l'espacement constant de 145 MeV entre ces masses, ce qui ne peut s'expliquer que par une coïncidence, dans SU(3), mais pourrait être plus profond.

2) LES QUARKS. - Mais c'est la considération

d'éventuels quarks qui a amené certains physiciens [24]

à proposer des symétries basées sur des groupes plus larges que SU(3).

Nous avons vu plus haut que, dans la voie octuple, les représentations de SU(3) qui apparaissent sont seulement celles de trialité nulle. Il est cependant tentant de chercher quelles seraient les conséquences de l'existence physique d'autres représentations, de trialité non nulle, et en particulier de se demander si la représentation fondamentale ? de SU(3) ne pourrait pas être réalisée dans la nature.

Différents schémas ont été étudiés 1251, dans les- quels les relations mathématiques :

étaient utilisées pour construire les particules classées dans la voie octuple comme composées en fait de triplets fondamentaux.

Le plus <( économique )) de ces schémas, c'est-à-dire

celui qui introduit le moins de particules nouvelles, part d'un seul triplet de fermions, les (( quarks » ou

as ». Cette (( économie » a pour conséquence l'attri-

bution aux quarks de propriétés assez bizarres : en particulier, nombre baryonique 113, charges électri- ques

+

213, et - 113. Il n'est pas dans notre propos de discuter ici tous les développements basés sur ces quarks hypothétiques, que certains se refusent d'ail- leurs à considérer comme autre chose que des « objets mathématiques ».

Ce qui nous intéresse au contraire, c'est que, munis d'un triplet fondamental de fermions, réels ou non, certains physiciens [24] ont fait le rapprochement avec la théorie des supermultiplets nucléaires de Wigner, basée sur un doublet d'isospin (le nucléon) contenant des particules de spin

f.

Autrement dit, de même que Wigner avait couplé spin et isospin par les transformations d'un seul groupe, doublant le nombre d'objets de base et passant de SU(2) à SU(4), de même a-t-on essayé de construire les particules connues à partir de six états élémentaires, chacun des trois quarks pouvant se présenter sous deux états de

spin. On aboutit ainsi naturellement à SU(6), en faisant l'hypothèse que non seulement les trois quarks sont approximativement équivalents (ce qui se mani- feste par une invariance par rapport aux transforma- tions de SU(3)), mais que les deux orientations possi- bles de leur spin le sont aussi (ce qui suppose une indépendance des interactions par rapport au spin des quarks).

B. SU(6) proprement dit. - A partir d'un sextet fondamental ainsi défini, on considère les mésons comme formés de paires quark-antiquark, pour avoir un nombre baryonique nul. En particulier, comme :

on classe les mésons les plus légers en un singulet (représentation

1)

et un multiplet de dimension 35. Si l'on s'en tient à la seule classification des parti- cules, ce résultat est assez remarquable. En effet, le singulet semble se réaliser dans le XO, qui a un spin nul et paraît être un singulet de SU(3). Quant à la représentation 35, elle contient un octet et un singulet de SU(3) qui sont en même temps des triplets de spin et un octet de SU(3) à spin nul, ce qui permet d'y faire entrer les neuf mésons vectoriels et les huit autres pseudoscalaires. Il est à remarquer que la parité négative de ces 36 mésons est compatible avec une onde relative S pour le quark et l'antiquark qui les composent (voir paragraphe C ci-dessous).

De plus, on obtient une explication qualitative à

première vue satisfaisante du mélange w - q : ce n'est plus un pur hasard si le singulet et l'octet de mésons vectoriels ont des masses suffisamment voisi- nes pour se mélanger, puisque, si SU(6) était exacte- ment conservé, ils seraient complètement dégénérés ;

au contraire, le singulet pseudoscalaire n'a, a priori, aucune raison d'être proche de l'octet correspondant, car ils peuvent être séparés même dans la limite d'in- variance par SU(6).

Peut-être convient-il d'insister sur le fait que, dans ce modèle basé sur SU(6), les quarks pourraient très bien n'être que des concepts mathématiques commo- des : rien n'oblige à considérer les mésons comme de véritables états liés d'un quark et un antiquark exis- tant réellement comme particules. La situation est la même qu'en ce qui concerne SU(3), c'est-à-dire en particulier que l'on peut envisager de n'utiliser que les représentations de SU(6) dont la décomposition donne des supermultiplets de SU(3) à trialité nulle (ceci est possible, car SU(6) ne mélange jamais ceux-ci

à d'autres de trialité non nulle).

L'octet B et le décuplet A de baryons peuvent être

groupés dans la représentation de SU(6). Celle-ci comporte en effet un octet de spin

2

et un décuplet de spin

3.

La proximité des masses moyennes de ces deux multiplets de SU(3), qui a été soulignée plus haut, trouve donc ici une explication naturelle.

On a évidemment tenté d'écrire pour SU(6) des formules de masse reliant entre eux les membres d'un même supermultiplet. Les choses sont moins simples que dans le cas de SU(3), parce que le terme du hamil- tonien qui viole la symétrie ne semble pas avoir des propriétés de transformation dans SU(6) aussi simples que celles qui aboutissent à la formule de Gell-Mann- Okubo [26]. Cependant, on peut penser qu'il suffit d'ajouter à celle-ci un terme qui sépare les particules de mêmes nombres quantiques internes mais de spin J différent, c'est-à-dire qu'on est amené à essayer une formule simple de la forme :

Si on applique cette formule à la représentation baryonique

s,

on va bien sûr aboutir immédiatement

à la relation signalée plus haut entre l'espacement des membres du décuplet et les coefficients a, et b, trouvés dans l'octet. Plus précisément, les valeurs des différents paramètres sont :

M~~ = mA

-

$(m,*

-

m,)

=

1060 MeV

a S 6 = S(mN

-

mE) = a8

=

-

190 MeV

bS6 = $(mz

-

mA) = b8 c= 40 MeV ₍₃₂₎

c S 6 = +(mi*

-

m,) c= 70 MeV.

Si donc on se donne les masses des membres de l'octet (qui vérifient déjà la relation de Gell-Mann- Okubo) et celle du 8*, on peut calculer les constantes précédentes et en déduire :

m ~ , cz 1270 MeV (Valeur expérimentale : 1240 MeV)

my: cz 1400 MeV (

-

- 1385 MeV)

ma c= 1660 MeV (

-

- 1675 MeV)

(33) Dans le supermultiplet

3

des mésons, la même formule peut être valable pour les carrés des masses. Ainsi, outre la relation entre les masses des pseudo- scalaires déjà discutée à propos de SU(3), on obtient la masse commune du o, et du 9, avant mélange :

2 2 2

m,, = m:, = m,

+

m,, - m i E! 0,85 ( G ~ v ) ~ (34)

ce qui est tout à fait raisonnable, et la condition :

2 2 2 2

rnK*

-

rnK = mp

-

m, _{(3 5)} qui est bien vérifiée expérimentalement.

A part ces supermultiplets et

s,

aucune autre représentation de SU(6) n'a encore été identifiée dans la réalité. On peut même dire que les problèmes de classification des autres particules semblent nettement plus compliqués que pour SU(3) : d'abord, les repré- sentations de SU(6) ont des dimensions plus grandes que celles de SU(3), et un multiplet (( commencé ))

paraît a priori plus difficile à remplir ; de plus, comme, dans ce schéma, spin et nombres quantiques internes sont couplés, la découverte de particules à spin élevé entraîne la prédiction d'autres particules d'isospin ou d'hypercharge élevés. Par exemple, si l'on veut faire entrer le nonet de mésons tensoriels qui a été décrit plus haut dans une représentation de SU(6), il faut s'adresser à celles de dimension 189 ou 405 ; outre le grand nombre de particules dont on a alors besoin pour compléter de tels supermultiplets, leurs pro- priétés internes semblent devoir créer quelques diffi- cultés : 18q et 405 contiennent en particulier chacune deux décuplets, et respectivement une et trois repré- sentations

z.

Voyons enfin rapidement quelles sont, à part celles qui touchent à la classification des particules, les principales implications d'une symétrie approchée basée sur SU(6).

Tout d'abord, il y a cinq générateurs de SU(6) qui peuvent être diagonalisés simultanément ; si trois d'entre eux sont déjà connus (hypercharge, troisième composante de l'isospin et projection du spin sur Oz), il ne faudrait pas que les deux autres conduisent à des règles de sélection, puisque, comme cela a déjà été signalé plus haut, on aboutirait sinon à des conflits avec l'expérience. En fait, ces deux générateurs perdent leur forme diagonale quand on sépare les particules appartenant à une représentation de SU(6) en multi- plets de spin et supermultiplets de SU(3) [mathémati- quement, ceci se manifeste par le fait que les généra- teurs en question ne commutent pas en général avec les opérateurs de Casimir du sous-groupe

où SU(2) décrit le spin des particules et SU(3) leurs propriétés internes]. Par conséquent, on ne s'at- tend pas à ce qu'ils donnent lieu pratiquement à de nouvelles lois de conservation tant soit peu rigou- reuses.

SYMÉTRIES APPROXIMATIVES ET CLASSIFICATION DES PARTICULES C 4 - 3 5

donnent un état final de moment angulaire orbital

t

= 1, ce qui suffirait à les faire considérer, malgré la force des couplages correspondants, comme des mani- festations de la violation de SU(6). De telles difficultés ne sont en fait que des conséquences simples d'un défaut fondamental de la théorie « naïve )) de SU(6)

dont la description vient d'être ébauchée : il n'est pas possible de concilier cette théorie avec l'invariance relativiste, exacte pourtant, celle-là.

Pourtant, outre le fait (et beaucoup se refusent à le considérer comme fortuit) que les représentations

3

et fournissent un cadre satisfaisant aux mésons et baryons les plus légers, SU(6) a connu dès le début, même dans sa forme ((naïve », des succès remarquables, dont le plus frappant est sans doute la prédiction d'un rapport

-

213 entre les moments magnétiques du neutron et du proton.

Aussi un grand nombre de travaux ont-ils été consacrés à essayer de « réconcilier » SU(6) et le groupe de Lorentz [27], c'est-à-dire de formuler une théorie reproduisant les succès de SU(6) mais écartant ses difficultés. Il n'est pas question de discuter ici ces tentatives, d'autant plus qu'elles coïncident pratique- ment toutes en ce qui concerne la classification des mésons et baryons les plus légers. Contrairement à ce qu'ont pu faire croire certains cris de triomphe exagérés, la tâche est ardue, voire impossible sous la forme où elle a été présentée ici : seule une partie (correspondant à un sous-groupe du groupe initial) de la symétrie des particules au repos semble pouvoir survivre dans les processus colinéaires (vertex et diffusion vers Savant et l'arrière), et celle-ci est encore réduite quand on passe aux processus coplanaires, puis tridimensionnels.

Quant aux vérifications expérimentales de ces diverses versions de la théorie basée sur SU(6), si certaines prédictions, telles les relations de Johnson- Treiman [28] sont valables, la plupart d'entre elles semblent grossièrement inexactes, quelquefois par plus d'un ordre de grandeur. La situation concer- nant SU(6) est donc beaucoup moins claire encore que pour SU(3).

C. Le modèle des quarks.

-

Bien que les tentatives pour mettre expérimentalement en évidence l'existence des quarks en tant que particules aient jusqu'à présent toutes donné des résultats négatifs, il est intéressant, en particulier pour ce qui concerne la classification des hadrons, de considérer ces derniers comme effecti- vement composés d'un certain nombre de quarks et d'antiquarks [3]. L'étude de ce modèle des quarks a fourni quelques résultats assez surprenants, et il a été appliqué jusque dans l'analyse des réactions a très

haute énergie [29]. Il ne faut pas cependant se cacher que de nombreuses difficultés, dont certaines fonda- mentales, n'ont pu être résolues, jusqu'à présent du moins.

En principe, le modèle des quarks ne postule que l'invariance approximative par rapport à SU(3). En fait, cependant, il est assez intimement lié à SU(6) :

si, dans une première approximation grossière, l'inter- action entre quarks est indépendante du spin et du spin unitaire, on retrouvera les résultats les plus mar- quants de SU(6), et en particulier ses principaux succès. Toutefois, comme nous allons le voir, il existe des différences essentielles, notamment en ce qui concerne les mésons et les baryons autres que ceux

de et

3.

1) MÉso~s ET BARYONS LES PLUS LÉGERS. -

Comme dans SU(6) (voir ci-dessus), mais en considé- rant ici les quarks comme de véritables particules, on construit les premiers mésons comme des états liés d'un quark et un antiquark dans une onde S. La formule (29a) indique alors que l'on obtiendra un octet et un singulet à la fois pour les mésons pseudo- scalaires (état 'S,) et vectoriels (état 3S,). On a donc ici aussi les 36 mésons, avec cependant une différence :

on semble perdre a priori l'explication qualitative du comportement dissymétrique des mésons vectoriels et pseudoscalaires vis-à-vis du mélange des états

Y = I = O (voir plus loin).

Pour ce qui est des baryons appartenant à l'octet B et au décuplet A , on les construit & partir de trois quarks [voir formule (29b)l. Une difficulté apparaît cependant dans ce schéma. Pour simplifier la discussion, adoptons le langage de SU(6), qui est approprié ici puisque le moment angulaire orbital total du système des trois quarks est nul. Donc tout se passe comme si on considérait le produit, dans SU(6) :

nent caducs si les quarks ne sont pas de vrais fer- _{état de moment angulaire orbital total L} = 1 (et

mions [30]). beaucoup de celles qui sont connues ont effectivement

2) ETATS EXCITÉS. - C'est dans la classification de ces états que réside la principale différence entre le modèle des quarks et SU(6).

En effet, au lieu d'être obligé, comme dans SU(6), de considérer les mésons de masse plus élevée comme formés de deux ou plusieurs paires quark-antiquark, on peut ici supposer qu'ils correspondent toujours à

des états liés d'une seule de ces paires, mais dans un état de moment angulaire orbital non nul L.

Par exemple, pour L = 1, on obtient quatre nonets, dont on peut raisonnablement penser que l'interaction spin-orbite les séparera, et qui se placent dans les états 3P2, 3P1, 3P0 et 'Pl. Il est important de remar- quer que les propriétés de conjugaison de charge C des membres Y = 1 = O de ces nonets ne sont pas arbi- traires, mais doivent vérifier la relation

Les trois premiers des nonets précédents ont donc C =

+

1 et le dernier C = - 1. Quant à la parité de ces mésons, (- l)L" l, elle est positive.

Le nonet 3P2 peut alors être identifié avec celui des mésons tensoriels qui a été mentionné à propos de SU(3). Pour les autres, il est impossible de se pro- noncer de façon claire, et nous n'entrerons pas ici dans une discussion détaillée.

L'avantage du modèle des quarks est donc que, bien que cette hardiesse puisse lui être fatale, il fournit des prédictions bien définies sur les états mésoniques supérieurs : ils doivent tous former des nonets et correspondre aux excitations successives du moment angulaire orbital L. Bien sûr, on ne rejette pas complè- tement la possibilité de rencontrer à un certain niveau des combinaisons de deux quarks et deux antiquarks, mais on aimerait que ce deuxième mécanisme d'exci- tation n'entre en jeu que haut dans l'échelle des masses. La différence entre les deux modes en question est bien sûr que le second, qui est le seul à apparaître dans SU(6), fournirait des supermultiplets de dimen- sion 10 et 27. D'où l'importance d'une étude serrée de résonances telles que celles qui semblent se montrer dans le système K + K + ou dans l'état 1 =

3

de l'ensemble (Km) : si elles existent vraiment, elles obligeront à « ouvrir » des multiplets

a

ou o.

Pour la classification des états baryoniques supé- rieurs, on a a priori le choix entre la représentation

8

de SU(6) (voir formule (37)) et un mécanisme analogue

à celui qui vient d'être décrit pour les mésons. L'avan- tage de ce dernier est de prédire une parité négative pour les résonances formées de trois quarks dans un

cette propriété) et de faire immédiatement une place à

celles, comme le

~f

(1 674 MeV) et le Y; (1 765 MeV) qui ont JP =

4-

(dans SU(6), il faudrait commencer pour elles un autre supermultiplet). Bien entendu, L = 2 fournira la possibilité de classer les particules à

parité positive.

Peut-être convient-il de remarquer que, même si 1'01-1 s'en tient aux valeurs faibles de L, le nombre des particules prédites est énorme : nous avons vu plus haut que le système quark-antiquark dans une onde P fournit quatre nonets ; avec un ensemble de trois quarks dans un état L = 2 analogue à celui qui corres- pond à

3

pour L = O, on obtient quatre décuplets de

+ + -t

propriétés spatiales respectives JP =

_,

_$

_,

_$+

_et

et deux octets ( J ~ =

4'

et $+). L'avantage sur SU(6) est cependant que des spins élevés ne doivent pas forcément être accompagnés d'isospins et d'hyper- charges élevés.

3) FORMULES DE MASSE. - Le modèle des quarks est en principe, et pourrait éventuellement devenir en pratique, un modèle dynamique. Par conséquent, on peut espérer, en étudiant l'interaction entre quarks, obtenir au moins l'ordre dans lequel doivent se pré- senter, dans l'échelle des masses, les divers multiplets prédits. En fait, on n'a jusqu'à présent pas réussi à

trouver de théorie satisfaisante qui fournisse même ces renseignements qualitatifs (voir plus bas).

A côté de cette possibilité, le modèle des quarks

suggère que les différences de masse entre particules ordinaires appartenant au même supermultiplet pour- raient avoir leur origine essentielle dans le fait que le quark

A,

c'est-à-dire celui qui a un isospin nul, serait plus lourd que ses deux partenaires, qui forment un doublet d'isospin. Naturellement, il ne faut pas s'attendre à ce que cette explication soit parfaite, car il y a beaucoup d'autres mécanismes qui peuvent entrer en jeu. Examinons toutefois, rapidement, les conséquences d'une telle hypothèse.

Tout d'abord, il convient de remarquer que la vio- lation de SU(3) correspondante (qui serait décrite par un terme iI/n dans le hamiltonien) se transforme

comme le centre d'un octet, puisque les seules repré- sentations présentes dans le produit

3

x

3

sont

'

et 8 (cf. formule (29a)), et qu'un terme se transformant comme le scalaire

1

conserve SU(3). La formule de masse de Gell-Mann-Okubo va donc être directement valable dans ce schéma.