Comparaison de quelques approximations utilisées en réactions nucléaires directes

HAL Id: jpa-00206786

https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00206786

Submitted on 1 Jan 1969

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Comparaison de quelques approximations utilisées en réactions nucléaires directes

C. Gignoux

To cite this version:

C. Gignoux. Comparaison de quelques approximations utilisées en réactions nucléaires directes. Jour-

nal de Physique, 1969, 30 (4), pp.289-296. �10.1051/jphys:01969003004028900�. �jpa-00206786�

LE JOURNAL DE PHYSIQUE

COMPARAISON

DE

QUELQUES APPROXIMATIONS

UTILISÉES

EN

RÉACTIONS NUCLÉAIRES

^DIRECTES

Par C.

GIGNOUX,

Institut des Sciences Nucléaires,

38-Grenoble.

(Reçu

^le 16 novembre

1968.)

Résumé. 2014 Les

équations

^de Faddeev-Lovelace résolues

numériquement

^ont

permis d’éprouver

^{la validité de}

l’approximation

de la matrice de transition

(DWTA)

et de la DWBA pour les réactions

d’échange,

^ainsi que

l’approximation

^{soudaine utilisée dans les réactions de}

stripping.

Abstract. ^- The Faddeev-Lovelace

equations

^{have been resolved}

numerically

^{in order}

to test the

validity

^{of the T matrix}

approximation

and of the DWBA for

exchange

reactions,

as well as the

validity

^{of the sudden}

approximation

^for

stripping

^reactions.

1. Introduction. ^-

L’importance

^des

renseignements

obtenus _par les reactions nucl6aires directes _pose le

probleme

de la validite des theories couramment

utilis6es _pour les extraire. Ces theories

reposent

^sur de nombreuses

simplifications. Ainsi,

pour les reactions

d’échange

^{ou de}

stripping,

^{on admet} que ^ce

probleme complexe

peut ^se sch6matiser _par trois _{corps :}

proton,

neutron, ^coeur

(p,

^n,

c)

^{sans structure interne et}

interagissant

^{deux a deux.}

Cependant,

^{le traitement}

exact de ce

plus simple probl6me

^est

impossible

^et

diverses

approximations

^sont

employees.

^La

justifica-

tion de ces

approximations

n’est pas

faite,

^{L. R. Dodd}

et K. R. Greider

[1]

^{ont meme} montre que

1’approxi-

mation de Born avec des ondes déformées

(DWBA)

ne

repr6sente

pas ^{au sens}

mathématique

^{une bonne}

approximation.

^{Il est donc}

important

de comparer

ces theories

approximatives

^{a un} traitement exact du

probleme

^{a trois} corps.

Depuis

^{les travaux de Fad-}

deev

[2]

^et actuellement dans le cadre d’un modele tres

simplifi6 d’interaction,

^ce traitement exact est

possible

^et permet ^de comparer la solution aux ap-

proximations

^{evaluees dans} le cadre du meme modele.

Dans cet ordre

d’idées,

^{la DWBA a ainsi} ete test6e pour les reactions de

stripping

par A. Aaron et P. E.

Shanley [3]

^ainsi que par A. S. Reiner ^et A. I.

Jaffee [4].

^{Dans ce}

travail,

^les

equations

^de

Faddeev-Lovelace ont ete r6solues ^et

plusieurs approxi-

mations ont ete evaluees et

compar6es

^{a la solution}

exacte.

Ainsi,

pour les reactions

d’échange

^du type

(p-n), l’approximation

^{de la} matrice de transition

neutron-proton

^entre des ondes

planes (PWTA)

^et

ondes distordues

(DWTA)

^ainsi que la DWBA ont

ete calcul6es et

compar6es

^a

I’amplitude

^{exacte. Pour}

les reactions de

stripping, l’approximation

^{de Born}

avec interaction

finale, l’approximation

soudaine uti-

lisee _par S. T. Butler et al.

[5],

^et

1’amplitude propos6e

par Dodd et Greider

[6]

^{ont ete calcul6es.}

Le mod6le utilise et les

equations

de Faddeev sont

pr6cis6s

^{en section}

II,

suivis des

equations

de Faddeev- Lovelace en section III. Les differentes

approximations

sont d6crites en section IV ainsi que ^les résultats. On

trouvera les conclusions en section V et

quelques

details en

appendice.

II. Les

dquations

de Faddeev et le modele. ^- Les trois

particules

proton, neutron, ^coeur

(p,

^n,

c)

^sont

not6es indifféremment

i, j, k

^et

interagissent

par

paire

par les

potentiels Vjk

^ou

^Y2.

La fonction d’onde

(Do

solution de :

decrit 1’etat lie

(1, 2)

^{et une onde}

plane

incidente de

particules

^{3. La} solution stationnaire

correspondante

de diffusion s’écrit :

ou G ⁼ lim

[E

^{+ ze -}

H]-1

^{est la} résolvante du

’- 0

syst6me. L’operateur

de transition T dans

1’espace

^des

trois

particules

satisfait les

équations

de Faddeev

[2] :

Go

^est la fonction de Green des trois

particules ^libres, Go = lim ^[E

^{+ is -}

^{Ho]-l, Ti}

^est

l’opérateur

^{de tran-}

F’- 0

sition des deux

particules j

et k dans

1’espace

^{a trois}

particules. Ti

^satisfait

1’equation :

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01969003004028900

290

La relation

(1.2)

^nous

permet

^{d’écrire :}

et en

multipliant

^a droite le

systeme (1.1)

par

, nous obtenons :

et en utilisant

(2) :

mais :

et on vérifie facilement que lim _e-+O^E

f 1[ E

+ ^{ie -}

Ho]

^-1

Co

est nul. On a ainsi un

systeme integral equivalent

^aux

equations

de Faddeev mais

plus appropri6

^{a un trai-}

tement

num6rique :

Ces

equations

^ne

peuvent

^etre r6solues. Pour des

potentiels r6alistes,

elles conduisent a des

equations int6grales coupl6es

^en

grand

^{nombre et a}

plusieurs dimensions,

^tache

qui d6passe

^les

capacités

^{des ordi-}

nateurs actuels. Pour des

potentiels

^de

Yamaguchi [7],

on

peut

se ramener a des

equations int6grales coupl6es

mais a une dimension. Pour l’interaction

proton-

neutron, ^{ce choix est}

justifi6

^et l’interaction de

port6e

nulle utilis6e en DWBA en est un cas limite. L’interac- tion du nucl6on avec le coeur ne

peut

^{se d6crire} par

un

potentiel

^{de ce} type.

Cependant,

^nous croyons que

ce modele montre les faits

caractéristiques

^{du m6ca-}

nisme a trois _corps. Les

parametres

de l’interaction

neutron-proton

^{sont ceux de}

Yamaguchi.

Pour l’inter- action

nucleon-coeur,

^{ils ont ete} choisis selon l’essai pour donner des

energies

de liaison de

1, 2,

^{4 MeV}

avec le meme rayon

quadratique

moyen de la fonction d’onde

(3,53 fermi).

III. Resolution des

equations

de Faddeev-Lovelace.

- Pour des

potentiels

^de

Yamaguchi,

^{et Lovelace}

[8]

1’a montre de maniere

plus g6n6rale

pour des

potentiels

domin6s par ^un

petit

nombre d’6tats lies ou de reso- nances,

T2 Go

^est directement reli6 a la fonction d’onde de 1’etat lie

( j, k) ; ^aussi,

^{comme on}

peut

^{le voir en}

appendice

^{A .1 :}

Les qi ^sont les

impulsions

des trois

particules,

^{les Ci}

sont des constantes,

T3i(qi)

s’identifie _{pour qi} = qiO

impulsion asymptotique

^{de la}

particule

i dans la

voie i +

( j, k)

^a

l’amplitude

de transition de la reac- tion

(1, 2) + 3 -->- i + (j, k) -

gi (Pi)

^{est une} fonction de

l’impulsion

^relative pi des

particules j

^{et k}

qui apparait

^{dans le}

potentiel

^de

Yamaguchi :

et

rj [E - t (qi) ] qui

^{sera not6} dans la suite

Ti (qi)

intervient dans la matrice de transition des

particules j

et k dans

1’espace

^{des trois}

particules :

t(qi)

^est

1’energie cin6tique

^{de la}

particule

^{i et du}

centre de masse

de j

^{et k. La} conservation de

l’impul-

sion totale sera

toujours

sous-entendue. L’utilisation de

(4) permet d’exprimer

^les

Vi’¥

^en fonction des

amplitudes T3i.

^Le

remplacement syst6matique

^de

ViT

par les

T 3i

^{dans les}

equations (3) permet

d’obtenir les

equations int6grales coupl6es

pour ^ces

amplitudes.

Cette substitution fait

apparaitre

les fonctions :

Le dernier ^terme de

(5) provient

des conditions initiales

V31>o

^{dont on}

peut

^trouver

l’expression

^en

appendice

^{A. 2.}

Le traitement

num6rique

^de

(5)

^{est encore}

impos-

sible. La

decomposition

^{orbitale nous}

permet

de passer d’un

systeme d’6quations int6grales

de neuf variables ql, q2,

q3 a

^trois

variables I qll, q2 , q3 .

^Ceci

est

possible

^sans

augmenter

le nombre

d’6quations coupl6es

pour des

potentiels agissant

^dans l’onde rela- tive S. Pour des

potentiels

^moins

restrictifs,

^{le nombre}

d’équations coupl6es depend

^{du moment}

angulaire

total de 1’ensemble. Comme il est d6montr6 en appen-

dice, Kij(qi, qi)

^ne

depend

que du cosinus des vec- teurs qi ^et qj, ^aussi

peut-on

poser :

Les

amplitudes

^ne

dependent

^donc que de la direction q3o ^des

particules

incidentes dans la voie d’entree :

La substitution de ces relations dans

(5)

^{a pour seul}

effet d’indicer _par I toutes les

quantites

^{et de rem-}

placer 8(q3

^-

q3o)

par

(2l ^{+ 1) a(q3}

^-

q30)l4-rcq’o.

^Ce

systeme

^{de trois}

equations int6grales coupl6es

^{a une}

dimension est soluble

numériquement. Cependant,

pour d’6videntes raisons de

simplicite

^{et de}

pr6cision,

il est utile de se ramener a un

systeme d’6quations

non

coupl6es.

^{Ceci est}

possible

^{si un des}

potentiels

^est

nul,

^{c’est le cas} 6tudi6 par P. ^E.

Shanley [9],

^{ou si}

deux

particules

^sont

identiques,

^{c’est le cas} que ^nous

avons 6tudi6. Alors deux des six fonctions

Kfj(qi’ qj)

sont distinctes. En

effet,

^{comme on} peut ^{le voir} facilement :

Sp6cialisons

^les

equations (5)

^{aux deux cas}

phy- siques

^{suivants :}

1)

^Une onde incidente de deutons

d’impulsion

qd. ^- Alors 3

repr6sente

^{le coeur, 1 le} proton, ^{2 le neutron.}

Les differentes

amplitudes qui apparaissent

^{sont celles}

de diffusion

élastique Tdd

^{et de}

stripping TdP

^et

Tdn.

11 est facile de voir _que la difference

T,,,

^-

Tdn

satisfait une

equation intégrale

^{sans terme inhomo-}

gene,

^aussi

Tdp

⁼

Td..

^D’autre part, ^on peut ^61iminer

Tdd

^{dans une}

equation

pour obtenir le

systeme 6qui-

valent a

(5) :

2)

^{Une onde} incidente de

proton d’impulsion

qp ^{et un} itat lie

(n, c).

^{- Alors 3}

repr6sente

^le

proton,

^{1 le}

c0153ur, 2 le neutron. Les

amplitudes

^li6es par les

6qua-

tions sont celles de diffusion

élastique Tpp ^d’6change

et de

pick-up. L’amplitude T pd

s’identifie a

Tdp

^sur

la couche

d’énergie.

^{11 est} int6ressant d’6crire le

systeme (5)

^en fonction de la somme et de la diffé-

rence

Tpp ± Tpn;

^{on obtient} facilement :

Mithode

numirique

de résolution des

équations intigrales.

- On

peut

^{résoudre une}

6quation int6grale

^du

type

de Fredholm à noyau

compact

^en la transformant en

un

systeme

^lin6aire par discrétisation de

l’int6grale.

Cependant,

^les noyaux des

equations int6grales (6)

et

(7),

^{comme on} peut ^{le voir sur} leur forme

expli-

cite

(A. 4),

^varient

rapidement

^au

voisinage

^de

poles

et de

singularites logarithmiques qui

^{encadrent 1’axe}

d’int6gration

^rendant

pratiquement impossible

^une

telle discrétisation.

Aussi,

^{on a} utilise la m6thode

propos6e par J.

^H.

Hetherington

^{et L. H. Schick}

[10]

dont le

principe

^est le suivant : Soit a resoudre

x et y reels. On considere

f (z)

^defini par :

avec z

complexe. g(z)

^et

K(z, z’)

^{sont les}

prolongements analytiques (dont

^{on admet}

1’existence)

^de

f(x)

^et

K(x, y)

^{dans un domaine D}

qui

contient le secteur

limit6 _par les deux axes Ox et Ox’ faisant

1’angle

^6.

Supposons

^d’autre

part que f 0 ^{K(z, y) f(y) dy}

^soit

analytique

^{dans D et tende vers zero}

plus

^vite que

z -1

si z tend vers l’infini dans D. Alors

f (z)

^{est le}

prolongement analytique

^de

f(x)

^{dans D. Grace aux}

hypotheses pr6c6dentes,

^le théorème de

Cauchy s’ap- plique

^{et on}

peut

verifier facilement que la contribu- tion de

l’int6grale

^le

long

^{d’un arc} de cercle infini fermant le secteur delimite _par Ox et Ox’ est nulle.

f(z)

^v6rifie

1’equation int6grale :

ou z et z’

parcourent

^Ox’.

Cette nouvelle

equation

^est

plus

convenable _pour

un traitement

num6rique

^{car les}

singularites

^{et les}

poles

^{se sont}

6loign6s

^{de 1’axe}

d’intégration.

^{Si ce}

noyau ^{est encore}

compact,

la discrétisation

est justifiee, permettant

^d’obtenir

f(z)

^sur Ox’. Pour obtenir la solution en un

point xo

^{de 1’axe}

reel,

^on

peut

^utiliser de nouveau le théorème de

Cauchy

^{et ecrire :}

Cette methode a ete

employee

pour les

equations (6)

et

(7) qui

^ont ete r6solues sur un axe Ox’ faisant un

angle

⁰

n6gatif,

^{et le retour sur} 1’axe reel a ete ensuite effectu6 _pour les seules

impulsions asymptotiques.

^La

validite des conditions

d’emploi

^{de cette m6thode}

necessite des demonstrations

longues

^et d6taill6es

qui

sortiraient du cadre de cet article. On trouvera cepen- dant en

appendice

^{A. 5 des}

justifications simples

^mais

incompletes.

^La m6thode de deformation du contour

d’int6gration

^n’est pas

cependant

^{limit6e a des}

6qua-

tions

d6coupl6es,

^{ni a des contours}

rectilignes.

^Les

conditions

d’emploi

pour les

problemes

^{a trois corps}

seront

expos6es plus rigoureusement

^{dans une commu-}

nication

sp6cialis6e.

Les deux

systemes d’6quations (6)

^et

(7)

^{ont été}

292

TABLEAU I

6

angle

^de deformation du contour

d’integration.

I. limite

sup6rieure

^des

int6grales (unites

arbitraires).

N nombre de

points

^{de la} discrétisation.

resolus

num6riquement

^et les sections efficaces des differentes reactions ont ete calcul6es a

partir

^des

amplitudes Tl,

pour 1 variant de 0 a 12.

Quatre

essais ont ete effectu6s. Le

premier

^{avec une}

6nergie

libre E ⁼ 6 MeV et une

6nergie

^{de liaison} pour 1’etat lie du coeur e ⁼ 2 MeV. Les trois autres essais

ont eu lieu a 30 MeV et pour e ⁼

1, 2,

^{4 MeV.}

Durant tous les

essais,

le rayon moyen de la fonction d’onde de Fetal lie est reste de

3,52

^{F. Les tests ont}

port6

^sur le nombre de

points

utilises pour la discreti- sation de

l’int6grale.

Ce nombre fut

port6

^{de 24 a 30}

puis

^{de 30 a 36 sans}

changement sup6rieur

^{a 1}

%.

Le

probleme

^{de la limite}

sup6rieure

^de

l’int6gration

a ete resolu en prenant ^un pas variable. Le test le

plus

severe consistait a modifier

1’angle

^de

deformation ;

dans les meilleurs cas, la variation de

l’amplitude apres

retour sur 1’axe reel était de

0,1 %

^{dans les}

plus

mauvais de 7

%. Quelques

^{resultats sont}

indiqu6s

^dans

le tableau I.

IV. Méthodes

approximatives.

^-

1 )

^Reactions

de

stripping (d, p).

^{- Pour}

remplacer

^la

DWBA,

L. R. Dodd et K. R. Greider

[1]

^ont

propose

^une

amplitude qui repr6sente

^{le terme}

inhomogene

^d’une

equation intégrale ayant

^un noyau compact :

(Do

decrit les conditions

initiales, _xp

^{decrit 1’etat lie}

neutron-coeur et une onde d6form6e de protons. ^Dodd

et Greider factorisent

l’op6rateur :

Cette factorisation

cependant

^est incorrecte

[11],

meme pour ^{un coeur} de masse

infinie,

^{a moins} que ^cet

operateur n’agisse

^{sur des ondes}

planes

satisfaisant la

condition q2n + q2p

⁼

2mp

E. Aussi le calcul de cette

expression

^{est a}

peine

^moins

compliqu6

que le calcul

FIG. 1. ^-

Comparaison

des sections efficaces de

stripping

obtenues par les

equations

^{de Faddeev - et}

1’ ap- proximation

^{de Dodd et Greider ---. E est}

1’energie

libre du

systeme

^{des trois}

particules,

^s,

1’6nergie

^de

liaison du nucleon au coeur.

de

F amplitude

^exacte.

Cependant,

dans le modele

choisi,

^{ceci est}

possible. L’expression :

est obtenue _par resolution d’une

equation int6grale

^et

1’amplitude

^est évaluée ensuite _par

integration.

^Les

resultats ^sont

indiqu6s

^en

figure

^{1. L’accord avec la}

solution exacte est peu satisfaisant. Dans la forme des distributions

angulaires obtenues,

^{on ne retrouve} pas le deuxieme maximum. Le d6saccord devient un peu moins

important

^si

1’energie

^{libre E et}

1’energie

^de

liaison

croissent,

c’est-a-dire si

l’importance

^relative

de l’interaction neutron-proton

negligee

^{dans cette}

approximation

^d6croit.

L’approximation

^soudaine

propos6e ind6pendam-

ment pour ^les reactions

(d, p)

par Butler

[12]

^et

Tanifuji [13] permet d’exprimer

^{une solution appro-}

ch6e de la fonction d’onde stationnaire _{par :}

Z+, Xn+

^sont des ondes entrantes déformées _par les

potentiels Vnc

^et

Vpc ayant

^comme

impulsions

asymp-

FIG. 2. ^-

Comparaison

des sections efficaces de

stripping

obtenues par les

equations

^{de Faddeev -,}

I’approxi-

mation soudaine --- 1 et la BAWFD --- 2.

totiques

qv ^et qn. ^{Dans cette}

approximation,

^{il est}

suppose

que l’interaction

v np

^est d6branch6e ^au voisi- nage du cceur et que proton et neutron diffusent

indépendamment

^{avec les}

impulsions qu’ils

^avaient

dans le deuton. Le calcul exact de cette

expression

^est

complique

^{et il a} ete n6cessaire de supposer dans certaines

6tapes

^{du calcul} que proton et neutron

avaient des

impulsions asymptotiques

peu differentes de la moiti6 de

l’impulsion

^du deuton incident. Les resultats du calcul sont montr6s sur la

figure

^{2. On}

reconnait les memes tendances mais

plus

^accentu6es

de

l’amplitude

^{de Dodd et}

Greider,

^mais le d6saccord

est aussi

grand.

^{On a} aussi trace

1’approximation

^de

Born avec interaction finale

(BAWFD) qui

^{est un des}

termes de

l’approximation

^soudaine.

2)

^Riactions

d’ichange

^du

type (p, n). - L’interpretation

de telles reactions se fait d’habitude _{par la} DWBA :

Dans le cadre du modele

deja précisé,

^cette

ampli-

tude a ete évaluée et la section efficace ainsi obtenue

est trac6e sur la

figure

³

(courbe 3).

^{Sur cette meme fi-}

FIG. 3. ^-

Comparaison

^{des sections efficaces}

^d’echange

(p, n)

obtenues par ^les

equations

^{de Faddeev - 1,}

l’approximation

^de Born --- 2 et la DWBA ^--- 3.

294

gure, les sections efficaces obtenues _par la resolution des

equations

de Faddeev et par

F approximation

^{de Born}

sont

indiqu6es

pour

comparaison (courbes

^{1 et}

2).

^Si

les distributions

angulaires

^sont

acceptables,

les valeurs absolues des sections efficaces exactes et

approxim6es

sont relativement differentes.

Dodd et Greider

[1]

^{ont montre} que la DWBA

est le

premier

^{terme d’un}

d6veloppement perturbatif divergent.

^{En sommant les}

graphes

^ou

proton

^et

neutron

interagissent

^{dans le}

champ

^{de la troisieme}

particule,

^{ils ont} 6t6 amenes a proposer ^la DWTA ou

approximation

^{de la} matrice de transition ^entre des ondes deformees. Dans ^cette

approximation,

^le

poten-

tiel

Vnp

^est

^remplace

^par

l’op6rateur

de transition

Tnp

6valu6 ^en dehors de la couche

d’6nergie.

^{Le calcul de}

cette

expression

^a donc ete realise et les resultats sont

FIG. 4. ^-

Comparaison

des sections efficaces

d’echange (p, n)

obtenues par les

equations

de Faddeev ^- 1, la DWTA ^--- 2 et la DWBA ^--- 3.

indiqu6s

^{sur la}

figure

⁴

(courbe 2).

^{Sur cette meme}

figure,

^on

peut

^{voir la} section efficace exacte

(courbe 1)

et la DWBA

(courbe 3).

V. Conclusion. ^{- Dans} le cadre du mod6le

choisi,

il _y a

d’importants

d6saccords ^entre les resultats

pr6dits

par les

equations

de Faddeev

qui

^{traitent exactement}

le

probleme

^{a trois} corps ^{et ceux} obtenus _par les

approximations

^{usuelles. La}

simplicité

^{du modele et}

la difference entre les interactions r6alistes et le poten- tiel de

Yamaguchi

^{utilise ne} permettent pas de tirer des conclusions

cat6goriques,

^{mais il} semble douteux que l’on

puisse

par ^ces

approximations

^usuelles

extraire des

renseignements spectroscopiques precis.

Pour les reactions de

stripping, F amplitude propos6e

par Dodd ^et Greider nécessite des calculs a

peine

moins

compliqu6s

^que la resolution des

equations

^de

Faddeev ^et les resultats

obtenus,

du moins dans le cadre du modele

simplifi6,

^{ne sont} pas

plus

satisfaisants que les autres

approximations. L’approximation

^sou-

daine dont le calcul est

plus simple

^{ne donne} pas ^un meilleur accord et son

emploi,

^{comme l’a fait} remarquer C. F. Clement

[14],

^n’est pas

toujours 16gitime.

^Pour

les reactions

d’échange,

^la

DWTA, qui

^ne differe de la DWBA _que par le

remplacement

^du

potentiel

par

l’op6rateur

^de

transition, parait 6quivalente

^{a la}

DWBA ^et entraine des calculs

beaucoup plus laborieux,

et il ne semble _pas

qu’il

y ait

avantage

^a l’utiliser. Le d6saccord entre le traitement exact et les

approxima-

tions DWTA et DWBA diminue si

1’energie

^{libre E}

croit et si

l’énergie

de liaison

d6croit,

c’est-a-dire si l’on se

rapproche

de la couche

d’6nergie. Cependant,

la DWTA semble

plus prometteuse

pour les reactions du

type (p, pn)

^{ou l’on}

s’61oigne

peu de la couche

d’6nergie.

Son utilisation a

deja

^{ete faite} par K. L. Lim

et I. E.

McCarthy [15]

pour des reactions

(p, 2p).

Le travail

num6rique

^est

important

^et les resultats

sont encore assez

ambigus.

^Une amelioration

pourrait

sans doute etre obtenue _par l’utilisation d’une matrice de transition obtenue exactement par ^un

potentiel separable.

Ce travail est en cours.

VI. Remerciements. ^-

Je

^{tiens a} remercier M. le Professeur

J.

^Yoccoz

qui

^m’a

dirig6

^{et aide tout au}

long

^{de ce travail.}

Je

remercie aussi les chercheurs de l’Institut de

Math6matiques Appliqu6es

de Grenoble pour leur aide constante et efficace.

Je

tiens aussi a remercier

J. J. Benayoun

^{dont 1’aide me fut}

precieuse

pour la

partie num6rique

^{de ce travail.}

APPENDICE

A.1. Relation entre la fonction de Ildtat lie

( j, k)

et

Ti Go.

^{- La} fonction d’onde

(Di(pi)

de 1’etat lie

(j, k)

satisfait

1’6quation

^de

Schrodinger :

où ei

^est

1’energie

de liaison et

ti, l’op6rateur energie

cinétique

relative des

particules j

^{et k :}

pr/2f1-i.

^On

peut

transformer cette

equation :

avec la condition de normalisation :

Compte

^{tenu de}

1’expression

de la matrice de tran-

sition, T2 Go

peut s’6crire :

t2

^est

l’op6rateur 6nergie cin6tique

^{de la}

particule

^{i et}

du centre de masse des

particules j

^{et k. Pour}

l’impul-

sion

asymptotique

qio, on a la

relation ti

^{= E} + si.

Donc on retrouve a ^un facteur

pres

^la fonction d’onde de 1’etat

lié j

^{et k}

multipliee

par l’onde

plane a (q’

^-

qio) qui

^est la fonction d’onde

asymptotique

^{dans la}

voie i +

( j, k) :

^:

On en deduit imm6diatement la relation :

est

l’amplitude

de transition

A. 2.

Expression

^de

V 3 1>0.

^{- Comme il a 6t6 vu}

pr6c6demment, (Do

^{est le}

produit

de 1’etat lie

Cg

de

(1, 2)

par ^une onde

plane

^de

particules 3,

^{donc :}

et en utilisant une relation de

A .1,

^{on en déduit :}

A. 3.

DdcomPosition

orbitale des fonctions

Kij ( q; , qj) :

Les

fonctions gi

^ne

dependent

que du carr6 des

impulsions

^relatives

p2

^avec les relations :

on voit _que

Kij(qi, qj)

^ne

depend

que

de qi2, qj2

^{et du}

produit

scalaire qi ^X qj, donc du cosinus u des directions qi ^et qj :

Cette

intégrale

^se calcule litt6ralement et fait _appa- raitre les fonctions de

Legendre

de deuxieme

espece.

A. 4.

Expression

littdrale des noyaux des

dquations intdgrales.

^{- On}

particularise 1’expression

^des noyaux dans le cadre des

hypotheses

initiales. Neutron et

proton ^{ont la meme masse m et}

interagissent

^{de la}

meme maniere avec le cceur de masse infinie.

sont les

impulsions

^{relative et} absolue du

systeme neutron-proton.

Les deux

fonctions gi

distinctes s’ecrivent :

pc,

^Xc

et P d, X d

^{sont les}

parametres

^des

potentiels

^de

Yamaguchi

^entre nucleon-coeur et proton-neutron.

D’apres A. 3, Kl . (p, n)

^a pour

expression :

dont le

comportement asymptotique

^est

un p-4

^{ou n-4}

si p ou n grands.

De

meme,

^{si u est} le cosinus de

l’angle

^{entre les}

vecteurs p ^et K :

ou en introduisant les fonctions de

Legendre

^de

deuxieme

espece

^{et les}

quantites a, b, c :

Pour p

^{ou K}

grand,

^a,

b,

^{c sont}

grands

^et

Q,o(a)

^se

comporte

^comme

a-’,

^donc

Klpc

^se

^comporte

^comme

donc comme K-6

ou p-6.

^{Si I est}

sup6rieur

a

zero,

^le

comportement asymptotique

^{est encore}

plus

d6croissant.

A. 5. Determination de

l’angle

de deformation du contour. ^- A cause des

poles correspondant

^{aux 6tats}

lies neutron-cccur ou

proton-neutron,

^les

Ti (q’)

^ont

des

poles

^{au-dessus de 1’axe}

^reel,

^par

consequent,

296

1’angle

^{0 doit etre}

n6gatif.

^{11 est facile de voir sur son}

expression

que

K0pn

^est

analytique

pour 0

sup6rieur

a

- n/2.

^En

effet,

^{dans ce}

domaine,

le denominateur ne

peut s’annuler. Le terme

inhomogene

^de

l’équa-

tion

(7.2)

^{6tant une}

ligne

^du noyau, 6

> -,n/2

^{est la}

seule condition _pour ^cette

equation int6grale.

Le _noyau des

equations (6.1)

^et

(7.1)

^{est la somme}

du _noyau

precedent

^{et de}

K(q, q’)

^d6fini par :

On peut

prolonger

^{dans le}

plan complexe

^{ce noyau}

par ^un choix convenable du contour

d’intégration.

En

effet,

^{ce contour doit} passer les

singularites loga- rithmiques

^{de la meme}

façon

que celle

prise

^{sur 1’axe}

reel. Le terme

inhomogene

^de

l’équation (6.1)

^est

proportionnel

^a

K,,(q, qd)

^{et les}

singularités logarith-

miques

des fonctions de

Legendre c = ± 1)

^{se trouvent à :}

qd

^6tant

superieur

^a

4mE,

^ces

singularites

^{se trouvent}

sous 1’axe reel et a une distance finie de

celui-ci,

permettant ^{de trouver un}

angle

0 fini. Pour

l’équa-

tion

(7.1),

^{le terme}

inhomogene

^{contient :}

pour des raisons de

precisions numériques,

z" parcourt aussi 1’axe

Ox’,

^donc

Kl,(z", qp)

^{doit être}

analytique,

donnant ainsi une limitation

supplémentaire

^a

l’angle

^0.

BIBLIOGRAPHIE

[1]

^DODD

(L. R.)

^{et GREIDER}

(K. R.),

Phys. Rev.,

1966, 146, 671 ; ^et Phys. Rev., 1966, 146, 675.

[2]

^FADDEEV

(L. D.), Zh. Eksperim. i

^Theor. Fiz., 1960, 39, 1459 ;

English

transl. : Soviet Phys.,

JETP,

1961, 12, ^1014.

[3] ^SHANLEY

(P. E.)

^{et AARON}

(R.),

^Annals of Physics, 1967, 44, 363.

[4]

^REINER

(A. S.)

^et JAFFEE

(A. I.),

Phys. Rev., 1967, 161, 935.

[5]

^BUTLER

(S. T.) et

al., ^Annals of

Physics,

1967, 43, 282.

[6] ^DODD

(L. R.)

^{et GREIDER}

(K. R.),

Phys. Rev., 1966, 146, 675.

[7] ^YAMAGUCHI

(Y.),

Phys. Rev., 1954, 95, ^1628.

[8]

^LOVELACE

(C.),

Phys. Rev., 1964, 135, ^B 1225.

[9] ^SHANLEY

(P. E.),

Thesis Northeastern

University,

Boston, ^1966.

[10]

HETHERINGTON

(J.

H.) ^{et SCHICK}

(L. H.),

Phys.

Rev., 1965, 137, B 935.

[11]

^Yoccoz

(J.),

Communication

privée.

[12]

^BUTLER

(S. T.),

Nature, 1965, 207, 1346.

[13] TANIFUJI (M.),

^Nucl. Phys., 1964, 58, ^81.

[14]

CLEMENT

(C. F.),

Phys. ^Rev. Letters, 1966, 17, 759.

[15]

^LIM

(K. L.)

^{et MCCARTHY}

(I. E.),

Phys. ^Rev. Letters, 1964.

ÉTUDE

DU

SPECTRE D’ÉLECTRONS

DE

CONVERSION

DE FAIBLE

ÉNERGIE ÉMIS

PAR LE FRANCIUM 221 $$

(225Ac ~03B1 221Fr)

Par CHIN-FAN LEANG

(*)

^et

FRANÇOISE GAUTIER,

Centre de Spectrométrie ^{Nucléaire et de} Spectrométrie ^de Masse, Bâtiment 104, Campus, 91-Orsay.

(Reçu

le 9 ddcembye

1988.)

Résumé. 2014 Le

spectre

d’électrons de conversion émis par ^{221Fr a} été étudié par ^un spectro-

mètre 03B203C0

~2.

^Les

multipolarités

des transitions intenses ont été déterminées. Un désaccord existe entre I03B3 et ^{I e-} pour ^les rayonnements ^de 73,7 ^et 99,6 keV, ^ce

qui

^{a conduit à}

l’hypothèse

d’un niveau double à 99,6 ^keV.

Abstract. ²⁰¹⁴ The conversion electron

spectrum

^emitted

by

^{221Fr has been studied}

by

^means

of a 03C0

~2 03B2-spectrometer.

^We determined the

multipolarity

^{of the}

strong

transitions.

Disagreement

^{has been} found between

Iy

^{and Ie- for the 73.7 and 99.6 keV} radiations, ^{and the}

assumption

^{of a double level at 99.6} keV has been made.

LU JOURNAL ^DE PHYSIQUE ^TOME 30, ^AVRIL 1969,

Les niveaux excites de

221Fr,

aliment6s par 1’6mis- sion oc de

225Ac,

^{ont fait}

l’objet

^de

plusieurs

^{études :}

K. Valli

[1]

^a 6tudi6 les transitions _{y par} une m6thode

de coincidences _a-y avec

jonction

^{a et}

INay. Wapstra

et coll.

[2]

^ont mesure les spectres y ^{et e- en} utilisant des d6tecteurs solides.

Dzelepov

^{et coll.}

[3]

^{ont mesure}