Séance 5 Fonctions Caractéristiques (1)

Séance 5

Fonctions Caractéristiques (1)

Prof. Mohamed El Merouani

2018/2019

Introduction :

SiX est une v.a. quelconque, la fonction génératrice G(s) =E(s^X), nous invite à former :R+∞

−∞ s^xdF(x).

Cette intégrale a un sens auvoisinage de |s|= 1, ce qui conduit à posers=e^it et á donner à tdes valeurs réelles.

On obtient finalement la fonction : E e^itX

=R+∞

−∞ e^itxdF(x) notéeϕ_X(t) et dite fonction caractéristique deX

La fonction caractéristique deX a l’énorme avantage d’exister pout tout nombre réel tet toute v.a. X.

En outre, la correspondance entre loi de probabilité d’une v.a. et fonction caractéristique est bijective.

Fonction caractéristique

Définition

On définit la fonction caractéristique de la v.a. X, par : ϕX(t) =E(e^itX) =

P

xe^itXP(X=x) si X est discrete;

R+∞

−∞ e^itxf(x)dx si X est continue Comme |e^itx|= 1 pour tout réelt, par exemple, si X est une variable aléatoire absolument continue, l’intégrale

ϕ_X(t) = Z +∞

−∞

e^itxf(x)dx= Z +∞

−∞

e^itxdF(x)

existe pour toute fonction de densité f et la fonction caractéristique peut être définie pour toute variable aléatoire X.

Propriétés :

1 ϕ_X(0) = 1.

2 |ϕ_X(t)| ≤1, t∈R.

3 SiY =aX+b,aetb étant des constantes, alors ϕY(t) =ϕX(at)e^ibt,

où ϕ_X etϕ_Y sont les fonctions caractéristiques des variables aléatoiresX etY.

4 ϕ(−t) =ϕ(t)

Preuves :

1 On montre la propriété pour X absolument continue. En effet : ϕ_X(0) =R+∞

−∞ f(x)dx= 1.

2 On montre la propriété pour X absolument continue. En effet :

|ϕ(t)|=|R+∞

−∞ e^itxf(x)dx| ≤R+∞

−∞ |e^itx|f(x)dx=R+∞

−∞ f(x)dx= 1.

3 ϕ_Y(t) =E(e^itY) =E(e^it(aX+b)) =e^itbE(e^itaX) =e^itbϕ_X(at).

4 ϕ(−t) =E[e^−itX] =E(costX)−iE(sintX) =

E[cos(tx)] +iE[sin(tx)] =E[cos(tx) +isin(tx)] =E[e^itX] =ϕ(t)

Théorème 1 :

Soit X la v.a. de fonction de répartition F(x) et de fonction

caractéristiqueϕ_X(t). Alorsϕ_X(t) est uniformèment continue surR Preuve :

On considère la différence : ϕX(t+h)−ϕX(t) =R+∞

−∞ e^itx e^ixh−1 dF(x) ce qui entraîne |ϕ_X(t+h)−ϕX(t)| ≤R+∞

−∞ |e^ixh−1|dF(x) Soit ε >0 arbitraire, choisissonsA suffisamment grand pour que R

|x|>AdF(x)< ^ε₄ et choisissonsh assez petit de manière que pour

|x|< Aon ait :|e^ixh−1|< ^ε₂ Alors on a :

|ϕ_X(t+h)−ϕX(t)| ≤RA

−A|e^ixh−1|dF(x) + 2R

|x|≥AdF(x)< ε car|e^ixh−1| ≤ |e^ixh|+|1| ≤1 + 1 = 2

Théorème 2 :

Si le moment d’odrek≥1 de la v.a.X existe, la fonction

caractéristiqueϕX(t) admet une dérivée d’odre kcontinue au voisinage de l’origine etϕ^(k)_X (0) =i^kE(X^k).

Preuve : On sait que :

ϕ_X(t) = Z +∞

−∞

e^itxdF(x) on constate que pour tout nombre réel t, on a :

Z +∞

−∞

(ix)^ke^itxdF(x)

≤ Z +∞

−∞

|x|^kdF(x)<∞ (par hypothèse) On peut donc dériver à l’ordre k sous le signe somme l’intégrale qui définit ϕ(t) et écrire, pour tout nombre réelt l’expression

ϕ^(k)_X (t) = Z +∞

−∞

d^k(e^itx)

dt^k dF(x) =i^k Z +∞

−∞

x^ke^itxdF(x)

Théorème 2 :

Preuve :(Suite)

Cette dérnière intégrale est donc absolument convergente ; elle est uniformément convergente en t.

L’intégrale obtenue est la dérivée d’ordre k deϕ(t) et enfin cette intégrale est continue en t. On a donc :

ϕ^(k)_X (t) =i^k Z +∞

−∞

x^ke^itxdF(x)

la limite pour t= 0 est ϕ^(k)_X (0) =i^kR+∞

−∞ x^kdF(x) =i^kE(X^k).

Exemples

Exemple 1 :

On considère X une v.a. qui suit une loi binomiale B(n, p). À partir de sa fonction caractéristique on calculera son espérance mathématique et sa variance.

On a :

ϕ(u) =E(e^iuX) =

n

X

k=0

e^iukP(X =k) =

n

X

k=0

e^iukC_n^kp^k(1−p)^(n−k)

=

n

X

k=0

C_n^k(pe^iu)^k(1−p)^(n−k)= pe^iu+ (1−p)n

.

Exemple 1

La dérivée ϕ⁰(u) s’écrit

ϕ⁰(u) =n pe^iu+ (1−p)n−1

ipe^iu; d’où E(X) = ¹_iϕ⁰(0) =np.

La dérivée

ϕ⁰⁰(u) =−npe^iu pe^iu+ (1−p)n−2

npe^−iu+ (1−p)

; etE(X²) = _i¹2ϕ⁰⁰(0) =−

−n(n−1)p²−np

=n(n−1)p²+np.

La variance V ar(X)est donc V ar(X) =E(X²)−E(X)² V ar(X) =n(n−1)p²+np−n²p²

Exemples

Exemple 2 :

On considère X une v.a. qui suit une loi de PoissonP(λ). À partir de sa fonction caractéristique on calculera son espérance mathématique et sa variance.

On a :

ϕ(u) =E(e^iuX) =

∞

X

k=0

e^iuke^−λλ^k k! =e^−λ

∞

X

k=0

(λe^iu)^k

k! =e^−λe^λeiu

ϕ(u) = exp λ(e^iu−1) La dérivée ϕ⁰(u) s’écritϕ⁰(u) =λie^iuexp λ(e^iu−1)

; d’où E(X) = 1

iϕ⁰(0) =λ.

Exemple 2 :

La dérivée ϕ⁰⁰(u) s’écrit :

ϕ⁰⁰(u) =−λie^iuexp(λ(e^iu−1))−λie^iuλie^iuexp(λ(e^iu−1))

=−λie^iuexp(λ(e^iu−1))−(λie^iu)²exp(λ(e^iu−1));

d’où

E(X²) = 1

i²ϕ⁰⁰(0) =−(−λ−λ²) =λ²+λ La variance V ar(X)est donc

V ar(X) =λ²+λ−λ² =λ

Exemples

Exemple 3 :

On considère X une v.a. qui suit une loi normaleN(0,1)etY une v.a.

qui suit une loi normale N(m, σ). À partir de la fonction caractéristique de X, on calculera la fonction caractéristique deY et on en retrouvra l’espérance mathématique et la variance de Y.

On a :

ϕX(u) = 1

√ 2π

Z +∞

−∞

e^iux−x

2 2 dx Comme

Z +∞

−∞

e^−x

2

2 sinuxdx= 0, alors :

ϕ_X(u) = 1

√2π Z +∞

−∞

e^−x

2

2 cosuxdx

Exemple 3 :

et

ϕ⁰_X(u) =− 1

√2π Z +∞

−∞

xe^−x

2

2 sinuxdx

Une intégration par partie donne ϕ⁰_X(u) = 1

√2π Z +∞

−∞

sinuxd

e^−x

2 2

donc

ϕ⁰_X(u) =−u 1

√2π Z +∞

−∞

e^−x

2

2 cosuxdx=−uϕ_X(u)

On en tire ^ϕ_ϕ^0X(u)

X(u) =−u ou [lnϕ_X(u)]⁰ =−u Ce qui implique

lnϕ_X(u) = −u² +c.

Exemple 3 :

SiY ∼ N(m, σ), on peut représenter Y sous la formeY =σX+moù X ∼ N(0,1); d’où

ϕ_Y(u) =ϕ_σX+m(u) =e^iume^−u

2σ2 2

La dérivée ϕ⁰_X(u)s’écrit

ϕ⁰_Y(u) = (im−uσ²)e^iume^−u

2σ2 2

etE(Y) = ¹_iϕ⁰_Y(0) =m.

La dérivée ϕ⁰⁰_Y(u)s’écrit

ϕ⁰⁰_Y(u) =−σ2e^ium−u

2σ2

2 + (im−uσ²)²e^ium−u

2σ2 2

etE(Y²) = _i¹2ϕ⁰⁰_Y(0) =−(−σ²+i²m²) =σ²+m²

La variance V ar(Y) est doncV ar(Y) =σ²+m²−m² =σ²

On a vu que, pour la fonction génératrice des moments M(t), on a : M(t) =

∞

X

k=0

m_k(t)^k k!

On a un résultat pareil pour la fonction caractéristiqueϕ(t) qui découle du théorème précèdent :

Corollaire :

Si les npremiers moments deX,m_k =E[X^k](k= 1,2,· · ·, n) existent, alors on a pour t→0,

ϕ_X(t) =

n

X

k=0

(it)^k

k! m_k+o(tⁿ)

Preuve : Elle résulte immédiatement du théorème précèdent

Exemples

Exemple 4 :

Soit X une v.a. uniforme sur]a, a+b[de densité : f(x) =

₁

b sia < x < a+b 0 ailleurs

Calculons sa fonction caractéristique et en déduire ses moments.

ϕ(t) = 1 b

Z a+b

a

e^itxdx= 1 ibt

e^i(a+b)t−e^iat

= 1 ibt

∞

X

n=0

(it)ⁿ

n! [(a+b)ⁿ−aⁿ]

=

∞

X

n=1

(it)ⁿ⁻¹ n!

(a+b)ⁿ−aⁿ

b =

∞

X

n=0

(it)ⁿ n!

(a+b)ⁿ⁺¹−aⁿ⁺¹ b(n+ 1)

Exemple 4

En vertu de corollaire, on a :

m_n= (a+b)ⁿ⁺¹−aⁿ⁺¹

b(n+ 1) ;n= 0,1,2,· · ·