THEME PAR THESE

(1)

UNIVERSITE DU 20 AOÛT 1955 – SKIKDA

FACULTE DE TECHNOLOGIE

DEPARTEMENT DE GENIE ELECTRIQUE

THESE

Présentée pour l'obtention du diplôme de doctorat en sciences

SPECIALITE : Électrotechnique

OPTION : Modélisation des Réseaux Electriques

PAR

MOHAMMEDI Moufid

THEME

Contribution à la modélisation et la simulation numérique d’un système électro-énergétique

SOUTENUE PUBLIQUEMENT LE : 19 juin 2012 ………….

DEVANT LE JURY COMPOSE DE :

PRESIDENT : A. BOUKADOUM Pr.Prf. Université de SKIKDA ENCADREUR :

EXAMINATEURS :

T. BAHI F. ADJADJ

Pr.

Université de ANNABA

Université de BATNA

M. BOUHARKAT

Pr.

H. BOUZEKRI

MC.

Université de SKIKDA

(2)

UNIVERSITE DU 20 AOÛT 1955 – SKIKDA

FACULTE DE TECHNOLOGIE

DEPARTEMENT DE GENIE ELECTRIQUE

THESE

Présentée pour l'obtention du diplôme de doctorat en sciences

SPECIALITE : Électrotechnique

OPTION : Modélisation des Réseaux Electriques

PAR

MOHAMMEDI Moufid

THEME

Contribution à la modélisation et la simulation numérique d’un système électro-énergétique

SOUTENUE PUBLIQUEMENT LE : 19 juin 2012 ………….

DEVANT LE JURY COMPOSE DE :

PRESIDENT : A. BOUKADOUM Pr.Prf. Université de SKIKDA ENCADREUR :

EXAMINATEURS :

T. BAHI F. ADJADJ

Pr.

Université de ANNABA

M. BOUHARKAT

Pr.

H. BOUZEKRI

MC.

Université de SKIKDA

(3)

REMERCIEMENTS

Je remercie tout d’abord « Dieu » tout puissant de m’avoir guidé durant toutes mes années d’études et qui m’a permis ainsi la réalisation de cette thèse, en me donnant la force, la patience et la volonté.

Je tiens à exprimer ma sincère gratitude à Monsieur Tahar BAHI Professeur au département d’électrotechnique de l’université d’Annaba, pour avoir été mon directeur de thèse. Ses connaissances et son expérience ont été, pour moi, une source constante du savoir.

Sa disponibilité et son engagement scientifique m’ont aidé à me dépasser durant ces années.

Qu’il trouve en ces quelques lignes ma profonde sympathie.

Je suis particulièrement sensible à l’honneur que m’ont fait Monsieur A. Boukadoum, Professeur à l’Université de Skikda d’avoir accepté de présider le jury, Madame F. Adjadj, Monsieur M. Bouharkat Professeurs à l’université de Batna et H. Bouzekri, Maitre de Conférences à l’Université de Skikda d’avoir accepter d’être examinateurs de cette thèse.

Je suis immensément reconnaissant à mes parents qui m’ont soutenu tout au long de ma vie.

Je leurs dois beaucoup. Qu’ils trouvent en ce manuscrit toute ma reconnaissance et le signe que je suis arrivé enfin à réaliser leur rêve.

J’adresse ma profonde reconnaissance et mes remerciements chaleureux à ma femme, pour son soutien, ses encouragements constants et la patience dont elle a su s’armer tout au long de ces années.

Je dédie ce trvail à :

 Mes chers parents, ma femme, mon fils Mohammed Jad, ma sœur, mes frères et à toute la famille.

 A mon encadreur Tahar BAHI.

 A tous mes amis.

Mohammedi Moufid

(4)

Contribution à la modélisation et la simulation numérique d’un système électro-énergétique

صخلم

ٌإ خلاٜا حٛئاتشٓكنا جذمعي جضٓخأ ٍع جساثع

آرخزًَ اُٛهع ةعصٚ َّاف ٖذن ، ٌٔد

زخٞا .خاثٚشمرنا ٍي دذع ساثرعلاا ٍٛعت

ناف ٌدا حسذُٓ

ان شٛغ نٕهسنا ٔ جذمعً

نا واظُهن ٙطخ

، دٚ

عضٔ حٛهًع مع جرًَٕ

مئآنا سٕطرنا ،ٍٛز ٙف .اذخ حثعص ٙضاٚس

ٙف مصاسنا ولاع٠ا

ٙنٜا ٖدأ

ٗنإ نا سٕٓظ حخزًُ

طٔشٓكنا حًظَٟن حٚدذعنا ا

.حٕٚل

ىٚذمرت اًُل ،حناسشنا ِذْ للاخ ٍي حتاخإ

ت حمهعرًنا حهكشًنا ٗهع حخزًُ

حٛفهخرنا حمهسنا جشْاظ

ٛسٛطاُغًنا ح

حٛفٛكٔ

آخايدإ ٙف

.ٙسٛطاُغًنا ممسهن ٘دذع ٙتاسز واظَ

ٔ اظَ ٗهع ّمٛثطذ ىذ ،ذشرمًنا جرًُٕنا جءافك ٖذي ٍي كمسرهن ضٚشسرنات ٍٛخسرنا و

ٛسٛطاُغئشٓكنا شٚدامًنا ٍٛت قشفنا اُن ٍٛثذ ،آٛهع مصسًنا حئارُنا .ٙسٛطاُغًنا ح

حيذًنا جرًُٕنأ حٛفهخرنا حمهسنا ٌٔذت

آن .حٛئاتشٓكنا خلاٜا حخزًَ للاخ ساثرعلاا ٍٛعت اْذخأ ىًٓنا ٍي َّاف ٖذن ، حخذًُت اًُل ،ٖشخأ حٓخ ٍي

شٛغ حنٞا

ٛسٛطاُغًنا حٛزاًسنا شٛثأذ حظزلاًت اُن رًس ٘ذنا ٔ ٘دذع ٙتاسز واظَ لاًعرسات حُياضرًنا ح

سأذنا ءضدنا حٚضكشًذ لأ

ٛسٛطاُغئشٓكنا شٚدامًنا ٗهع ٌاسٔذنا سٕسًت ح

.

شثأ ٌاٛثرت اًُل ،حناسشنا ٍي َٙاثنا ءضدنا ٙف جايدإ

نا حفاثك حٛمٛمسنا ن ساٛره

ٙئاتشٓكنا خار

ا عٚصٕرن حًًعًنا حٛضاٚشنا حللاعن

نشسرًنا ٔ دتاثنا ءضدنا فٚٔادذ شثع حٛئاتشٓكنا ملإُنا حنٝن

شٚدامًنا ٗهع ،حٛئاتشٓكنا

ٛسٛطاُغئشٓكنا ح

عي حَسامًنات

جرًُٕنا ٙسٛطاُغًنا ممسنا باسسن ٙهٛهسرنا حنٝن

طاُغًنا حُياضرًنا حٛسٛ

ساٛذ حفاثكت حناد ٔد

حٛثٛخ .

(5)

Abstract

The electrical machines are complex devices which cannot be established behavioral models without a number of approximations. Indeed, the complicity of the geometry and the nonlinear behavior of the system make the formulation of the model more complex to resolve, however, the rapid development that took place in personal computing has promoted the development of numerical modeling of electromagnetic systems.

In this thesis, we give in the first part of the answers to the problem of modeling the phenomenon of magnetic hysteresis and their integration into a numerical code of the magnetic field finite elements. In the second part, we show the impact of integrating the model of the actual current density based on a generalized distribution function, the electromagnetic quantities of a synchronous machine with smooth poles.

Concerning the first part, we validated our model for the case of induction heater.

The results have allowed us to note the difference between the classical model without taking into account the hysteresis, and the one we have developed. These results show the importance of integrating the hysteresis modeling of electro-energy. Furthermore, based on the calculation of the field by finite elements, we also presented the model of asynchronous machine and we studied the impact of the magnetic permeability and the eccentricity of the electromagnetic quantities.

Second part, a comparative study between a computational model analytical field of synchronous machine for a purely sinusoidal current density with that of a real current density taking into account the spatial distribution of conductors in the slots.

(6)

Résumé

Les machines électriques sont des dispositifs complexes pour lesquels on ne peut établir des modèles comportementaux sans un certain nombre d'approximations. En effet, la complicité de la géométrie et le comportement non linéaire du système rend la formulation du modèle plus complexe à résoudre. Cependant, les développements fulgurants qui ont eu lieu en micro-informatique ont favorisé l’essor de la modélisation numérique des systèmes électromagnétiques.

Dans cette thèse, nous apportons dans la première partie les éléments de réponse au problème de la modélisation du phénomène de l’hystérésis magnétique et leur intégration dans un code de calcul numérique du champ magnétique par éléments finis.

En seconde partie, nous montrons l’impact de l’intégration du modèle de la densité réelle du courant à base d’une fonction de distribution généralisée, sur les grandeurs électromagnétiques d’une machine synchrone à pôles lisses.

Concernant la première partie, nous avons validé notre modèle pour le cas d’un chauffage à induction. Les résultats obtenus nous ont permis de remarquer la différence entre le modèle classique sans tenir compte de l’hystérésis et celui que nous avons développé. Ces résultats attestent de l’importance de l’intégration de l’hystérésis pour la modélisation des systèmes électro-énergétiques. Par ailleurs, à base du calcul du champ par éléments finis, nous avons aussi présenté le model d’une machine asynchrone et nous avons étudié l’impact de la perméabilité magnétique et de l’excentricité sur les grandeurs électromagnétiques.

En seconde partie, une étude comparative entre un modèle de calcul analytique de champ d’une machine synchrone pour une densité de courant purement sinusoïdale avec celle d’une densité de courant réelle tenant compte de la distribution spatiale des conducteurs dans les encoches.

(7)

Table des matières

Introduction Générale

Chapitre 1

Etat de l’art ... 1

1.1 Introduction ... 1

1.2. Modélisation et intégration de l’hystérésis magnétique dans un code de calcul par la MEF ... 2

1.3 Modélisation et intégration de la densité réelle du courant dans le calcul analytique du champ .. 3

1.4 Conclusion ... 4

Chapitre 2

Equations et Formulations Fondamentales de l’Electromagnétisme ... 5

2.2 Schéma général d'un problème en électrotechnique ... 5

2.3 Equations d’électromagnétisme ... 6

2.4 Lois de comportement ... 7

2.5 Conditions de passage ... 8

2.6 Modèles électromagnétiques ... 9

2.6.1 Modèle électrostatique ... 9

2.6.2 Modèle électrocinétique ... 10

2.6.3 Modèle magnétostatique ... 11

2.6.3.1 Modèle magnétostatique scalaire ... 11

2.6.3.2 Modèle magnétostatique vectoriel ... 11

2.6.4 Modèle magnétodynamique ... 12

2.7 Formulations ... 14

2.7.1 Cas de problèmes bidimensionnels ... 15

2.7.2 Formulations pour les régions conductrices ... 16

2.7.2.1 Formulation en potentiel vecteur magnétique et potentiel scalaire électrique ... 16

2.7.2.2 Formulation en potentiel vecteur magnétique modifié et champ électrique ... 17

2.7.2.3 Formulation en potentiel vecteur électrique et potentiel scalaire magnétique ... 19

2.7.3 Formulations pour les régions non conductrices ... 20

(8)

2.7.3.1 Formulation en potentiel vecteur magnétique ... 21

2.7.3.2 Formulation en potentiel scalaire magnétique total ... 21

2.7.3.3 Formulation en potentiel scalaire réduit ... 22

2.8. Méthodes de résolutions des équations obtenues par les modèles ... 24

2.8.1 Méthodes Analytiques ... 24

2.8.2 Méthodes numériques ... 25

2.8.3 Méthodes hybrides ... 26

Chapitre 3

Intégration de l’Hystérésis Magnétique dans le Calcul par EF ... 27

3.2 Modèle de l’hystérésis magnétique ... 27

3.2.1 Modèle de l’hystérésis scalaire ... 28

3.2.1.1 Constriction du cycle d’hystérésis ... 28

3.2.2 Modèle de Preisach ... 30

3.2.3 Modèle de Jiles-Atherton ... 33

3.3 Méthodes des éléments finis ... 35

3.4 Méthodes du point fixe ... 36

3.5 Intégration de l’hystérésis dans un code EF ... 37

3.5.1 Simulations et interprétation ... 40

3.6 Modélisation par éléments finis d’une machine asynchrone ... 46

3.6.1 Modèle de la machine ... 46

3.6.2 Simulation et interprétation ... 47

3.6.2.1 Cas sain ... 47

3.6.2.2 Impact de la perméabilité magnétique ... 50

3.6.2.3 Impact de l’excentricité ... 52

Chapitre 4

Modélisation par le calcul analytique du champ d’une MS ... 54

4.2 Généralité sur les machines électriques ... 54

4.3. Loi de Laplace ... 56

(9)

4.4. Formulation en potentiel vecteur magnétique d’une machine électrique ... 58

4.4.1 Cas d’une seule nappe de courant ... 58

4.4.2 Cas de deux nappes de courant ... 61

4.5 Simulation et Interprétation ... 63

Chapitre 5

Intégration de la densité réelle du courant dans le calcul analytique des grandeurs électromagnétiques d’une Machine Synchrone ... 69

5.2 Densité de courant équivalente à une encoche ... 72

5.2.1 Machine électrique avec six encoches réparties sur le stator ... 74

5.3 Système triphasé équilibré ... 76

5.4 Champ magnétique crée dans l’entrefer par la densité du courant ... 77

5.5 Résultats de simulation et interprétation ... 78

5.6 Application à la machine synchrone ... 81

5.6.1 Simulations et interprétation des résultats ... 81

Conclusion Générale

... 85

Bibliographie

... 86

(10)

Fig.2.1. Géométrie générale d'un problème type en électrotechnique ... 5

Fig.2.2. Exemple de géométrie bidimensionnelle ... 15

Fig.3.1. Données expérimentales ... 28

Fig.3.2 Hystérésis scalaire ... 30

Fig.3.3. Cycle élémentaire ... 31

Fig.3.4. Evolution du cycle en fonction de la fréquence ... 32

Fig.3.5. Evolution du cycle en fonction de la température ... 32

Fig.3.6. Evolution du cycle en fonction de la fréquence ... 35

Fig.3.7. Principe de la méthode des éléments finis ... 36

Fig.3.8. Principe de la méthode du point fixe ... 37

Fig.3.9. Système étudié ... 38

Fig.3.10. Principe d’intégration de l’hystérésis dans la MEF ... 39

Fig.3.11. Maillage du domaine avec les conditions aux limites ... 41

Fig.3.12. Equipotentiels du potentiel vecteur A ... 41

Fig.3.13. Distribution spatiale du potentiel vecteur A ... 42

Fig.3.14. Evolutions du potentiel vecteur pour chaque nœud (z = 0) ... 42

Fig.3.15. Evolutions du potentiel vecteur en fonction de r ... 43

Fig.3.16. Comportement non linéaire du matériau ferromagnétique ... 43

Fig.3.17. Distribution spatiale de Bs ... 44

Fig.3.18. Distribution spatiale de Bs pour différentes valeurs de la fréquence ... 44

Fig.3.19. Effet de l’hystérésis sur les courants induits ... 45

Fig.3.20. Courants induits avec hystérésis pour différentes valeurs de la fréquence ... 45

Fig.3.21. Géométrie de la machine ... 47

Fig.3.22. Maillage du domaine d’étude ... 48

Fig.3.23. Distribution spatiale du potentiel vecteur ... 48

Fig.3.24. Equipotentiels du potentiel vecteur magnétique ... 49

Fig.3.25. Distribution spatiale du champ magnétique ... 49

Fig.3.26. Effet de la perméabilité magnétique sur le champ magnétique ... 51

Fig.3.27. Effet de l’excentricité sur le potentiel vecteur magnétique ... 52

Fig.4.1. Cycle d'hystérésis ... 55

Fig.4.2. Schéma de principe ... 56

Liste des Figures

(11)

Fig.4.3. Photo d’un rotor ... 56

Fig.4.4. Moteur dit à circuit imprimée ... 57

Fig.4.5. Coupe transversale d’une machine électrique ... 59

Fig.4.6. Coupe transversale d’une machine électrique ... 61

Fig.4.7. Potentiel vecteur pour une seule nappe de courant ... 64

Fig.4.8. Composantes radiale, tangentielle et le module de l'induction ... 64

Fig.4.9. Composantes radiale et tangentielle divisées par le module de l'induction ... 64

Fig.4.10. Potentiel vecteur au stator, au rotor et la somme pourp3et 0° ... 65

Fig.4.11. Potentiel vecteur au stator, au rotor et la sommepourp3et  30° ... 65

Fig.4.12. Comparaison entre la forme du potentiel vecteur magnétique ... 65

Fig 4.13. Composantes radiale, tangentielle et le module de l’induction ... 66

Fig.4.14. Composantes radiale et tangentielle divisées par le module de l’induction ... 66

Fig.4.15. Energie magnétique ... 67

Fig.4-16. Couple électromagnétique ... 67

Fig.5.1. Photo d'un rotor et ses encoches ... 69

Fig.5.2. Photo de stators ... 69

Fig.5.3. Machine électrique ... 70

Fig.5.4. Densité de courant équivalente ... 70

Fig.5.5. Elément surfacique ... 71

Fig.5-6. Machine à six encoches ... 72

Fig.5.7. Développement graphique du stator ... 72

Fig.5.8. Développement graphique du stator avec bobinage à pas raccourci ... 75

Fig.5.9. Champ magnétique dans l’entrefer ... 77

Fig.5.10. Densité réelle du courant et harmoniques d’espace pour N=6 ... 78

Fig.5.11. Densité réelle du courant et harmoniques d’espace pour N=12 ... 79

Fig.5.12. Densité réelle du courant et harmoniques d’espace (bobinage à pas raccourci) ... 79

Fig.5.13. Densité réelle du courant et harmoniques d’espace (système triphasé). ... 80

Fig.5.14. Densité réelle du courant et induction magnétique pour p =1 et p =2 ... 80

Fig.5.15. Densité réelle du courant statorique et harmoniques d’espace ... 82

Fig.5.16. Densité réelle du courant et harmoniques d’espace rotorique ... 82

Fig.5.17. Potentiel vecteur magnétique ... 82

Fig.5.18. Induction magnétique dans l’entrefer ... 83

Fig.5.19. Energie et couple électromagnétique ... 83

Fig.5.20. Couple électromagnétique ... 83

Fig.5.21. Comparaison du couple électromagnétique ... 84

(12)



D

Symboles Significations Unités

Champ électrique [V/m]

Induction électrique [AS/m²]

Champ magnétique [A/m]

Induction magnétique [T]

Js Densité du courant source dans l’inducteur [A/m²]

Densité du courant induit [A/m²]

Densité volumique de charge électrique [C/m³]

Potentiel vecteur magnétique [A /m]

Potentiel vecteur magnétique modifié [A/m]

Potentiel scalaire magnétique Potentiel vecteur électrique

Potentiel scalaire électrique [V]

Fonction scalaire de l’espace

Permitivité diélectrique [F/m]

Permitivité du vide [F/m]

r Permitivité relative du milieu [F/m]



E



H

Symboles et Abréviations

Jind

⃗



A

A 

*



T

V F



0

(13)

0 Perméabilité magnétique du vide [H/m]

r Perméabilité relative magnétique [H/m]

 Réluctivité magnétique [m/H]

Conductivité électrique [S/m]

n Normale à l’interface

 Produit vectoriel

. Produit scalaire

r Rayon vecteur

Abréviations

2D Bidimensionnel

3D Tridimensionnel

EDP Equations aux dérivées partielles

MEF Méthode des éléments finis

MDF Méthode des différences finis

MVF Méthode des volumes finis

FMM Force magnétomotrice



(14)

Introduction Générale

La conception et la construction des dispositifs électromagnétiques reposent en majeure partie sur la connaissance du moment atomique et de l'hystérésis magnétique. Cependant, le calcul numérique du champ magnétique est devenu l’outil fondamental des chercheurs et des industriels, pour tenter de connaitre de manière précise les propriétés de ces matériaux afin de les formuler et de les modéliser en vue de leurs études. Ceci exige la résolution des équations différentielles aux dérivées partielles déduites à base des équations de Maxwell dont la difficulté est liée à la nature des systèmes (linéaires, non linéaires) et à leurs géométries.

Alors, les développements fulgurants qui ont eu lieu en micro-informatique ont favorisé l’essor de la modélisation numérique des systèmes électromagnétiques.

Cette thèse est structurée selon le plan suivant:

• Le premier chapitre est consacré à l’état de l’art. Nous exposons à travers une étude bibliographique, les différentes manières d’aborder les problèmes liées à la modélisation des phénomènes électromagnétiques et particulièrement l’hystérésis.

• Le deuxième chapitre, présente les définitions des grandeurs électromagnétiques et les différentes formulations à base des équations aux dérivées partielles utilisées pour décrire le comportement, les conditions de passage et le fonctionnement des dispositifs électrotechniques. Les méthodes de leurs résolutions sont aussi décrites.

• Dans le troisième chapitre, nous avons étudié l'impact de l'hystérésis magnétique dynamique sur les grandeurs électromagnétiques. La méthode utilisée combine la méthode des éléments finis et une procédure numérique capable d'analyser les problèmes d'hystérésis dynamique axial-symétrique. L'hystérésis ferromagnétique est décrit par le modèle Jiles-Atherton. Ce modèle est intégré dans la méthode des éléments finis (FEM) afin de résoudre les problèmes de magnétodynamique. L'interface entre le modèle Jiles-Atherton et la formulation des éléments finis en potentiel vecteur magnétique est introduit à travers la technique du point fixe.

Nous considérons à la fin de ce chapitre, la modélisation par éléments finis d’une machine à induction, l’impact de la perméabilité magnétique et l’excentricité sur les grandeurs électromagnétiques.

(15)

• Dans le quatrième chapitre, nous présentons un développement analytique par le calcul du champ basé sur les équations de Maxwell afin de déterminer l’expression du couple électromagnétique d’une machine synchrone (MS).

• Dans le cinquième chapitre, en utilisant la notion de la densité réelle du courant, nous présentons notre contribution qui consiste à l’intégration de la densité réelle du courant équivalente à base d’une fonction de distribution généralisée dans le calcul du couple électromagnétique. Les simulations réalisées en Matlab ont permis de valider les modèles de calcul développés et de montrer l’intérêt de l’intégration de la densité réelle du courant sur la forme du couple électromagnétique.

Finalement, nous présentons une conclusion générale et des perspectives.

(16)

1

Chapitre 1

Etat de l’art

1.1 Introduction

La modélisation des machines électriques n’est pas une tâche aisée, à cause du couplage entre les phénomènes électrique, magnétique, mécanique et thermique. Cette difficulté impose une modélisation qui tient compte simultanément de ces phénomènes et qui représente fidèlement le comportement réel de la machine en tout instant. Pour obtenir un tel modèle, on est souvent amené à considérer des simplifications qui doivent, toutefois, rester compatibles avec l'objectif visé. Dans la littérature, on trouve, les modèles externes qui permettent d’avoir une approche globale des performances des machines électriques par des considérations sur les flux, les énergies, les couples, etc.... basés sur la théorie des circuits couplés (schémas équivalents). Ces modèles ne sont pas satisfaisants au niveau des grandeurs locales (saturation, courants induits, harmoniques d'espace, etc...). Sous certaines hypothèses, l'introduction de coefficients correctifs, généralement empiriques, permet d'appréhender certaines de ces difficultés. En régime dynamique, la modélisation par éléments finis est délicate lorsqu’il s’agit de suivre, en même temps, le mouvement et la diffusion lente du champ au niveau du rotor. Les méthodes temporelles permettent de résoudre le problème avec des temps de calculs importants. Cependant, elle est néanmoins trop lourde quand les performances en régime permanent sinusoïdal sont recherchées. Par contre, en régimes harmoniques établis, la représentation complexe apparaît comme une alternative fortement intéressante car elle ne nécessite pas d'itérations dans le temps [1]. D’où son avantage principal est le gain appréciable en temps de calcul. Malheureusement, on ne peut traiter en toute rigueur que les problèmes linéaires. Une autre difficulté liée à l'utilisation des méthodes fréquentielles concerne la prise en compte du mouvement du rotor.

(17)

1.2 Modélisation et intégration de l’hystérésis magnétique dans un code de calcul par la MEF

Bien que beaucoup de recherches, à la fois théoriques et expérimentales, ont été menée pour expliquer le processus d'aimantation dans les matériaux magnétiques, ce processus reste ambigüe. En général, l'intensité du champ magnétique est vectorielle et le processus d'aimantation dans les matériaux magnétiques doit envisager d'utiliser l’aimantation vecteur.

Ainsi, l'aimantation des matériaux doivent être traités comme un vecteur de magnitude et de direction [2].

Il existe plusieurs modèles dynamiques qui tiennent compte de l’effet de la fréquence traduit par la largeur du cycle d'hystérésis. La plupart d'entre eux sont construit à base d’un modèle d'hystérésis statique et ne sont efficaces que pour les situations pour lesquelles ils sont dérivés. Par exemple, le modèle dynamique de Jiles [3] est basée sur son modèle d'hystérésis statique [4] alors que le modèle dynamique Hodgdon [5] est basé sur le modèle statique de Coleman et Hodgdon [6], les modèles dynamiques de Mayergoyz [7] et Bertotti [8] sont basés sur le modèle statique de Preisach. Un modèle hybride [9], combinant les aspects des modèles Jiles et Hodgdon, a été introduit afin de simuler la réponse d'aimantation dans les ferrites doux à des excitations d'impulsions rapides. Tous ces modèles donnent des simulations adéquates pour un nombre limité d'excitations, mais ne parviennent pas lorsque l'excitation contient des fréquences éloignées de celles de la demande initiale. Une approche pour la réalisation d'un modèle de large application est de représenter la physique de la matière dans ses équations. Le modèle dynamique de Jiles [3] est un exemple de cette approche. Poursuivre des travaux sur de tels modèles peut conduire à des modèles adéquates pour des excitations à large bande passante, mais la mise en œuvre de tels modèles dans des simulations de circuits est susceptible d'être un défi. Une deuxième approche, consiste à utiliser une méthode permettant d'élargir le cycle d'hystérésis statique et après de configurer un modèle qui change l’air du cycle avec le changement de la fréquence. Cette approche est facilement mise en œuvre avec des logiciels de simulation de circuit standard. Bien que le modèle soit basé sur la physique, il permet de réaliser des simulations de conception des systèmes magnétiques, qui est le but ultime pour de nombreux utilisateurs de ces modèles [10].

Les méthodes numériques de résolution des équations du champ électromagnétique sont communément connues pour être les plus précises pour la modélisation des actionneurs électromécaniques. Elles permettent la détermination locale des grandeurs électromagnétiques

(18)

3

tout en tenant compte des géométries réelles et de la saturation des matériaux ferromagnétiques. Néanmoins, ces méthodes demandent beaucoup de temps de calcul, cela est d’autant plus vrai que la simulation de l’ensemble machine-convertisseur-commande est envisagée [11].

Le développement des modèles d'hystérésis est amélioré et leur incorporation dans le logiciel MEF reste un sujet de recherche majeur. Alors, plusieurs études sont réalisées sur l'intégration du modèle de l'hystérésis dans le code éléments finis [12-13]. Par ailleurs, différents techniques sont utilisées et validées pour des machines, des transformateurs et des systèmes de chauffage par induction. Toutefois, les principales problèmes rencontrés dans ces études est la convergence et le grand nombre d'itérations par pas de calcul.

1.3 Modélisation et intégration de la densité réelle du courant dans le calcul analytique du champ

Produire un couple électromagnétique dépourvu de fluctuations est une nécessité dans beaucoup d’applications requérant un contrôle précis du mouvement. Cette exigence est plus accrue pour les entrainements électriques dits à attaque directe [14], c’est à dire dépourvus de réducteur mécanique. En effet, les moteurs destinés pour les entrainements à attaque directe sont souvent des moteurs à fort couple qui par conséquent sont sensibles aux ondulations de ce dernier [15]. Il va sans dire que les machines électriques ne convertissent pas "proprement”

l’énergie électrique en mouvement. Elles présentent des couples fluctuants d’origines diverses. Ces origines, à côté des modes de fonctionnement dégradés, sont les différents harmoniques engendrés par l’impossibilité de réaliser des conditions idéales de fonctionnement [16]. On peut classer différents harmoniques en trois catégories[17], à savoir :

• harmoniques de temps (courants non sinusoïdaux) ;

• harmoniques d’espace de la force magnétomotrice, dus à la distribution non sinusoïdale des conducteurs ;

• harmoniques de géométrie dus particulièrement à la présence d’encoches.

On rencontre les harmoniques d’espace dans les machines à courant alternatif où il est souhaitable de créer au sein de leur stator une distribution spatiale de conducteurs la plus sinusoïdale possible. Elles sont alimentées par des courants sinusoïdaux et par conséquent le champ tournant résultant est aussi sinusoïdal, telle est la condition de création d’un couple électromagnétique constant, et ce, quelle que soit la topologie de l’armature rotorique si l’on

(19)

néglige les harmoniques de géométrie (dits aussi de denture). Ces derniers, naissent de la perturbation locale du champ magnétique dans l’entrefer qui est causée par la présence d’encoches dans lesquelles sont logés les conducteurs du stator. Par ailleurs, la variation de la géométrie, donc de la réluctance du circuit magnétique, responsable des ondulations du couple de denture, est utilisée pour la création du couple dans les machines à réluctance variable, à simple ou à double saillance [11].

La minimisation des ondulations du couple peut être traitée de deux manières : La première, consiste à compenser les ondulations du couple par une loi de commande adéquate modifiant les formes des courants à injecter et la seconde, plus structurelle, porte sur le dimensionnement et l’action sur les paramètres géométriques (nombre et forme des encoches, types de bobinage, polarité, forme et épanouissement des aimants….) [18].

1.4 Conclusion

La diversité des modèles de l’hystérésis magnétique existante que nous avons eu l’occasion de consulter, montre l’importance de chercher de développer une approche à large application. Cette approche n’est réalisable qu’après reconsidération des hypothèses simplificatrices habituellement considérées et de tenir compte de la physique des matériaux.

Et enfin, de prévoir l’intégration du modèle d’hystérésis dans un code à éléments finis.

(20)

Contribution à la modélisation et la simulation numérique d’un système électro-énergétique 5

Chapitre 2

Equations et Formulations Fondamentales de l’électromagnétisme

2.1 Introduction

Tous les phénomènes électromagnétiques peuvent être décrits par des équations de Maxwell et des lois de comportement du milieu étudié. Dans ce chapitre, nous rappelons les équations et les formules fondamentales de l’électromagnétisme ainsi que les méthodes de résolution utilisées pour le calcul du champ.

2.2 Schéma général d'un problème en électrotechnique

La figure 2.1 montre les différentes régions physiques susceptibles d'être rencontrés dans la majorité des dispositifs électrotechniques (machines, transformateurs, …). On y distingue principalement quatre régions:

Fig.2.1. Géométrie générale d'un problème type en électrotechnique

• Des bobines inductrices dans lesquelles les courants de Foucault ne se développent pas.

• Des conducteurs où peuvent circuler des courants induits.

• Des régions constituées de matériaux ferromagnétiques qui sont supposées isolantes de point de vue électrique.

• Une région qui englobe les autres régions. Elle est composée d'air.

Région 3 : Ferromagnétique

Région 2 : Conductrice Boite d’air : μ0

Région 1

Inducteur JS

(21)

2.3 Equations d’électromagnétisme

Les phénomènes électromagnétiques considérés dans les dispositifs électrotechniques sont régis par les équations de Maxwell et les équations caractéristiques du milieu [19-21]. En effet, les quatre équations de Maxwell qui régissent de tels dispositifs se présentent comme suite :

 Equation de Maxwell -Ampère:

t J D H

Rot 









(2.1) En général, en électrotechnique le terme qui représente les courants de déplacement est négligé .On trouve alors pour (2.1) la forme locale du théorème d’Ampère :





J H Rot

(2.2) Ou, J est la densité de courant résultante du courant externe de source et des courants induits :







Jind Js

J (2.3)

( )



 

 



B ind E

J    (2.4) Avec :



 E : courant induit par champ électrique (E) ; )

(





 B

 : courant résultant du mouvement.

Nous pouvons ajouter l’expression de la force de Lorenz :

( )





 



B E

F  (2.5) Cette relation exprime la force de Lorenz s’exerçant sur une charge électrique élémentaire (q) qui se déplace à la vitesse (ν) dans un référentiel Galiléen.

(22)

 Equation de Maxwell- Faraday:

t E B

Rot 









(2.6)

 Equation de conservation du flux magnétique :

0

 B

Div (2.7)

 Equation de Maxwell - Gauss:



 D

Div (2.8) Les équations (2.1) et (2.6) expriment, respectivement, le couplage et l’évolution dans le temps du champ magnétique avec l’induction électrique et du champ électrique avec l’induction magnétique. L’équation (2.7) assure la conservation du flux magnétique. La loi de conservation de la charge électrique (2.9), s’obtient directement en combinant les équations (2.1) et (2.8).

0





 J t

Div 

(2.9)

2.4 Lois de comportement

Les équations de Maxwell ont des caractères purement électromagnétiques et sont indépendantes des caractéristiques des milieux. Pour modéliser le comportement des matériaux, les relations entre les champs B et H ainsi que J et E sont introduites [22]:

Le champ électrique E est lié à la densité de courant J par la loi d’Ohm :

 

 E

J  (2.10) Pour les grandeurs magnétiques, si on néglige le phénomène d’hystérésis, il est possible de représenter la relation B f

 

H par une fonction univoque de la forme :

 

 H

B  (2.11)

(23)

r

r et  



 ₀.  ₀.

 H

Dans le cas des aimants permanents, on considère que la partie utile du cycle d’hystérésis peut être modélisée par la relation suivante :







Br H

B  (2.12)

Où _B^_r est l’induction rémanente.

Ainsi, que la relation diélectrique :

 

 E

D  (2.13) Avec,

2.5 Conditions de passage

Dans le cas générale, un dispositif électrotechnique comporte des milieux différents (fer, air, aluminium, cuivre,…etc.). Avant d’aborder la résolution du problème, il est nécessaire de connaitre le comportement des champs électromagnétiques à travers l’interface entre chaque deux milieux différents [23]. Ces conditions de passage s’expriment par les relations suivantes :

 La conservation de la composante tangentielle du champ électrique  E

2 0

1 













 



n E

E (2.14)

La conservation de la composante normale de l'induction magnétique  B

0 2 .

1 











 



n B

B (2.15)

 Si la discontinuité de la composante tangentielle du champ magnétique due aux courants surfaciques existe, on aura :

(24)

Contribution à la modélisation et la simulation numérique d’un système électro-énergétique 9 K

n H

H 













 

 2

1 (2.16)

Où K est la densité surfacique de courant éventuel sur l'interface.

Si la discontinuité de la composante normale de l'induction électrique due aux charges surfaciques existe, on aura :

n s D

D _^ ^^









 

 2 .

1 (2.17)

2.6 Modèles électromagnétiques

Les équations de Maxwell se découplent et donnent naissance à des modèles plus simples [23-24].

2.6.1 Modèle électrostatique

La source du champ électrostatique est constituée par des charges fixes dans le référentiel d’étude. Les équations correspondantes sont :

0





t

B

(2.18)

Les équations de ce modèle se simplifient comme suit :



 D

Div (2.19)

0



 E

Rot

(2.20)

 

 E

D  (2.21)

La relation (2.20) permet de définir une fonction potentiel scalaire électrique V, telle que :

V grad E



 (2.22)

(25)

Le modèle se ramène alors à l’équation suivante :

(2.23) 2.6.2 Modèle électrocinétique

Ce modèle est utilisé dans l’étude de la répartition du courant électrique de conduction dans des conducteurs isolés soumis à des différences de potentiel continues.

Il est régit par les équations :

0



 E

Rot (2.24)

0

 J

Div (2.25)

 

 E

J  (2.26)

L’équation (2.24) implique que le champ électrique dérive d’un potentiel scalaire V :

V grad E

 



(2.27)

En tenant compte de l’équation (2.26), on trouve :

(2.28)

En substituant cette dernière équation dans l’équation (2.25), on obtient l’équation globale du model:

0 )

(  

V grad

Div  (2.29)

0 )

(   





gradV Div

V grad J

 





(26)

Contribution à la modélisation et la simulation numérique d’un système électro-énergétique 11 2.6.3 Modèle magnétostatique

Pour ce modèle, on peut avoir celui en magnétostatique scalaire ou vectoriel dont les détails sont ci-après:

2.6.3.1 Modèle magnétostatique scalaire

Dans ce cas, les courants électriques sont nuls. Il vient alors que les champs ne dépendent

pas du temps 0.





t B

On obtient alors les relations :

 Des courants qui sont du fait nuls  0 H Rot

 Et, de la conservation du champ 0 B Div

En considérant la loi du milieu : ,







Br H

B  le champ dérivé d’un potentiel magnétique scalaire ( ) est:

 





grad

H (2.30)

Donc, le modèle se ramène alors à la forme suivante :

 











 

Br div grad

Div   (2.31)

2.6.3.2 Modèle magnétostatique vectoriel

Comme dans le modèle précédent, on suppose que le champ magnétique est produit par

des sources indépendantes du temps. Par conséquent, le terme t B





est nul et les champs électrique E et magnétique B sont découplés.





J H

Rot (2.32)

(27)

0

 B

Div (2.33)

En considérant, la loi du milieu :







Br H

B 

La relation (2.33) permet de définir une fonction vectorielle A, appelée potentiel vecteur magnétique, tel que :



 



A Rot

B (2.34)

Pour que cette fonction soit totalement définie, il faut fixer sa divergence. Pour satisfaire cette condition, on ajoute la condition Jauge de Coulomb (2.35).

0

 A

Div (2.35)

Et, on obtient le système d’équations :











 















  



Br Rot J A Rot

Rot  

1

1 (2.36)

2.6.4 Modèle magnétodynamique

Le modèle magnétodynamique s'applique aux dispositifs électromagnétiques dans lesquels

les sources de courant ne sont pas nul et les champs t B





où de tension varient dans le temps. Ainsi, les termes électriques et magnétiques sont couplés par la présence des courants induits.

L’équation (2.7) indique que 

Best un champ qui dérive d’un rotationnel. Ceci implique qu'il existe un vecteur



A appelé : potentiel vecteur magnétique, tel que:



 



A Rot

B (2.37)

(28)

Contribution à la modélisation et la simulation numérique d’un système électro-énergétique 13 La substitution de (2.37) dans (2.6) donne:

0

/ 











  







t A E

Rot (2.38)

Ceci nous permet de constater que le champ











  





t A

E / est un champ conservatif, donc on peut l’exprimer par la relation suivante:

E A t gradV

 

 











  





/ (2.39) D’où :

V t grad

E A

 









(2.40)

avec V est le potentiel électrique scalaire du champ électromagnétique.

On remarque qu'en régime variable, l’expression de



Edépend à la fois de V et de .

 A D'après l'équation suivante :

J t H Rot





(2.41)











 





 

 

B v s E

t J

J  

(2.42)











 





 





B v s E

J H

Rot   (2.43)

^











 



 

 

















  

  gradV v B Js

t A A

Rot

Rot     (2.44)

(29)

Pour que la solution soit unique, on doit fixer la divergence du potentiel vecteur, alors on obtient :

J s B v V

t grad A A

Rot Rot













 



 

 

















  

     (2.45)

0

 A

Div (2.46)

Dans le cas où les courants induits par mouvement et











  V

 grad en axisymétrique sont tous les deux nuls, l'équation du système devient :

J s t

A A Rot Rot



















  



 

(2.47)

Ce modèle est très utilisé dans l'étude des machines électriques, des dispositifs du chauffage par induction, des transformateurs, …etc.

2.7 Formulations

Les équations précédentes permettent de décrire théoriquement tous les systèmes quasi- stationnaires, donc la plupart des dispositifs utilisés en électrotechnique. Toutefois, afin de réduire le nombre d'inconnues et le nombre d'équations à résoudre une mise en forme préliminaire s'impose. Dans la plupart des cas, suivant la géométrie des dispositifs étudiés, un choix approprié de la variable permet de réduire ce nombre. Les équations se regroupent alors pour donner naissance à des modèles plus simples [19][22].

La formulation d'un problème commence par préciser si le problème est mono, bi ou tridimensionnel.

Les problèmes monodimensionnels sont extrêmement rares. Et, la quasi-totalité des problèmes sont tridimensionnels, moyennant certaines simplifications, pouvant ramenés à des problèmes bidimensionnels. Les formulations tridimensionnelles sont nettement plus complexes que les formulations bidimensionnelles.

(30)

De nombreuses méthodes ont été proposées utilisant des variables de type potentiel ou de type champ. Malgré quelques variantes qui différent par exemple sur les conditions de Jauges, on peut les décomposer en quatre grandes familles: les formulations A-V, A^* ou E, T- et H. Il est à noter que les approches utilisant des potentiels permettent de travailler avec des variables continues, alors que celles utilisant des champs exigent de considérer des variables discontinues. Par ailleurs, les formulations sont développées de manière à avoir les conditions de Jauge et la l'unicité de la solution.

2.7.1 Cas de problèmes bidimensionnels

Dans le cas, d'un objet suffisamment long ou ayant une symétrie de révolution figure.2.2 (problème bidimensionnel) les courants qui créent le champ magnétique sont orthogonaux au plan d'étude (cas de presque toutes les machines tournantes longues) le potentiel vecteur qui n'a plus qu’une composante également orthogonale au plan d'étude, fait l'unanimité.

Le problème en bidimensionnel est plus simple car de manière générale la pratique a montré que l'utilisation du potentiel vecteur magnétique apporte beaucoup de simplifications :

• A

ne comporte qu'une seule composante perpendiculaire au plan d'étude ;

• ^A^ est continu quelque soit la nature des milieux ;

• La condition de Jauge de Coulomb est vérifiée ;

Axe de symétrie

0



A

Condition naturelle de Dirichlet

a / Géométrie axisymétrique b/ Géométrique symétrique

0 / 

^A n

Condition naturelle de Newman

Fig.2.2. Exemple de géométrie bidimensionnelle

•

(31)

Dans ce qui suit nous allons présenter les différentes formulations possibles du champ électromagnétique dans le cas général (problème tridimensionnel ou bidimensionnel).

2.7.2 Formulations pour les régions conductrices

Les formulations pour les régions conductrices sont utilisées dans les problèmes magnétodynamiques.

Ces formulations utilisent soient le potentiel vecteur magnétique associé au potentiel scalaire électrique V, le potentiel électrique associé selon le besoin, au potentiel scalaire magnétique , le champ électrique, le potentiel vecteur magnétique modifié où le champ magnétique.

2.7.2.1 Formulation en potentiel vecteur magnétique et potentiel scalaire électrique

La relation (2.4), permet de définir une fonction potentiel vecteur magnétique telle que :



 



A Rot

B (2.48) On peut exprimer le champ électrique par :

V t grad E A

 









(2.49) où, V est le potentiel scalaire électrique.

La densité du courant s'écrit donc:















 

 







V t grad

J  A (2.50)

En remplaçant les expressions de ,

 J E et

 

B dans l’équation (2.50), on obtient:

0















 

 















  



V t grad A A

Rot

Rot   (2.51)

Où,  est la réluctivité magnétique (

  ¹ ).

(32)

Contribution à la modélisation et la simulation numérique d’un système électro-énergétique 17 V

0

 A Div

. V A

Div 

La divergence de l'équation (2.50), nous donne l’équation de conservation de la densité de courant 0

J

Div exprimée par l’équation (2.52) :

0































 

 



V t grad

Div  A (2.52)

L'équation (2.51) associée aux conditions d'interfaçage, ne défini pas de manière unique le couple

 

A.V . En effet, si F est une fonction scalaire de l'espace, alors le couple 











' ,'V

A où

F grad A

A

 





' et _t

V F

V 



'  est aussi une solution. Donc, pour avoir une solution unique en potentiel, il faut imposer la condition supplémentaire de jauge. Et, en plus de la condition de jauge imposée sur la valeur du potentiel vecteur, il faut fixer au moins en un point la tension ( ) aux bornes du conducteur. Dans les systèmes physiques cela présente le cas d'une excitation avec source de tension. Les deux jauges les plus utilisées sont:

 La jauge de coulomb :

 La jauge de Lorentz :

L’avantage de cette méthode est qu’elle est générale et permet de tenir compte des discontinuités de la conductivité. En opposé, son inconvénient et que la résolution de cette formulation est très coûteuse et lourde numériquement, car les équations à résoudre comportent quatre inconnues par nœud : une inconnue vectorielle qui a trois composantes et une inconnue scalaire.

2.7.2.2 Formulation en potentiel vecteur magnétique modifié et du champ électrique

Elle ressemble à la formulation précédente, mais en plus, elle élimine le potentiel scalaire électrique dans les conducteurs. Elle consiste à inclure le potentiel scalaire électrique (V ) dans le potentiel vecteur magnétique (



A). Le potentiel vecteur devient alors ce qu'on appelle,

(33)

en général, le potentiel vecteur magnétique modifié (



*

A ), Il est en fait homogène au champ électrique (

 E ) :

V t grad A T

A 

 



 

*

(2.53)

t E A



 



 *

(2.54) Le rotationnel de l'équation (2.53) implique que :



 











 

A Rot A

Rot * (2.55)

Alors, l'équation (2.51) s'écrit en terme de



* A :

* 0 .

* 





























  



t A A

Rot

Rot   (2.56)

En terme de champ électrique

 E :

0





























  



t E E

Rot

Rot   (2.57)

L'équation (2.56) où (2.57) admet une solution unique, à condition d'imposer des conditions aux limites adéquates. En pratique, des problèmes apparaissent lorsque le terme fonction de la conductivité est très petit par rapport aux autres termes dans l'équation (2.56) où (2.57) puisque, c'est ce terme qui assure l'unicité de la solution. Par exemple, en régime harmonique, si la fréquence est trop petite, des problèmes de convergence pourront se poser lors de la résolution d'un problème car l'unicité de la solution sera alors mal assurée.

(34)

Certains auteurs ont proposés de fixer de manière explicite la divergence du champ électrique











  0 E

Div , ou introduire la jauge de coulomb











  0 A

Div sous forme d'un terme pondérateur dans l'équation à résoudre.

La formulation présentée est intéressante car elle est peu coûteuse et simple à utiliser.

Cependant, elle n'est plus utilisable dès que la conductivité est discontinue, ce qui la rend moins intéressante dans le cadre de la méthode des éléments finis nodaux.

2.7.2.3 Formulation en potentiel vecteur électrique et potentiel scalaire magnétique

La formulation utilisant le potentiel vecteur électrique (



T ) est réalisée de la même façon que celle utilisant le potentiel vecteur magnétique (

 A).

Dans ce cas, on a :

0

 J

Div (2.58)

L'équation (2.58) permet de définir un vecteur (



T ) dont le vecteur densité du courant est :



 



T Rot

J (2.59)



T est lié au champ magnétique (



H ) par la relation :



 



H Rot T

Rot (2.60) L'équation (2.25) entraîne l'existence d'un potentiel scalaire magnétique (), tel que :

 





grad T

H (2.61)

La loi de Maxwell Faraday (2.6), nous permet d'obtenir l'équation à résoudre :

0











  





 











  



grad t T

T Rot

Rot   (2.62)

(35)

Avec:  est la résistivité exprimée par la relation :

 ¹ .

En considérant la divergence de l'équation (2.61), on retrouve la condition de conservation de l'induction magnétique :

0























  

 grad T

Div  (2.63)

En imposant les conditions aux limites adéquates à l'équation (2.63) associée aux conditions d'interfaçage, la résolution de cette dernière admet comme solution, une infinité de couples

 

^T^.^ . Toutefois, il faut imposer une condition de jauge si l'on désire obtenir une solution unique en potentiel. Cette condition de jauge peut être par exemple, la jauge de coulomb appliquée à



T où dite jauge de gausse : 0. T

Div

Cette formulation est intéressante car elle permet d'avoir directement l'induction, par contre, les courants de Foucault induits s'obtiennent par dérivation spatiale de la solution.

2.7.3 Formulations pour les régions non conductrices

Les formulations pour les régions non conductrices peuvent être rangées suivant deux catégories : celles qui utilisent le potentiel vecteur magnétique, et celles qui utilisent un potentiel scalaire magnétique (t ou r )_.

Dans les régions non conductrices, les courants de Foucault ne se développent pas et les équations de Maxwell à résoudre sont les équations (2.2) et (2.7) où le champ électrique n'intervient plus :

0

 B

Div (2.64)





Js H

Rot (2.65)

Où



Js est la densité du courant source dans l'inducteur.