Interprétation des effets irréversibles des contraintes au moyen d'un modèle d'hystérésis dans l'espace

HAL Id: jpa-00206448

https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00206448

Submitted on 1 Jan 1966

HAL

is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire

HAL, est

destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Interprétation des effets irréversibles des contraintes au moyen d’un modèle d’hystérésis dans l’espace

L. Brugel, G. Rimet

To cite this version:

L. Brugel, G. Rimet. Interprétation des effets irréversibles des contraintes au moyen d’un modèle d’hystérésis dans l’espace. Journal de Physique, 1966, 27 (9-10), pp.589-598.

�10.1051/jphys:01966002709-10058900�. �jpa-00206448�

589.

INTERPRÉTATION

DES EFFETS

IRRÉVERSIBLES

DES CONTRAINTES AU MOYEN D’UN

MODÈLE D’HYSTÉRÉSIS

DANS L’ESPACE

Par L. BRUGEL et G.

RIMET,

Laboratoire de

Physique Industrielle,

^Institut

Polytechnique,

^Grenoble.

Résumé.- Un modèle tridimensionnel de

l’hystérésis magnétique,

^{dû à L.}

Néel,

^associé

à la notion de

champ

^fictif

équivalent

^{à une} contrainte

(W.

^F.

Brown),

permet

d’interpréter

de

façon

satisfaisante l’action des tensions

mécaniques

^sur l’aimantation. Ce modèle ^est utilisé _pour

calculer,

^{dans le} domaine de

Rayleigh,

^{les effets} consécutifs à

l’application

^{et à}

la

suppression

^de

champs

^et de contraintes.

Abstract. ²⁰¹⁴ A three-dimensional model of

magnetic hysteresis,

^{due to L.}

Néel, together

with the notion of a fictitious

magnetic

^field

equivalent

^{to a strain}

(W.

^F.

Brown) gives

^a

satisfactory interpretation

^{of the} action of mechanical strains on the

magnetisation.

^This

model is used to

calculate,

^{in the}

Rayleigh region,

^{the effects}

produced by

^the

application of,

and

by

^the

suppression of, magnetic

fields and strains.

LE JOURNAL DE PHYSIQUE TOME 27, SEPTEMBRE-OCTOBRE 1966,

Les

propriétés magnétiques

des substances ferro-

magnétiques

^sont fortement affectées _par les con-

traintes

qu’elles subissent,

^{à tel}

point

^{que ces der-}

nières se

placent parmi

les facteurs

principaux qui agissent

^sur l’aimantation. Ces effets sont connus de

longue date,

^{mais ce n’est} que récemment que W. F. Brown

[1]

^{en donnait une}

interprétation

^dans

le domaine de

Rayleigh

par l’introduction d’un

champ

^fictif

équivalent

^à la contrainte. En 1959

[2],

L. Néel

exposait

^{un schéma}

d’hystérésis

^{dans l’es-}

pace

permettant

^{de mieux}

comprendre quantita-

tivement un

grand

^{nombre de}

phénomènes magné- tiques : susceptibilités transversales, traînage

^de

fluctuations

thermiques, reptations longitudinales

^et

transversales,

^effets irréversibles des contraintes.

Ces conférences

n’ayant jamais

^été

publiées

^{et de}

nombreux résultats

expérimentaux

^{relatifs aux con-}

traintes recevant une

explication

satisfaisante dans

ce

schéma,

^nous extrayons de l’ensemble l’étude des contraintes et les

généralités

nécessaires à la

compré-

hension de celle-ci. Le

principe

^{de cette étude est}

ensuite

appliqué

^au calcul des effets

magnétiques

^dus

à

l’application

^{et à la}

suppression

^de

champs

^{et de}

contraintes dans tout le domaine de

Rayleigh, quels

que soient les ordres de

grandeur

relatifs de ces

facteurs.

L’HYSTÊRËSIS

DANS L’ESPACE

I. Le modèle

d’hystérésis

^dans

l’espace.

^{- Les}

schémas

d’hystérésis

^les

plus fréquemment

^utilisés

sont unidirectionnels. Ils supposent que le

champ agissant

^{a la même valeur sur toutes les}

parois

^{et ne}

déterminent

qu’une

aimantation axiale dans la direction du

champ appliqué.

^Un

pareil

^{modèle ne}

correspond généralement

pas ^à la réalité

physique,

les

expériences

^{étant souvent faites sur des} corps

polycristallins

dont les cristallites élémentaires sont

répartis

^dans

l’espace

^de

façon

aléatoire. Par

ailleurs,

^un modèle uniaxial est

impuissant

^{à rendre}

compte ^des

phénomènes

^observés

lorsque

^les para- mètres

appliqués

^{et mesurés ne sont}

plus

colinéaires.

Il semble utile ^de tenir compte ^de l’orientation des aimantations

spontanées

^{des domaines}

élémentaires,

ce que fait le modèle

d’hystérésis

que ^nous exposons.

10

ÉTUDE

^DU MODÈLE. ^- On sait _que les do- maines élémentaires de _corps

ferromagnétiques

pos- sèdent une aimantation

spontanée égale

^{à l’aiman-}

tation à saturation

J..

^{Du fait de}

l’anisotropie

^ma-

gnétocristalline,

^ces

aimantations,

^{en l’absence de}

champ magnétique

^et de contrainte sont orientées selon les axes de facile aimantation du cristal.

Dans les

champs

^{faibles la variation macrosco-}

pique

d’aimantation est due _presque

uniquement

^au

déplacement

^des

parois séparant

^{les domaines élé-}

mentaires

(parois

^de

Bloch).

^On peut

considérer,

^en

effet,

que les aimantations

spontanées

^{ne subissent}

aucune rotation tant que

l’énergie

^de

champ

^est

faible _par

rapport

^à

l’énergie magnétocristalline.

Dans le cas du fer _par

exemple,

^{cette rotation reste}

inférieure à 3~ dans des

champs

^ne

dépassant

pas 10 oersteds. Dans ces

conditions,

^les

cycles d’hysté-

résis observés sont attribuables ^à des

déplacements

irréversibles de

parois.

Considérons une

paroi

^{de Bloch}

séparant

^deux

domaines dont les aimantations sont

J,

^et

J2,

^sou-

mise à un

champ magnétique

^H.

L’énergie magné- tostatique

^{de l’un des domaines}

s’exprime

par

- $ . Jl,

^{celle de l’autre} par ^-

H . J2.

^{Si la}

paroi

^se

déplace

^sous l’influence du

champ H,

^en augmentant le volume du domaine

2, l’énergie

totale varie

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01966002709-10058900

de On peut ^{définir un vecteur} P ⁼

J2

^-

JI qui

caractérise la

paroi

considérée du

point

^{de vue}

magnétique.

^En

^effet,

l’action d’un

champ

^{sur une}

paroi

^ne

dépend

^{que de la}

projection

de ce

champ

^{sur la directeur du vecteur P. Cette}

projection

^{est dite «}

champ

efficace » h. La direction du vecteur P est dite ^« direction de

polarisation

^».

Lorsque

^la

paroi

^se

déplace,

elle provoque ^une variation du moment

magnétique global

^{des deux}

domaines,

pouvant ^se

représenter

par ^une variation d’aimantation

I1Jp

^{selon la} direction P. On _suppose

en outre que ^est relié à h _par les lois de

Rayleigh.

Cette

hypothèse

^{ne nécessite en rien la validité}

exacte des lois de

Rayleigh

pour ^une

paroi isolée ;

elle nécessite seulement _que ces lois soient valables

en moyenne pour ^une infinité de telles

parois.

^Dans

ces

conditions,

pour la

première aimantation, après

désaimantation dans un

champ magnétique

alternatif décroissant lentement

jusqu’à zéro,

^et

.,

>

pour la branche descendante du

cycle

^{de recul}

correspondant

^{à des}

champs

décroissants à

partir

d’un

champ

^maximal

^hm (- hm

^h

hm). a

^{et b}

sont les coefficients de

Rayleigh

^{relatifs à l’unité de}

surface de la

paroi.

L’aimantation

macroscopique

^du

corps selon une direction s’obtient ^en calculant la contribution totale des

projections

^des aimantations élémentaires

ilJ p

^{de toutes les}

parois.

20 HYPOTHÈSES. ^- Le calcul nécessite les

hypo-

thèses suivantes :

- la substance est

polycristalline

^et

isotrope,

- les vecteurs P ont une

répartition isotrope

dans

l’espace,

- le

système

^contient

beaucoup

^de

parois

^{et leur}

surface est

indépendante

^{de son état}

magnétique,

- les variations d’aimantation ne se

produisent

que par

déplacements

^{de ces}

parois (la

^direction

d’un vecteur P est

indépendante

de l’état

magné- tique),

- les coefficients _{moyens de}

Rayleigh

^{selon une}

direction de

polarisation

^{sont les mêmes}

quelle

que soit la nature de la

paroi.

II.

Applications.

^{- 1.} COEFFICIENTS MACROSCO- PIQUES ^{DES LOIS DE} RAYLEIGH. ^- Soit une

paroi

définie _par ^sa direction de

polarisation

^{P et soumise}

à un

champ

^H

(fig. 1).

Le

champ

^{efficace ayant} la valeur h ⁼ H cos p, l’aimantation

correspondante s’exprime

par :

et sa

projection

^{sur H par :}

FIG. 1.

qui

^{se somme dans}

l’espace

^en remarquant que

0

cp

7t/2 puisqu’on

^est libre du choix de

J2

^et

de

Jl,

^{on obtient :}

On peut ^noter que pour

l’intégration

^{on ne consi-}

dère

qu’une

seule infinité de direction

P,

l’action du

champ

^{sur les}

parois

^ne

dépendant

pas de leur

nature. On constate un rapport ^{3 et 4 entre les} coefficients de

Rayleigh macroscopiques

^{et élémen-}

taires. Cette relation permet ^{de connaître}

expéri-

mentalement les valeurs de a et b.

2. INFLUENCE DES CONTRAINTES. ^- La division en

domaines élémentaires des _corps

ferromagnétiques

résulte de l’existence de différentes

énergies.

^La

configuration d’équilibre

^{stable est obtenue}

lorsque

la somme de ces

énergies

^est minimale. Parmi celles-ci se trouve

l’énergie magnétoélastique

^liée

aux contraintes et à la

magnétostriction. Quand

cette dernière est

isotrope, l’énergie magnétoélas- tique

peut ^{s’écrire :}

,

~

^étant

l’angle

^{formé par} la direction de contrainte

et la direction de l’aimantation

spontanée.

Considérons alors une

paroi séparant

^deux

domaines dont les aimantations

spontanées Ji

^et

J2

font les

angles ~1

^et

~2

^{avec 6,} direction de con-

trainte

(fig. 2).

^Les

déplacements

d’une telle

paroi engendrent

^{une variation}

d’énergie

par unité de volume

balayé.

^{Cette variation est}

nulle si

J,

^et

J2

^{sont à}

1800 ;

pour tout autre

angle

de

J,

^et

J2 le déplacement

provoque ^une variation de

l’énergie globale.

Soit alors le vecteur

polarisation

P ⁼

J2

^-

J,

^{et un vecteur N tel} que N ⁼

J2

+

Jl

(fig. 3). Quel

que soit

l’angle

^formé par

J2

^et

Jl,

591

FIG. 2.

P et N sont

orthogonaux (module

^de

d2

^{= module}

de

JI

⁼

J~).

^Si p ^est

l’angle

^formé par P ^et 6,

cp’

^est

l’angle

^{de N et 6,}

Fig. 3

ú

représentant l’angle

que forment

J,

^et

J2,

il s’ensuit _que

et la variation

d’énergie produite

par le

déplacement

de la

paroi s’exprime

^par

OF ^{= -}

3Às

^a

Isin ~l

^{cos cp cos}

c~’.

On peut ^alors introduire un

champ magnétique fictif t,

^{orienté selon}

P,

tel que, s’il

agissait

^{sur la}

paroi,

^{la variation}

d’énergie engendrée

par le

dépla-

cement de celle-ci soit la même que dans le ^cas d’une contrainte

On peut

remplacer

^la contrainte _par ce

champ

fictif de valeur

Dans le cas où

l’angle

^des aimantations _spon- tanées est de

900,

Dans les corps

cubiques anisotropes,

^{dont les axes}

100 sont de facile

aimantation,

^on peut ^montrer que

l’énergie magnétoélastique

^est sensiblement

égale

^à

si la constante

d’anisotropie

^est

grande

^{et les con-}

traintes relativement faibles. Dans ces

conditions,

les aimantations des domaines élémentaires restent

en effet

pratiquement dirigées

^{selon les axes de}

facile aimantation.

L’angle

^{formé par}

J2

^et

Jl,

peut

être

égal

^{soit à 1800 soit à 900. Dans le}

premier

^cas

la contrainte _{n’a pas} d’action sur la

paroi,

^{dans le}

second,

^le

champ équivalent

de contrainte

s’exprime

par :

Dans les corps

cubiques,

tels que le

fer,

^{on divise}

ainsi les

parois

^{de Bloch en}

parois

^{à 180~ et}

parois

à 90~. Nous

appellerons

^{A les}

parois

^à

^1800,

^leur

surface relative étant

désignée

par ^son rapport ^{oc à la} surface totale des

parois.

^{Nous avons vu} que ^ces

parois

^sont insensibles aux

contraintes ;

^{seul le}

champ magnétique

^{les influence.}

Sur les

parois

^à 900 l’effet des contraintes

dépend

de l’orientation relative des aimantations

Jl, J2

^et

de la direction de la contrainte. Une

paroi

^étant

définie

magnétiquement

par les deux ^vecteurs P

et

N,

pour ^{un même vecteur}

P,

^le

champ équivalent

de contrainte t ⁼ W cos cp cos

cp’

^{est du}

signe

^de

W cos p

quand

^-

?r/2 cp’ 7t /2,

^de

signe

^inverse

dans les autres cas. On peut ^{donc diviser les}

parois

à 900 en deux groupes B ^et

C,

^{de surfaces}

relatives p

et y, selon _{que la} contrainte les influence comme un

champ

^«

positif »

^{ou comme un}

champ

^«

négatif

^».

L’aimantation

macroscopique

^d’une

substance,

résultant du

déplacement

^{de toutes les}

parois, est

donnée _par

Le calcul s’effectue en déterminant les effets des

champs

^{et des} contraintes sur

chaque paroi

^{et en}

effectuant leur somme.

A titre

d’exemple

^est traité le calcul de l’action d’une contrainte forte

appliquée postérieurement

^à

un

champ

^{faible sur un} échantillon

désaimanté,

^en

admettant _{que le}

champ équivalent

^de contrainte t

est

toujours supérieur

^à deux fois le

champ

^{efficace h}

(pratiquement

^{W »}

H).

Par unité de surface des

parois B,

la variation irréversible d’aimantation selon P

s’exprime

par

b(t

⁺

h)2,

pour les

parois

^C

par

b(t - h)2 (fig. 4).

^Désirant l’aimantation dans

une direction

donnée,

^on

prendra

la moyenne de ^ces

quantités

^{selon cette direction pour tous les vec-}

teurs P et N

possibles.

^{Notons les résultats}

surlignés

c’est-à-dire

b(t

⁺

h)2

^et

b(t

^-

h)2.

^{Pour l’ensemble}

des

parois

B la variation irréversible est ainsi

FIG. 4.

pb(t

⁺

h)2,

pour l’ensemble des

parois ^C, yb(t

^-

h)2

et l’effet

global

^{est donc}

Un cas

particulièrement important

^{est celui}

où ~

est

égal

à y, c’est-à-dire

Généralement,

^en

effet,

^la

répartition

^{des vec-}

teurs

J,

^et

J2

^{peut être} considérée comme

isotrope

ainsi _que celle des vecteurs P et N. Dans ces condi-

tions,

^la

probabilité

^{de trouver cos}

cp’ positif

^est

égale

^{à celle de le trouver}

négatif.

^De

plus,

^en

l’absence de

champs

^{et de}

contraintes,

^{rien ne liffé-}

renciant les

parois

^des types ^{B et}

C,

^les

coefficients ~

et y

peuvent

^être considérés comme

égaux.

^Autre-

ment dit à toute

paroi

^du

type

^«

positif »

^{B corres-}

pond

^une

paroi

^du type ^«

négatif »

^{C. On} peut ^alors traiter

globalement

^les

parois

^à

90~,

réunies deux à deux en

parois associés,

^{et écrire}

Dans

l’exemple précédent

^{on écrira ainsi que}

l’action ^sur deux

parois

^{associées vaut}

et sur l’ensemble de la substance

Quoiqu’il

^{en soit le}

problème

^{revient à calculer la}

valeur _moyenne de la

projection du,produit

^{ht. Inté-}

grons

d’abord,

pour P

donné,

^{selon toutes les direc-}

tions N. On choisit un triède de référence tel _que l’axe des x soit

dirigé

^{selon le vecteur}

polarisation

^P

et que le

plan

^{xoz contienne} la direction des con-

traintes ^a

(fig. 5).

^Les composantes unitaires ^des différents vecteurs sur les axes sont donc :

FIG. 5.

La valeur du

champ

^efficace

agissant

^{sur la}

paroi

est h ⁼

uH,

^le

champ équivalent

^de contrainte est t ⁼ W cos cp sin _{p cos p.}

La valeur moyenne de

ht,

^selon

P,

pour ^tous les

vecteurs N est

_ - 1-

, ..

Pour

intégrer

selon les différentes orientations de

P,

effectuons un

changement

d’axe tel _que ox

soit

dirigé

^{selon 6 et} que H soit dans le

plan

^xoz,

w étant

l’angle

^formé par H et a

(fig. 6).

^{P est}

défini _par son

angle polaire

cp ^{et son} azimut À. Les composantes ^des différents vecteurs sont mainte-

nant :

Cherchant la valeur moyenne de ht selon ^ox c’est-à-dire _{a ;} ^on doit calculer

593 et l’on trouve

ht

selon 6 ⁼ cos co.

Finalement la variation irréversible d’aimantation

parallèlement

^à la direction de contrainte est

égale

^à

AJ selon a ⁼

(16

^{cos ~.}

De la même

façon

^on trouverait _que la variation irréversible d’aimantation

perpendiculairement

^{à la}

direction de la contrainte est

AJ

perpendiculaire

^{à a = sin co.}

Les autres processus de variations d’aimantation

sous l’influence de

champs

^{et de} contraintes peuvent

se traiter de

façons analogues.

Si les lois d’aiman- tation des

parois

^{sont les lois de}

Rayleigh

^{et si les}

coefficients g

^et y ^sont

égaux,

^{on constate} que les contraintes ^ne

produisent

^{aucuns effets} réversibles.

Ceux-ci se compensent ^{deux à deux sur les}

parois

associées.

Quant

^{aux effets}

irréversibles,

^ils

dépen-

dent essentiellement de l’ordre

d’application

^{ou de}

suppression

^{des facteurs et de} leurs valeurs relatives.

Dans les conditions

expérimentales

habituelles la contrainte est souvent colinéaire au

champ.

^{Ce cas}

particulièrement important

^{conduit à des calculs}

plus simples

^{que ceux du cas}

général.

Nous allons le traiter entièrement dans le

chapitre qui

^suit.

EFFETS

IRRÉVERSIBLES

DE CHAMPS ET DE CONTRAINTES

COLINÉAIRES

L’effet d’une contrainte colinéaire ^au

champ dépend essentiellement,

^{comme dans le cas}

général,

de l’ordre

d’application

^des différents facteurs. Pour

définir,

^sans

ambiguïté,

^les processus

opératoires,

nous utiliserons des

sigles

consistant en des séries de

majuscules P

^{et H}

placées

^{dans l’ordre des}

opéra-

tions

successives, application

^ou

suppression.

^Les

traitements sont

supposés s’appliquer

^{à une subs-}

tance

préalablement

désaimantée _par un

champ

alternatif lentement décroissant

jusqu’à

^{une valeur}

nulle. Dans le ^cas où cette désaimantation

s’opère-

rait sous

champ

^ou contrainte externes, les ^lettres

du

sigle

^seraient

précédées

par la ou les

majuscules soulignées correspondant

^{à ces}

facteurs, H,

^P.

Ainsi,

^le

sigle

^HPH

correspond

^{à une désaiman-}

tation sous

champ

^{nul et} contrainte nulle suivie de

l’application

^du

champ ^H, puis

^{de la} contrainte P

et terminée _par la

suppression

^du

champ

^H.

Pour déterminer l’influence d’un traitement sur une

substance,

^nous

remplacerons,

pour

chaque paroi,

^la contrainte _par son

champ

^fictif

équivalent

et nous calculerons l’effet

magnétique

élémentaire selon la direction de

polarisation

P. L’aimantation

macroscopique

selon la direction du

champ

^{et de}

TABLEAU 1

AIMANTATIONS ÉLÉMENTAIRES SELON LA DIRECTION DE POLARISATION P

594

la contrainte s’obtiendra en faisant la _moyenne des

projections

^{de ces effets sur cette direction.}

En

application,

^nous fournissons les résultats de

ces calculs

quand

^{l’un des}

facteurs, champ

^ou

contrainte, varie,

^l’autre conservant une valeur constante.

I. Calcul de l’effet élémentaire selon la direction de

polarisation

^{P. - Les}

hypothèses

de calcul sont

les mêmes que dans le ^cas

général.

^{On admet que}

l’aimantation selon P obéit ^aux lois de

Rayleigh quel

que soit le type ^de

paroi,

^{et on associe à une}

paroi

^de type ^{B la}

paroi correspondante

^de type

C,

~ désignant

la surface relative commune de ces deux types ^de

parois.

^En étudiant l’action du traitement

sur les

parois

^{à 90~ et à}

^1800,

^{on peut établir le}

tableau 1 ci-dessus. On constate que la forme des

expressions

donnant les variations d’aimantations élémentaires dans la direction de

P,

pour deux

parois associées,

diffère selon _que le

champ équivalent

^de

contraintes est

supérieur

^{ou inférieur à une valeur}

critique.

Le tableau 1 se

simplifie lorsqu’on

compare l’aimantation obtenue à l’aimantation

qu’aurait prise

la substance dans un processus

expérimental

^ne

comportant ^aucune

application

^ou

suppression

^de

TABLEAU II

VARIATIONS ÉLÉMENTAIRES D’AIMANTATION SELON LA DIRECTION DE POLARISATION P

contrainte. Les résultats

précédents

^se transforment alors _par différence avec les aimantations nor-

males H et HH. Il en résulte le tableau II.

II. Calcul de l’effet

macroscopique

selon la direc, tion

champ~.contrainte.

^‘ 1. MÉTHODE DE CALCUL.

- La contrainte étant colinéaire au

champ,

^le

calcul de la valeur _moyenne des

projections

^selon

H - 6 des aimantations élémentaires selon P s’effectue en utilisant un seul

système

^{d’axes :}

l’axe ox sera

dirigé

^{selon H et a, le vecteur P étant}

dans le

plan

^xoy

(fig. 7).

^{Dans ces}

conditions,

^le

vecteur N fait

l’angle

^{0 avec le}

plan

^{xoy et les} compo- santes unitaires sur les axes des différents vecteurs sont :

FIG. 7.

Les

champs agissant

^{sur une}

paroi

^{ont pour}

expression

h ⁼ H cos Q ^{et t =} W sin _p cos cp ^cos 0

595

W ayant

^{la même} valeur que dans le

chapitre

^{I soit}

pour les corps

cubiques

^{dont les axes 100 sont de}

facile aimantation.

Lorsque

^la variation d’aimantation élémentaire selon P est

représentée

par ^une fonction

unique 6),

la variation _moyenne d’aimantation macros-

copique

^dans la direction H - 6

s’exprime

par

La constante

2 jn provient

^{de la}

pondération

^de

l’intégrale

^{en p et en 0. Il en sera de même dans les}

expressions qui

^{suivent. La fonction}

0)

^{est l’une}

de celles

figurant

^dans les tableaux I ou

II,

^{h et t} ayant les valeurs

précédentes.

^La sommation revient à

intégrer fi(p, 0)

^sin p cos p en p ^{et en} 0 dans le domaine

(D)

^défini par la

figure

^8.

FIG. 8.

2. DOMAINE D’INTÉGRATION. ^-

Lorsque

^{la varia-}

tion d’aimantation élémentaire selon P

(tableaux

¹

et

II)

^ne

s’exprime plus

par ^une fonction

unique,

^il

faut

distinguer

^{deux cas selon que le}

champ

^{t est}

inférieur ou

supérieur

^au

champ critique -1h.

^La

variation d’aimantation est

représentée

^{par une}

fonction

/i(p, 0)

^{si t}

-1h,

par ^une fonction

0)

si t >

-1h.

Macroscopiquement

le calcul diffère suivant les ordres de

grandeurs

^{relatifs de W et de}

- Si W

YJH,

^{t est inférieur à}

qh quelles

^que

soient les valeurs de cp ^et 0. La variation _moyenne dans la direction H - 6 s’obtient

simplement

^en

intégrant

^{dans tout} le domaine

(D)

^défini

précé-

demment et :

- Si W >

7]77,

^{t est inférieur à}

YJh

pour certaines

parois ;

^{il lui est}

supérieur

pour les ^autres. La varia- tion d’aimantation des

premières s’exprime

par

0),

celle des secondes _par

/2(y, 6).

^{Le domaine}

d’intégration

^{se divise donc en deux}

parties

^{I et II}

représentées

^{sur la}

figure

^{9 et limitées} par

l’hyper-

bole

équilatère

FIG. 9.

Dans le domaine

I,

^{t est inférieur à}

"1Jh,

^{dans le}

domaine

II, t

^est

supérieur

^à

"1Jh.

L’aimantation

macroscopique

moyenne ^est

égale

^à la moyenne pon- dérée des

projections

^{selon H des} aimantations dues

aux

parois

de chacune de ces deux

catégories :

La seconde

intégrale

^s’écrit

tandis _{que la}

première

^se

décompose

^en

où

61

^est défini par

3. EFFET MACROSCOPIQUE : RÉSULTATS. ^-

Lorsque

les

parois

^{obéissent aux lois de}

Rayleigh, 0)

et

f 2( CP, 0)

^{sont des fonctions}

simples

^de

h2, ht,

^t2.

Calculons les

intégrales précédentes

^{de ces}

quantités

élémentaires et

désignons-les

par des

majuscules

ayant ^en indice la limite

supérieure d’intégration

en 0. Elles

s’explicitent

^{de la}

^façon

^{suivante :}

Le calcul de ^ces

intégrales,

dans les différentes

parties

du domaine

(D),

^ne

présente

pas de dilfi- cultés

majeures.

^En posant p ^{= et en} intro- duisant les trois fonctions auxiliaires :

Les effets

magnétiques

consécutifs aux divers processus

opératoires s’expriment

par l’association des fonctions

précédentes multipliées

^chacune par le coefficient

affectant,

^{dans le tableau}

II, l’expres-

sion

h2, ht, t2

^{dont elle est issue.}

A titre

d’exemple

^{traitons le} processus HP - H

lorsque

^le

champ équivalent

de contrainte W est

supérieur

^{à deux fois le}

champ appliqué

^----

2).

Il faut utiliser la formule

générale (1)

du para-

graphe

²

qui

contient deux

intégrales

doubles des fonctions

/i(p, e)

^et

/2(Y, 8) .

^{Dans notre cas}

dans le domaine

II,

la relation

(2)

^devient

dans le domaine

I,

^la différence des deux inté-

grales (3)

^s’écrit

TABLEAU III

VARIATIONS MACROSCOPIQUES D’AIMANTATION DANS LA DIRECTION CHAMP-CONTRAINTE

597 Les variations d’aimantation

correspondant

^aux

autres processus ^sont obtenues par des calculs

analogues.

Les résultats sont rassemblés dans le tableau III.

Le calcul

numérique

^{des fonctions}

F,, F2, F3

^ne

comporte ^aucune

difficulté ;

^{on se fera une idée de}

leur variation en fonction de _p avec les courbes de la

figure

^10.

4. APPLICATIONS. ^- Les résultats obtenus et

reportés

^sur le tableau

précédent dépendent

^des

deux

paramètres

^{H et W. Il est difficile à}

première

vue d’en déduire l’allure et l’ordre de

grandeur

^des

variations d’aimantation liées à l’un des _processus

FIG. 10. ^- Variations des fonctions auxiliaires

Fl, F15 Fo.

opératoires.

^{Nous avons}

^calculés,

^{pour cette}

^raison,

ces effets en

supposant

que l’un des

paramètres

^reste

constant,

l’autre apparaissant

^{sous forme de variable}

réduite. Les résultats

peuvent

^{ainsi se}

représenter graphiquement.

D’ailleurs dans toute étude

expérimentale

^on

opère

commodément dans ces conditions et les

FIG. 11. ^- Variations d’aimantation à

champ

^constant.

courbes

qui figurent plus

^{loin sont} directement

exploitables.

Variations d’aimantations en

Jonction

^{de la con-}

trainte à

champ

^{constant. - On}

exprime

^{les variations}

d’aimantation _par rapport ^{au facteur}

4pBH2/152r.

Les courbes des

figures

^{1~ et 12 les}

représentent

^en

fonction de la variable réduite pour les divers processus

opératoires.

, , 1 1 1

FIG. 12. ^- Variations d’aimantation à

champ

^constant.

Variation d’aimantation en

fonction

^du

champ

^à

contrainte constante. ^- De

façon analogue,

^on

exprime

les variations d’aimantation _par rapport

à

4~ bW2 ~15n.

Les courbes des

figures

^{13 et 14 les}

représentent

^en fonction de la variable réduite

H jW.

FIG. 13. ^- Variations d’aimantation à contrainte constante.

598

FIG. 14. ^- Variations d’aimantation à contrainte constante.

CONCLUSION

L’observation des tableaux II et III et des courbes de variation d’aimantation

correspondantes

montre

qu’un

^{certain nombre de} processus

opéra- toires, a priori différents,

conduisent à des effets

théoriques identiques.

^C’est par

exemple

^{le cas des}

traitements

HP, HPP,

^{PHP d’une} part,

HPPH, HPH,

PHPH d’autre part,

lorsque

^le

champ appli- qué

^est

supérieur

^au,

champ

^maximal

équivalent

^de

contrainte. Ces résultats sont

intéressants,

^entre

autres, parce

qu’ils

^{offrent un} moyen commode de vérifier

expérimentalement

les limites de validité du schéma des

parois, postulant l’équivalence

^{de l’effet}

d’une contrainte et d’un

champ magnétique

^fictif.

Le modèle de

l’hystérésis

^dans

l’espace,

^{dû à}

L.

Néel,

^tenant compte ^{de la}

configuration physique

des corps

polycristallins,

permet ^de

compléter

^utile-

ment le schéma de W. F. Brown. Non seulement il fournit l’allure

qualitative

^des différents effets mais

en

prévoit

^{les ordres de}

grandeur

^de

façon

^{très satis-}

faisante. C’est ce que ^{montrent un} certain nombre d’études

expérimentales déjà publiées [3], [4],

^ou

sur le

point

^{de l’être}

[6],[7].

Il est

essentiel, cependant,

^{de ne pas} trop ^s’écarter des

hypothèses

^{de base}

qui

^{nous ont}

permis

^de

mener à bien les

calculs ;

^en

particulier

^les

expé-

riences doivent s’effectuer dans des domaines de

champs

^{et de} contraintes faibles. On

s’aperçoit,

^en

effet,

que les variations d’aimantation consécutives à des contraintes fortes n’ont

plus,

^en

général,

^les

allures

prévues.

^D’une

part,

^les

hypothèses

^{de base}

ne sont

plus vérifiées,

^d’autre part, ^{il semble} que des

phénomènes

^{nouveaux viennent se} superposer ^à

ceux que nous avons admis

[5].

Nous avons tout au

long

^{de notre}

exposé

^{utilisé le}

terme de contraintes _{sans, à} aucun moment,

préciser

s’il

s’agissait

^{de traction ou de}

compression.

^La

raison en est la suivante. Une contrainte

n’agit

^dans

le modèle que ^sur les

parois

^{à 90° et} nous avons

associé ces

parois

^{deux à} deux selon _{que la} contrainte les influence comme un

champ positif

^ou

négatif.

Dès

lors,

l’effet d’une

traction,

disons d’une con-

trainte

positive,

^{doit être}

identique

^à l’effet d’une

compression,

c’est-à-dire d’une contrainte

négative.

Il

s’agit

^{en somme de la}

permutation

^{des rôles des}

parois

^des types ^{B et C. La} vérification

expérimen-

tale de ce résultat est délicate car la mise en oeuvre

de

compressions s’accompagne

^de difficultés tech-

niques.

^{Nous avons}

cependant

^{pu montrer que}

l’égalité

^{des actions de traction et de}

compression

est vraisemblable

[7].

Manuscrit _reçu le 31 mars 1966.

BIBLIOGRAPHIE

[1]

^BROWN

(W. F.), Phys. Rev., 1949, 75, 147.

[2]

^NÉEL

(L.),

Conférence 3e

cycle, Grenoble, 1959.

[3]

^BRUGEL

(L.), Thèse, Grenoble, 1964.

[4]

^BRUGEL

^(L.)

^{et RIMET}

(G.),

^{C. R. Acad.}

Sc., 1965, 261, 897 .

[5]

^BRUGEL

(L.)

^{et RIMET}

(G.),

^{C. R. Acad.}

Sc., 1965, 261, 1196.

[6]

^BRUGEL

(L.)

^{et RIMET}

(G.),

^{C. R. Acad. Sc.}

(à paraître).

[7]

^BRUGEL

(L.)

^{et RIMET}

(G.),

^J.

Physique (à paraître).